初中数学教材知识梳理·系统复习
第一单元 数与式 第1讲 实 数
知识点一：实数的概念及分类 关键点拨及对应举例 （1）按定义分 （2）按正、负性分 （1）0既不属于正数，也不属于负数. 正有理数 有理数 0 有限小数或 正实数 （2）无理数的几种常见形式判断：①含π的式子；②构造型：如…（每两个1之间多个0）就是一个无限不循环小数；③开方开不尽的数：如，；④三角函数型：如sin60°，tan25°. （3）失分点警示：开得尽方的含根号的数属于有理数，如=2，=-3，它们都属于有理数. 1.实数 负有理数 无限循环小数 实数 0 实数 正无理数 负实数 无理数 无限不循环小数 负无理数 知识点二 ：实数的相关概念 （1）三要素：原点、正方向、单位长度 例： 数轴上表示的点到原点的距离是. 2.数轴 （2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 （1）概念：只有符号不同的两个数 a的相反数为-a，特别的0的绝对值是0. 例：3的相反数是-3，-1的相反数是1. 3.相反数 （2）代数意义：a、b互为相反数 a+b=0 （3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等 （1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离 （1）若|x|=a（a≥0），则x=±a. （2）运算性质：|a|= a (a≥0)； |a-b|= a-b(a≥b) （2）对绝对值等于它本身的数是非负4.绝对值 -a(a＜0). b-a(a＜b) （3）非负性：|a|≥0，若|a|+b=0,则a=b=0. 2数. 例：5的绝对值是5；|-2|=2；绝对值等于3的是±3;|1-|=-1. 5.倒数 （1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a≠例： 0) （2）代数意义：ab=1 知识点三 ：科学记数法、近似数 （1）形式：a×10,其中1≤|a|＜10，n为整数 n-2的倒数是-1/2 ；倒数等于它本身的数a,b互为倒数 有±1. 例： 21000用科学记数法表示为×10； 19万用科学记数法表示为×10；用科学记数法表示为7×10. 例： 精确到百分位是；精确到是. -4546.科学记数法（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成a×10，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个） （1）定义：一个与实际数值很接近的数. -n 7.近似数 （2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 知识点四 ：实数的大小比较 （1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大. 例： 8.实数的大小比较 （2）性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而 小. （3）作差比较法：a-b＞0a＞b；a-b=0a=b；a-b＜0（4）平方法：a＞b≥0a＞b. 22把1，-2,0，按从大到小的顺序排列结果为___1＞0＞-2＞. a＜b. 知识点五 ：实数的运算 9. 常见运算 乘 方 零次幂 几个相同因数的积; 负数的偶（奇）次方为正（负） a=_1_(a≠0) -pp0例： （1）计算：1-2-6=_-7__;(-2)=___4__; 3=_1/3_;π=__1__; (2)64的平方根是_±8__,算术平方根是__8_,立方根是__4__. -102负指数幂 a=1/a（a≠0，p为整数） 平方根、 算术平方根 立方根 3若x=a,则x=3a. 2若x=a（a≥0）,则x=?a.其中a是算术平方根. 失分点警示：类似 “的算术平方根”计算错误. 例：相互对比填一填：16的算术平方根是 4___,的算术平方根10.混合运算 先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左 向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、 中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律， 使问题简单化 是___2__. 第2讲 整式与因式分解
知识点一：代数式及相关概念 （1）代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字关键点拨及对应举例 1.代数式 母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式． （2）求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值． （1）单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项求代数式的值常运用整体代入法计算. 例：a－b＝3，则3b－3a＝－9. 例： 式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的2.整式 次数. （1）下列式子：①-2a;②3a-5b；③x/2;④2/x;⑤7a;⑥7x+8xy；⑦2017.其中（2）多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高属于单项式的是①③⑤⑦；多项式是②的项的次数叫做多项式的次数. ⑥；同类项是①和⑤. （3）整式：单项式和多项式统称为整式. （2）多项式7mn-11mn+1是六次三项式，（4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有常数项是 __1 . 的常数项都是同类项. 522232（单项式、多项式） 知识点二：整式的运算 3.整式的加减运算 (1)合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． (2)去括号法则: 若括号外是“＋”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“－”，则括号里的各项都变号. (3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项. (1)同底数幂的乘法：a·a＝a； mnm＋n失分警示：去括号时，如果括号外面是符号，一定要变号，且与括号内每一项相乘，不要有漏项. 例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2. 其中m,n (1)计算时，注意观察，善于运用它们的逆运算解决问题.例：已知2m+n=2,则34.幂运算法则 (2)幂的乘方：(a)＝a； (3)积的乘方：(ab)＝a·b； (4)同底数幂的除法：a÷a＝amnm－nnnnmnmn (a≠0). 都在整数 ×2×2=6. （2）在解决幂的运算时，有时需要先化成mn同底数.例：2·4=2. mm3m(1)单项式×单项式：①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄． (2)单项式×多项式： m(a+b)=ma+mb. 失分警示：计算多项式乘以多项式时，注意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错. 例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2. 5.整式的乘除运算 (3)多项式×多项式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb. (4)单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除. (5)多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加． （6）乘法 公式 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a－b. 完全平方公式：(a±b)＝a±2ab＋b. 变形公式： a+b=(a±b)?2ab,ab=【(a+b)-（a+b）】 /2 22222222222注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的运用 6.混合运算 注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、代入替换、计算． 例：（a-1）-(a+3)(a-3)-10=_-2a__. 2知识点五：因式分解 (1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式． 7.因式分解 (2)常用方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c). ②公式法：a－b＝(a＋b)(a－b)；a±2ab＋b＝(a±b). (3)一般步骤：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式法分解；③检查各因式能否继续分解. 22222(1) 因式分解要分解到最后结果不能再分解为止，相同因式写成幂的形式； (2) 因式分解与整式的乘法互为逆运算． 第3讲 分 式
知识点一：分式的相关概念 关键点拨及对应举例 在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1）判断化简之间的式子；（2）π是常数，不是字母. 例：下列分式：①;②; ③;④分式是②③④；最简分式 ③. 1. 分式的概念 A（1）分式：形如 (A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)B的式子. （2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式. 2x?2，其中是x2?1(1)无意义的条件：当B＝0时，分式A无意义； BA有意义； B失分点警示：在解决分式的值为0，求值的问题时，一定要注意所求得的值满足分母不为0. 2.分式的意义 (2)有意义的条件：当B≠0时，分式A(3)值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式＝0. B( 1 ) 基本性质：x2?1例： 当的值为0时，则x＝-1. x?1AA?CA?C??(C≠0)． BB?CB?C3.基本性质 由分式的基本性质可将分式进行化简： （2）由基本性质可推理出变号法则为： A?AAA?A???A????； ??. B?BBBB?Bx2?1x?1例：化简：2=. x?2x?1x?1知识点三 ：分式的运算 (1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去， 分式通分的关键步骤是找出分式的最 简公分母，然后根据分式的性质通分. 例：分式4.分式的约分和通分 即ama?； bmb(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即11和的最简公分母2xx?1x?x??acacbd,?, bdbcbcaba±b； cccacbd为xx2?1. ??(1)同分母：分母不变，分子相加减.即±＝5.分式的加减法 例：(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即±＝ad±bc. bd(1)乘法：·＝1x＝－1. ?x?11?x 112a??2.a?1a?1a?1 6.分式的acacacad； (2)除法：?＝； bdbdbcbdn例：ab121＝2y； ?＝；?xxy2ba2?3?＝27. ?3???8x?2x?3乘除法 (3)乘方：?a?＝a (n为正整数). ??bn?b?(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先n失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入7.分式的分解后约分. 注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到混合运算 (2)含有括号的运算：再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的． 整体代入.
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