课 时 教 学 设 计 首 页（试用）
授课时间： 年 月
日
课题
3.1.1 排 列
课型
新授
第几 课时
1～2
课 时 教 学 目 标
（三维）
1、理解排列的定义，掌握排列数的计算公式 ;
2、学生的数学计算技能、计算工具使用技能和数学思维能力
得到提高
教学重点：
排列数计算公式
教学 重点
与 难点
教学难点：
排列数计算公式
教学 方法 与 手段
讲练结合，启发启发教学
使 用 教 材 的 构 想
讲解时要注意进行数学方法的渗透． 首先考虑特殊元素或特殊位置，
然后再考虑一般元素或位置， 分步骤来研究问题， 这种研究方法是本章 中经常使用的方法．排列数的计算一般的数字都是比较大，比较麻烦， 采用计算器来完成计算非常便捷．
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课 时 教 学 流 程
☆补充设计 ☆
教 师 行 为
* 揭示
学生行为 教学意图
3．1
排列与 合．
* 情境
趣 入
了解
基 模 中，曾 学 了两个 数原理．大家知道： （ 1）如果完成一件事，有 N 方式 .第一 方式有
法，第二 方式有 k2 种方法，??，第 那么完成 件事的方法共有
k1 种方
n 方式有 kn 种方法，
N = k1 + k2 +?+ kn （种）．
（2）如果完成一件事，需要分成
步 有 k1 种方法， 完成第 2 个步 有
（ 3.1）
N 个步 ．完成第 1 个
k2 种方法， ??， 完成第
看
引 启
学 生
件
n 个步 有 kn 种方法，并且只有 n 个步 都完成后， 件事 才能完成，那么完成 件事的方法共有
思考
得出 果
N = k1 · k2 ·?· kn （种）．
下面看一个 ：
多少种不同的机票？
（3.2）
在北京、重 、上海 3 个民航站之 的直达航 ，需要准
个 就是从北京、重 、上海
法的 数 .
首先确定机票的起点，从
3 个民航站中，每次取
出 2 个站，按照起点在前， 点在后的 序排列，求不同的排列方
3 个民航站中任意 取 1 个，有
3 种不同的方法；然后确定机票的 点，从剩余的
中任意 取 1 个，有 2 种不同的方法．根据分步 数原理，共 有 3× 2=6 种不同的方法，即需要准 海→北京，上海→重 . * 思考 探索新知
2 个民航站
6 种不同的 机票：
北京→重 ，北京→上海，重 →北京，重 →上海，上
思考
引
学 生
我 将被取的 象（如上面 中的民航站）叫做元素，
解 决 方法
上面的 就是：从 3 个不同元素中，任取 2 个，按照一定的
序排成一列，可以得到多少种不同的排列.
理解
一般地，从 n 个不同元素中，任取 m (m≤ n)个元素，按照
一定的 序排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的
一个 排列， m n 叫做 排列 ， m * 巩固知 典型例
n 叫做 全排列 .
例 1 写出从 4 个元素 a, b, c, d 中任取 2 个元素的所有排
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课 时 教 学 流
程 察
列．
注意
分析 解
首先任取 1 个元素放在左 ，然后在剩余的元素中 所有排列
察 学生 是否 理解 知 点
任取 1 个元素放在右 ．
思考
ab, ac, ad ,ba, bc, bd , ca, cb,cd ,da.db, dc ．
主
求解
【 明】
如果两个排列相同，那么不 要求 两个排列的元素完全相同，而且排列的 序也要完全相同．
* 思考 探索新知
从 n 个不同元素中，取出 m(m≤ n)个元素的所有排列的个 数，叫做从 n 个不同元素中取出
m 个元素的排列数， 用符号 Pnm
表示 .
例 1 中，从 4 个元素 a, b, c, d 中任取 2 个元素的的排列数
P42 ．可以看到
P42 12．．
下面研究 算排列数的公式．
算 Pnm 可以 考 ：假定有排列 序的
m 个空位（如
3－ 1）
第 1 位
第 2 位
第 3 位
?
第 m 位
思考
启 学 生 解 决
引
3－ 1
第一步，从 n 个元素中任 1 个元素，填到第 1 个位置，有 n 中方法；
第二步， 从剩余的 n－ 1 个元素中任 1 个元素， 填到第 2 个位置，有 n－ 1 种方法；
第三步， 从剩余的 n－ 2 个元素中任 1 个元素， 填到第 3 个位置，有 n－ 3 种方法；
的方法
??
第 m 步，从剩余的 n－（ m－ 1）个元素中任 1 个元素，填到第 m 个位置，有 n－ m+1 种方法；
根据分步 数原理，全部填 空位的方法 数
n(n－ 1)(n－ 2)? (n－m+1) ．
由此得到，从
数 Pm
n
n 个不同元素中任取
m(m≤ n)个元素的排列
理解
Pnm =n(n－1)(n－ 2)? (n－ m+1)
（ 3.１）
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课 时 教 学 流 程
其中， m， n
N * ，且 m≤ n．公式（ 3.3）叫做排列数公
式．
当 m=n ，由公式（
3.3）得
（3.4）
n 的 乘， 作
n!.
Pnn =n(n－ 1)(n－ 2)? 3× 2× 1.
正整数由 1 到 n 的 乘 ，叫做
【 明】
定 0!
1
即 n! = n(n－ 1)(n－ 2)? 3×2× 1. 因此公式（ 3.4） 可以写成
Pnn =n!
一般地，
（ 3.5）
Pnm n( n 1)(n 2) ( n- m+1)
= n(n 1)(n 2)
(n
n ! （ n m)!
( n m 1) 2 1 m) 2 1
因此，当 m＜ n ，公式（ 3.3） 可以写成
Pnm
n!
（ n m)!
（ 3.6）
* 巩固知
典型例
察
【例题】
例 2 算 P52 和 P44
注意
察 学生 是否 理解 知 点
解
P52
=5×4=20 ，
思考
P4例 3 分析
4
4！ 4 3 2 1 24．
主
小 准 从 7 本世界名著中任 3 本，分 送 甲、 1 本，共有多少种 法？
求解
乙、丙 3 位同学，每人
出 3 本不同的 ， 分 送 甲、 乙、丙 3 位同学，
5 个不同元
察
的不同排序， 果是不同的 .因此 法的种数是从 素中取 3 个元素的排列数．
解
不同的送法的种数是
P73
思考
7 6 5 210．
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课 时 教 学 流 程
即共有 210 种不同送法． 明
公式（ 3.3）与公式（ 3.6）都是 算排列数的公式
.
算排列数，通常使用公式（ 3.3）； 行有关排列数的 明与研究通常
使用公式（ 3.6） .
例 4 用 0，1，2，3，4，5 可以 成多少个没有重复数字 的 3 位数？
分析 因 百位上的数字不能
个数排列．
解 所求三位数的个数
0，所以分成两步考
2
理解
．第一步先排百位上的数字；第二步从剩余的数字中任取
学生
自我
P91 P92
9 (9 8) 648 ．
【 明】
思考
象例 4 ，“首先考 特殊元素或特殊位置，然后再考
一般元素或位置，分步 来研究 ”是本章中 常使用的 方法． * 思考
主
求解
探索新知
【计算器使用】
思考
启
引
算
4！
利用 算器， 可以方便地求出任意一个正整数的 乘
4，然后依次按 SHIFT 例， 算方法是： 入数字
.以
、
学 生 解 决 的方法
x!
、 =
， 示 24.即 4！=24.
利用 算器，可以方便地 算排列数
6，然后依次按
.以 算 P63 例， SHIFT 、 n Pr
3
算方法是： 入数字
，然
后 入数字
3，按 = ， 示
120.即 P6 =120.
* 运用知 化
1.填空
（ 1）已知 Pn2 =56，那么 n=
（ 2）用
三位数，共有
.
及 了解 学生 知 掌握 情况
手
1， 2， 3， 4， 5 五个数字 成没有重复数字的
个 .
求解
2.在 A ，B ， C， D 四个候 人中， 出正副班 各一个，
法的种数是多少？ * 理 升
整体建构
思考并回答下面的 ：
排列数 算公式的内容是什么？
回答
生 共 同
理解
重点
：
从 n 个不同元素中任取 m(m ≤ n)个元素的排列数
Pn
m 化
Pnm =n(n－1)(n－2)? ( n－ m+1)
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