2010级数学分析（1）期末复习
第一部 各章内容基本要求
第一章 实数集与函数
1. 熟练掌握绝对值的三角不等式，理解实数的完备性、有理数的稠密
性。
2. 熟练掌握上、下确界的概念及其等价刻画，明白上、下确界与最大、
最小值的联系与区别，理解确界原理。 3. 掌握邻域、空心邻域的概念。
4. 掌握函数的概念及其表示方法，明白函数与其反函数的关系，理解函
数是一种对应关系，函数未必都能画出图像。 5. 掌握基本初等函数与初等函数的概念。
6. 掌握函数的有界性、奇偶性、单调性、周期性，理解周期的概念。 7. 熟悉一些特殊的函数及其简单性质，比如狄莉克莱（Dirichlet ）函数
D(x), 取整函数[x], 符号函数sign (x)等。 例1. 分别求 S1??之。
例2. 对任一实数集S，证明 sup S = sup {S ? {sup S}}。
例3. 证明，任何函数 f 都可以写成一个奇函数与一个偶函数之和。
第二章 数列极限
1. 掌握数列极限的 ?-N定义及其几何意义，明白极限是一种趋势，它与数
列的任何有限多项无关。
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?1?n|?n?1,2,3,...?,S2?[0,1]
?的上、下确界，并证明
2. 掌握数列收敛性与有界性的关系。
3. 掌握收敛数列的极限唯一性、数列有界性、保号性。 4. 掌握单调有界收敛准则，两边夹定理，Cauchy收敛准则。
例4. 用?-N语言证明 limn??n?2010n?2011?2n???0。
例5. 证明，若liman?a?0，则存在N > 0, 使得对 任意 n > N 有
?a?an??,2a?。
?2?例6. 证明，若 inf S ? S, 则存在数列 xn ? S，使得
（1） xn 单调递减； （2） limxn?infS 。
n??例7. 证明，若数列 { xn } 从某项开始恒满足 | xn - xn-1 | < 1/n2, 则数列
{ xn }收敛。 例8.
lim?(求?n??1n??12???1n??22???????1n??n2)?（此用迫敛性证明，等式
左右的极限都是0）
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例9.
第三章 函数极限
1. 掌握函数极限的 ?-?定义、?- M定义及其几何刻画，明白极限是一种趋
势，它与函数在指定点的函数值无关。
2. 掌握函数左、右极限的定义及其与函数极限的关系，会用它判别分段函
数在分段点处的极限存在性。
3. 掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。
4. 掌握函数极限存在的两边夹定理，Cauchy收敛准则以及归结原则。 5. 掌握无穷大量、无穷小量的概念、性质及其阶（同阶、高阶、等价），
明白无穷大量与无界量的联系与区别，掌握等价无穷大量、无穷小量代换定理。
6. 掌握两个重要极限及其变形，熟记当x → 0时如下几个常用等价无穷小
量：sin x ? x, ex – 1 ? x, ln(1+ x )? x, 1– cos x ? x2/2, tan x ? x, arcsin x ? x, arctan x ? x. 会利用极限运算性质、两个重要极限以及等价无穷小量代换定理计算各种极限，尤其是不定式极限。 7. 会求曲线的铅直、水平和斜渐近线。
例10. 用?-?语言证明 limx2?1?3.。
x?2例11. 已知
2x??e?1???sinxln(1?x)?f(x)??0?tanxarcsinx??2(1?cosx)?,,,x?0x?0 x?0. 3 / 15
求limf(x).。
x?0x?xcosxsin221例12. 求lim证明
x??x2x?2009x?2010?(lnx)2. （不知道答案是不是 1）待续
例13. 求lim?cosx?x?01/x2.
x?1.
例14. 求limx???x?1?x?2?1x?1?21x例15. 求limx?3.
例16. 证明limsinx?0不存在.
x?x?1x?143例17. 求曲线y??2的所有渐近线。（这道题目运算有点复杂
吗，暂时还不能求解，要下次待续啊！）
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