专题复习（七）几何综合题
类型1 类比探究的几何综合题 类型2 与图形变换有关的几何综合题 类型3 与动点有关的几何综合题 类型4 与实际操作有关的几何综合题 类型5 其他类型的几何综合题
类型1 类比探究的几何综合题 （2018苏州）
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（2018烟台）
（2018东营）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=33，BO：CO=1:3，求AB的长． 经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）． 请回答：∠ADB= °，AB= ． （2）请参考以上解决思路，解决问题：
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如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，
AO=33，∠ABC=∠ACB=75°， BO：OD=1:3，求DC的长．
B OCAAADOBODCBC
(第24题图1)
(第24题图2)
(第24题图3)
（2018长春）
（2018陕西）
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（2018齐齐哈尔）
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（2018河南）
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（2018仙桃）
问题：如图①，在Rt△ABC中，AB?AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转
90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 ；
探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB?AC，AD?AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探
索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC?∠ACB?∠ADC?45°．若BD?9，CD?3，求AD的长．
（2018襄阳）如图(1)，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD， 垂足为点F． (1)证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
AG的值为 ； BE(2)探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图(2)所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展与运用
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，
②推断：
GH=22，则BC= ．
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（2018淮安）
（2018咸宁）
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（2018黄石）在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）.
（1）如图1，若EF∥BC，求证：
S?AEFAEgAF? S?ABCABgACSAE3?,求?AEF的值.
S?ABCAB4A（2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，
AAEFEFEGF
BCBCBC
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（2018山西）
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（2018盐城）【发现】如图①，已知等边?ABC，将直角三角形的60角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、，使两边分别交线段AB、AC于点E、F. C重合）
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（1）若AB?6，AE?4，BD?2，则CF?_______； （2）求证：?EBD:?DCF.
【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示.问点D是否存在某一位置，使ED平分?BEF且FD平分?CFE？若存在，求出若不存在，请说明理由.
【探索】如图③，在等腰?ABC中，AB?AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中?MON??B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与?ABC的顶点重合），连接EF.设?B??，则?AEF与?ABC的周长之比为________（用含?的表达式表示）.
BD的值；BC
（2018绍兴）
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（2018达州）
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（2018菏泽）
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（2018扬州）问题呈现
如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN与EC相交于点P，求tan?CPN的值. 方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题中?CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题.比如连接格点M、N，可得MN//EC，则
?DNM??CPN，连接DM，那么?CPN就变换到中Rt?DMN.
问题解决
（1）直接写出图1中tan?CPN的值为_________；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos?CPN的值； 思维拓展
（3）如图3，AB?BC，AB?4BC，点M在AB上，且AM?BC，延长CB到N，使BN?2BC，连接AN19 / 59
交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求?CPN的度数.
（2018常德）已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E,过D作DH?AE于H,设直线DH交AC于N.
（1）如图14，当M在线段BO上时，求证：MO?NO；
（2）如图15，当M在线段OD上，连接NE,当EN//BD时，求证：BM?AB； （3）在图16，当M在线段OD上，连接NE,当NE?EC时，求证：AN?NC?AC.
（2018滨州）
2
（2018湖州）
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（2018自贡）如图，已知?AOB?60o,在?AOB的平分线OM上有一点C,将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E . ⑴当?DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE?OD与OC的数量关系，并说明理由； ⑵当?DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，⑴中的结论是否成立？并说明理由； ⑶当?DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
AMDCEDCEAAMMCOBOBOB图2（2018嘉兴、舟山）
图1图3
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.（2018淄博）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB?AC，在?ABC的外侧分别以
AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD,CE，BC的中点M,N,G，连接GM,GN.小
明发现了：线段GM与GN的数量关系是 ；位置关系是 . （2）类比思考：
如图②，小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB?AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由. （3）深入研究：
如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究.向?ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE，其它条件不变，试判断?GMN的形状，并给与证明.
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类型2 与图形变换有关的几何综合题
（2018宜昌）在矩形ABCD中，AB?12，P是边AB上一点，把VPBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点
G，过点B作BE?CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F.
(1)如图1，若点E是AD的中点，求证:?AEB≌?DEC； (2) 如图2，①求证: BP?BF；
②当AD?25，且AE?DE时，求cos?PCB的值； ③当BP?9时，求BEg EF的值.
图1 图2 图2备用图 23.(1)证明：在矩形ABCD中，?A??D?90,AB?DC, 如图1，又QAE?DE，
o图1
?ABE??DCE,
(2)如图2，
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图2
①在矩形ABCD中，?ABC?90o,
Q?BPC沿PC折叠得到?GPC
??PGC??PBC?90o,?BPC??GPCQBE?CG ?BE//PG, ??GPF??PFB
??BPF??BFP ?BP?BF
②当AD?25时，
Q?BEC?90o
??AEB??CED?90o, Q?AEB??ABE?90o,
??CED??ABE
又Q?A??D?90o,
??ABE∽?DEC
?ABAE?DECD ∴设AE?x，则DE?25?x，
?12x?25?x12， 解得x1?9，x2?16
QAE?DE ?AE?9,DE?16, ?CE?20,BE?15,
由折叠得BP?PG，
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?BP?BF?PG, QBE//PG, ??ECF∽?GCP
?EFCE ?PGCG设BP?BF?PG?y，
?15?y20? y252525 则BP? 332510BC25310,cos?PCB? ??3PC2510103?y?在Rt?PBC中，PC?③若BP?9,
解法一：连接GF，（如图3）
Q?GEF??BAE?90o, QBF//PG,BF?PG
∴四边形BPGF是平行四边形
QBP?BF,
?平行四边形BPGF是菱形
?BP//GF, ??GFE??ABE, ??GEF∽?EAB
?EFAB ?GFBE?BEgEF?ABgGF?12?9?108
解法二：如图2，
Q?FEC??PBC?90o,
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?EFC??PFB??BPF, ??EFC∽?BPC
?EFCE ?BPCB又Q?BEC??A?90o, 由AD//BC得?AEB??EBC,
??AEB∽?EBC
ABCE ?BECBAEEF ??BEBP??BEgEF?AEgBP?12?9?108
解法三：（如图4）过点F作FH?BC，垂足为HS?BPFS四边形PFEG?BFBF?
EF?PGBE图4
BFS?BFCEF?BCEF??? BES?BEC12?BC12?9EF ?BE12?BEgEF?12?9?108
（2018邵阳）
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（2018永州）
（2018无锡）
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（2018包头）
（2018赤峰）
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（2018昆明）
（2018岳阳）
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（2018宿迁）
（2018绵阳）
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（2018南充）
（2018徐州）
类型3 与动点有关的几何综合题 （2018吉林）
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（2018黑龙江龙东）
（2018黑龙江龙东）
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（2018广东）已知Rt△OAB，∠OAB=90，∠ABO=30，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60，如图25-1图，连接BC.
（1）填空：∠OBC=_______；
（2）如图25-1图，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；
（3）如图25-2图，点M、N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止.已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒.设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？（结果可保留根号）
o
o
o
o
（2018衡阳）
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（2018黔东南）如图1，已知矩形AOCB，AB?6cm，BC?16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动.
（1）点P到达终点O的运动时间是________s，此时点Q的运动距离是________cm； （2）当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为________cm； （3）请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm；
（4）如图2，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，1cm长为单位长度建立平面直角坐标系，连结AC，与PQ相交于点D，若双曲线y?不会变化，请求出k的值.
（2018青岛）已知：如图，四边形ABCD，AB//DC,CB?AB，AB?16cm,BC?6cm,CD?8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s.点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为t?s?，0?t?5.
k过点D，问k的值是否会变化？若会变化，说明理由；若x
根据题意解答下列问题： （1）用含t的代数式表示AP；
（2）设四边形CPQB的面积为Scm2，求S与t的函数关系式；
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??（3）当QP?BD时，求t的值；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在?ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
（2018广州）如图12，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC. (1)求∠A+∠C的度数
（2）连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系，并说明理由。
（3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE?BE+CE,求点E运动路径的长度。
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（2018温州）
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（2018江西）
（2018潍坊）
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类型4 与实际操作有关的几何综合题
（2018徐州）如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°
【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板绕点旋转，并使边DE与边．．．．DEF．．．．．E．．．AB交于点P，边EF与边BC于点Q 【探究一】在旋转过程中， （1） 如图2，当（2） 如图3，当
CE＝1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明. EACE＝2时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由. EA41 / 59
（3） 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当
CE＝m时，EP与EQ满足的数量关系式 EA2
为_________,其中m的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明)
【探究二】若，AC＝30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm)，在旋转过程中：
（1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由. （2） 随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.
（2018成都）
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（2018枣庄）
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（2018德州）
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类型5 其他类型的几何综合题 （2018宁波）
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（2018安徽）如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F. （1）求证:CM=EM；
（2）若∠BAC=50°,求∠EMF的大小；
（3）如图2,若△DAE≌△CEM,点N为CM的中点,求证:AN∥EM.
17. （1）证明：∵M为BD中点 Rt△DCB中，MC=
1BD 21Rt△DEB中，EM=2BD
∴MC=ME
（2）∵∠BAC=50° ∴∠ADE=40° ∵CM=MB ∴∠MCB=∠CBM
∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM 同理，∠DME=2∠EBM ∴∠CME=2∠CBA=80° ∴∠EMF=180°-80°=100° （3）同（2）中理可得∠CBA=45° ∴∠CAB=∠ADE=45° ∵△DAE≌△CEM
1∴DE=CM=ME=2BD=DM，∠ECM=45°
∴△DEM等边 ∴∠EDM=60° ∴∠MBE=30° ∵∠MCB+∠ACE=45° ∠CBM+∠MBE=45°
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∴∠ACE=∠MBE=30° ∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75° 连接AM，∵AE=EM=MB ∴∠MEB=∠EBM=30°
1∠AME=2∠MEB=15°
∵∠CME=90°
∴∠CMA=90°-15°=75°=∠ACM ∴AC=AM ∵N为CM中点 ∴AN⊥CM ∵CM⊥EM ∴AN∥CM
（2018金华、丽水）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12.点D在直线CB上，以CA,CD为边作矩形ACDE,直线AB与直线CE,DE的交点分别为F,G.
（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形.
①若点G为DE中点，求FG的长. ②若DG=GF，求BC的长.
（2）已知BC=9，是否存在点D,使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由.
A F G E
C
D
第24题图
B
（2018金华（丽水））在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12.点D在直线CB上，以CA,CD为边作矩形ACDE,直线AB与直线CE,DE的交点分别为F,G.
（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形.
①若点G为DE中点，求FG的长. ②若DG=GF，求BC的长.
（2）已知BC=9，是否存在点D,使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由.
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(2018眉山）如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.
（1）求证：BN平分∠ABE；
（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长； （3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC.
(2018泰安)
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（2018威海）如图①，在四边形BCDE中，BC?CD，DE?CD，AB?AE，垂足分别为C,D，A，BC?AC，点M,N,F分别为AB,AE,BE的中点，连接MN,MF,NF.
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(1)如图②，当BC?4，DE?5，tan∠FMN?1时，求
AC的值； AD1(2)若tan∠FMN?，BC?4，则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程；
2(3)连接CM,DN,CF,DF，试证明△FMC与△DNF全等； (4)在(3)的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出. 解：(1)∵M,N,F分别是AB,AE,BE的中点， ∴BM?NF?MA，MF?AN?NE. ∴四边形MANF是平行四边形. 又∵BA?AE.
∴平行四边形MANF是矩形. 又∵tan∠FMN?1，∴
FN?1，即FN?FM. FM∴矩形MANF为正方形. ∴AB?AE.
∵∠1?∠2?90°，∠2?∠3?90°， ∴∠1?∠3， ∵∠C?∠D?90°， ∴△ABC≌△EAD(AAS) ∴BC?AD，CA?DE. ∵BC?4，DE?5. ∴
AC5?. AD4
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(2)可求线段AD的长.
由(1)知，四边形MANF为矩形，FN?11AB，MF?AE， 2∵tan∠FMN?1FN1AB12，即FM?2，∴AE?2.
∵∠1?∠3，∠BCA?∠ADE?90°， ∴△ABC:△FAD. ∴
ABBCAE?AD. ∵BC?4，∴142?AD， ∴AD?8.
(3)∵BC?CD，DE?CD. ∴△ABC与△ADE都是直角三角形. ∵M,N分别是AB,AE中点. ∴BM?CM，NA?ND. ∴∠4?2∠1，∠5?2∠3. ∵∠1?∠3，∴∠4?∠5.
∴∠FMC?90°?∠4，∠FND?90°?∠5. ∴∠FMC?∠FND. ∵FM?DN，CM?NF. ∴△FMC≌△DNF(SAS).
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(4)△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE.
（2018武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°、
(1) 如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN (2) 如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC＝
25，求tanC的值 53AD2(3) 如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC＝，?，直接写出tan∠CEB的值
5AC5
（2018贵阳）
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（2018哈尔滨）
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(2018沈阳)
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