第九讲 全等三角形培优竞赛
———线段的垂直平分线与角平分线
一、线段垂直平分线 1、线段垂直平分线的性质
（1）线段的对称轴是
（2）垂直平分线性质定理：
定理的几何符号表示：如图1 2、线段垂直平分线判定定理：
CmAD图1定理的几何符号表示：如图1， 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.
3、关于三角形三边垂直平分线的性质
B（1）三角形三边的垂直平分线 ，并且这个点到 的距离相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： 若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形 ；
若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是 ； 若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形 .
经典例题：
例1 如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 针对性练习：
E 已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D， 交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=
B C
2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D， 交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是
3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度， 那么∠EBC是
例2. 已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC
A
求证：点O在BC的垂直平分线 N
O
B
C
D A
针对性练习：
已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC， 求证：AO垂直平分BC.
例3. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，
△ABC的顶角∠B的大小为_______________。 针对性练习：
在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的大小为____。 例4、如图8，已知AD是△ABC的BC边上的高，且∠C＝2∠B，
求证：BD＝AC＋CD.
针对性练习：
AB图8DC1.如图，AC=AD，BC=BD，则（ ） A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD C.CD平分∠ACB D.以上结论均不对
2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么这个三角形是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 3.下列命题中准确的命题有（ ）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点能够作这条线段的中垂线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（ ） A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
5、如图7，在△ABC中，AC＝23，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACE的周长为50，求BC边的长.
ADB图7EC6、求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.
二、角的平分线
1.角平分线的性质定理：
BDEFO图4角是一个轴对称图形，它的对称轴是 . 角平分线的性质定理：角平分线上的点到 的距离相等. 定理几何符号表示：如图4，
定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；
2、角平分线的判定定理：
CA角平分线的判定定理：在角的内部，且 的点在这个角的角平分线上. 定理的几何符号表示：如图5 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
3、关于三角形三条角平分线的定理：
DPO图5B（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：
三角形三条角平分线 ，并且这个点到 的距离相等.
CA定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的 .
4、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：
（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.
经典例题：
例1 已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，
PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。 求证：PE=PF
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