七年级数学上册2.4绝对值导学案华东师大版

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\湖北省武穴市实验中学七年级数学上册 2.4 绝对值导学案 华东师大版

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【目标·概览】

绝对值是初中数学的一个重要内容，也是中考的必考内容，本节内容要求同学们理解如下目标： ⑴能根据一个数的绝对值表示“距离”，初步理解绝对值概念。 ⑵给一个数，能求出它的绝对值。 ⑶会利用绝对值比较两个负数的大小。

⑷要充分重视绝对值与数轴之间的关系，同时也加深对数轴作用的认识。 ⑸理解一个数的绝对值是唯一的非负数。

⑹进一步理解数形结合的数学思想，初步了解分类讨论的数学思想。 【思考·交流】

正式比赛的篮球的质量有严格的规定，已知四个篮球超过规定的质量记为正数，不是规定的质量记为负数，为选一个篮球用于比赛，裁判对这四个篮球进行了称量，记录如下：甲篮球+10克，乙篮球-20克，丙篮球+6克，丁篮球-15克，你认为应选哪一个篮球用于比赛？说明你选择的理由。我们通过本节内容的探索，一定会圆满地解决。 【学法·指津】

求一个数的绝对值，必须遵循“先判后去”的程序，即先判定这个数是正数，零还是负数，再由绝对值的代数定义推出结论的符号，去掉绝对值符号，当这个数的正负性不能确定时，要分类讨论，比较两个负数的大小时，先求出这两个数的绝对值，比较绝对值的大小，再由“两个负数，绝对值大的反而小”来得出结论。

学习绝对值应将绝对值的代数定义和几何定义结合在一起理解，几何定义表示该数的点到原点距离的大小，代数定义是我们求绝对值的法则，应明确一个有理数是由符号和绝对值两方面来确定的，同时应掌握、利用数轴和绝对值两种方法来比较两个有理数的大小。 【知识·导学】

本节的重点是掌握绝对值的几何意义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，一个数在数轴上表示的点离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小，0的绝对值可以看成原点到原点的距离，因此仍然是0。由于距离应是非负的，所以任何一个数的绝对值

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都是非负数。利用绝对值的几何意义来求一个数的绝对值时，首先确定这个数在数轴上表示的点，然后再看一下这一点到原点的距离即可。

本节的难点是如何求用字母表示数的绝对值。绝对值是一种运算，这个运算符号是“||”。求这个数的绝对值，就是想办法去掉这个绝对值符号，在去掉这个符号时，应注意理解绝对值的非负性。由于距离总是正数或零，因此正数的绝对值应为正数，负数的绝对值就是它的相反数，0的绝对值是0，对于任意的有理数a有|a|= a（a＞0）

0（a＝0） -a（a＜0）

这就是说去掉绝对值符号不是随意能去掉的，要求绝对值里面的数的正负性。若绝对值符号里面的数是非负数，那么这个数的绝对值是它的本身，此时绝对值符号就相当于“（）”的作用。如5-|2-1|=5-（2-1）=5-1=4，由于此时2-1＞0，故去掉绝对值符号后|2-1|=（2-1）；若绝对值里面的数是负数，那么这个数的绝对值是这个数的相反数，此时去掉绝对值符号时，就要把绝对值符号里面的数添上括号，然后变为它的相反数，如|1-2|= -（1-2）=1。

求一个数或式的绝对值是中考热点题型，求一个数或式的绝对值，必须遵循“先判后去”的程序，即先判定这个数是正数、负数或零，再由绝对值的定义，去掉绝对值符号，当这个数的正负性不能确定时，要分类讨论，由于绝对值的定义是通过距离来定义的。因此，绝对值往往与距离结合起来考查。本节中着重考查学生的两种基本的数学思想方法：数形结合思想与分类讨论思想。

知识点一：（重点）绝对值的概念

⑴绝对值的几何定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作“|a|”。 ⑵绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

绝对值的代数定义可用下式表示：

a（a＞）

a（a≥0）

|a|= 0（a=0） 或 |a|= -a（a≤0）

-a（a＜0）

从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小，由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能是负数。

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因此，无论是绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义，都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性，也就是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数。即a取任意有理数，都有|a|≥0，如a＜0时，-a＞0，即当a＜0，|a|= -a仍为一个正数。

能力拓展：分类讨论思想是数学上一种重要的思想，绝对值的符号的去掉过程就是一种分类讨论思想的实践。

知识点二：绝对值的求法

要求一个数的绝对值，应先判断这个数是正数、负数还是0，再由绝对值的意义确定去掉绝对值符号后的结果。

也就是说，去掉绝对值符号，要看绝对值符号里面的数是什么性质的数。若绝对值符号里面的数是非负数，那么这个数的绝对值就是它本身，此时绝对值“||”符号就相当于小括号“（ ）”的功能；若绝对值符号里面的数是负数，那么这个负数的绝对值就是这个负数的相反数，这时，去掉绝对值符号，就要把绝对值里面的数添上括号，再在括号里面加上“-”号。

方法规律：化简含有绝对值符号的代数式，关键是去掉绝对值符号，而去掉绝对值符号关键是判断绝对值符号里面的数或式的正负性。

知识点三：（重点）非负数的应用

任何一个数的绝对值均为非负数，非负数在数学上应用非常广泛，几个非负数之和等于0，则这几个非负数均必须为0。

能力拓展：无论是绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义，都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性，也就是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数，即无论a取任何有理数时，|a|≥0。

【技巧·解悟】

一、考查绝对值概念 例1：填空

⑴如果两个数的绝对值相等，那么这两个数_____________。 ⑵如果两个数相等，那么这两个数的绝对值_____________。

⑶如果一个数的绝对值比它本身大，则这个数一定是_____________。 ⑷如果一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是_____________。

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解析：由绝对值定义可知：⑴若两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数；⑵若两个数相等，则它们的绝对值必相等；⑶只有负数的绝对值比本身大；⑷正数的绝对值等于它本身，零的绝对值等于它本身。

答案：⑴相等或互为相反数；⑵相等；⑶负数；⑷正数或零。

方法规律：紧紧围绕绝对值的定义及性质，同时请注意不要忽略特殊数零。 例2：⑴绝对值是3的数有几个？各是什么？

⑵绝对值是0的数有几个？各是什么？ ⑶绝对值是-2的数有几个？各是什么？

解析：本题要正确理解绝对值的概念，尤其要理解绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。

⑴表示到原点距离等于3的点有2个，显然表示数3与-3的点到原点的距离都等于3，所以绝对值等于3的数有两个，它们互为相反数。

⑵到原点距离为0的点只有原点本身，它对应的数是0。 ⑶任意有理数的绝对值都是非负数，故不存在绝对值是-2的数。 答案：

⑴绝对值是3的数有两个，它们分别是3和-3。 ⑵绝对值是0的数只有一个，它是0。 ⑶绝对值是-2的数不存在。

方法规律：一般地，一个有理数的绝对值只有一个，但是绝对值为一个正数时的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的有理数仍然是0，没有绝对值为负数的有理数。

例3：下列说法中正确的是（ ） A.一个数的绝对值一定是正数 B.任何正数一定大于它的倒数

C.a的相反数的绝对值等于a的绝对值的相反数 D.绝对值最小的有理数是0

解析：此题可用排除法，而要说明一句话不正确，只要举一反例即可，也就是结合特殊值法加以说明，因为|0|=0，而0不是正数，故A错误；因为1的倒数为2，而1<2，故B错误；因为2的

22相反数的绝对值是2，而2的绝对值的相反数是-2，且2≠-2，故C也不成立，故选D。

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答案：选D

经验技巧：任何数的绝对值总是一个非负数，零是绝对值最小的数，这些知识常作为考试考查的热点。

二、考查绝对值的求法 例4：求下列各数的绝对值。 ⑴+41

2 ⑵-5.2 ⑶0

解析：求有理数的绝对值，用绝对值的代数定义比较方便，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

答案：⑴|+41|=41；⑵|-5.2|=5.2；⑶|0|=0

22例5：当a<4时，化简|a-4| 解析：当a<4时，a-4<0

根据一个负数的绝对值等于它的相反数 可知：|a-4|= -（a-4） 例6：若|a-1|=3，求a的值。

解析：本题的解法很多，可以由绝对值的代数定义和几何定义两个方面加以考虑，把a-1看作一个整体，根据绝对值为3的数是±3求解；也可以根据使a-1为不同的性质的数时a的值进行分类讨论，最后一种思路可以利用|a-1|=3的几何意义。

答案：解法1：∵|a-1|=3，∵a-1=3或-3，∴a=4或-2 解法2：对a进行分类

⑴当a≥1时，|a-1|=a-1=3，∴a=4 ⑵当a＜1时，|a-1|=1-a=3，∴a= -2

解法3：|a-1|=3的几何意义为在数轴上表示到1的点之间的距离为3的一点，∴a=4或-2 三、考查非负数性质的应用

例7：已知|a-3|+|2b+8|+|c-2|=0，求代数式a+3b-c的值。

解析：根据非负数的性质来解。因为|a-3|，|2b-8|，|c-2|均为非负数，要使它们之和为0，则这三个数均为0。

答案：由绝对值定义知：

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