龙游中学高二数学竞赛辅导1----函数值域最值问题
一、基本函数的值域：
1、一次函数y?kx?b（a?0）的定义域为R，值域为R； 2、二次函数y=ax2+bx=c (a不为0)的最值：
4ac?b24ac?b2bb① a<0，当x=?时，ymax?； ② a>0，当x=?时，ymin?
4a4a2a2a3、反比例函数y?k(k?0)的定义域为{x|x?0}，值域为{y/y?0}； x84、指数函数y?ax(a?0,a?1)的定义域为R，值域为［0 ，＋∞）； 5、对数函数y?logax(a?0,a?1)的定义域为［0 ，＋∞），值域为R； 646、函数y=sinx、y=cosx的值域是 ??1,1?；
acO?8、函数y?tanx,(x?k?? )的值域为R。 d-2c二、两个重要函数
ax?b1、一次分式函数y?(c?0,ad?bc)的图象和性质：
cx?ddadd（1）定义域：{x|x??}（2）值域：{y|y?}（3）单调性：单调区间为(??,?),(?,+?)（4）
ccccdada渐近线及对称中心：渐近线为直线x??,y?，对称中心为点(?,)
cccc（5）奇偶性：当a?d?0时为奇函数。（6）图象：如图所示。
b2、对号函数y?ax?的图象和性质：
xb1°对号函数y?ax?(a?0,b?0)的图象和性质：
x（1）定义域：{x|x?0}（2）值域：{y|y?2ab,或y??2ab}（3）奇偶
2-10-55-2性：奇函数（4）单调性：在区间[bb,+?),??(?,]是增函数；在区间上aa(0,bb],?[,0)上是减函数（5）渐近线：以y轴和直线y?ax为渐近线（6）图aa象：如图所示。
b(a?0,b?0)的图象和性质： x（1）定义域：{x|x?0}（2）值域：R（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间(0,+?)和(??,0)上是增函数。（5）渐近线：以y轴和直线y?ax为渐近线（6）图象：如图所示。
b3°．函数y?ax?(a?0)的图象（如图所示）和性质（略）：
x三、一些常见类型的函数值域
2°．函数y?ax?1、二次函数的值域问题
例1、.当2?x?8时，求f(x)?(log2大值和最小值.
1
xx)?(log2)的最42
【解析】?y?(logx24)?(logx222)?(log2x?2)(log2x?1)?log2x?3log2x?2 令logx?t，?2?x?8，?122?t?3?y?t2?3t?2?(t?312)2?4，
3?当t?32时，y1min??4，此时x?22?22?当t?3时，y3max?2，此时x?2?8例2、设函数f（x）=x2+|x－2|－1，x∈R.，求函数f（x）的最小值. 解：当x≥2时，f（x）=x2+x－3，此时f（x）min=f（2）=3.
当x＜2时，f（x）=x2－x+1，此时f（x）1min=f（2）=34. 总之，f（x）3min=
4. 例3、根据下列条件，求实数a的值。
（1）函数y??x2?2ax?1?a在区间?0,1?上有最大值2；
（2）函数y?ax2?4ax?3在区间??4,2?上有最大值7； （3）函数y?ax2??2a?1?x?1在区间?3???2,2???上有最大值3。
解：（1）y??x2?2ax?1?a???x?a?2?a2?a?1
①若a?0则ymax?f?0??1?a?2?a??1符合题意 ②若0?a?1则y1?5max?f?a??a2?a?1?2?a?2均不符题意（舍） ③若a?1则ymax?f?1???1?2a?1?a?3?a?3符合题意
∴综上所述，a??1或a?3
（2）y?ax2?4ax?3?a?x?2?2?3?4a ①若a?0则y?3不符题意（舍）
②若a?0则y16a?3?4a?7?a?1max?f?2??3符合题意
③若a?0则ymax?f??2??3?4a?7?a??1符合题意 ∴综上所述，a??1或a?13
22（3）y?ax2??2a?1?x?1?a???x?2a?1?2a???1??2a?1?4a ①若y?3?9327max?f???2???4a?3a?2?1?3?a??3此时对称轴x??4符合题意
②若y1max?f?2??4a?4a?2?1?3?a?2此时对称轴x?0符合题意
?2a?1??2a?1?2③若y1max?f???2a???1?4a?3?a??2此时对称轴x??2不符题意 ∴综上所述，a??213或a?2
2
例4、（2002年全国）已知a为实数，函数f?x??x2?x?a?1?x?R?。
（1）讨论f?x?的奇偶性； （2）求f?x?的最小值。
解：（1）当a?0时?f??x??f?x??f?x?为偶函数
当a?0时?f?a??a2?a，f??a??a2?2a?1?f?a??f?x?不具有奇偶性 （2）当x?a时，f(x)?(x?1)2?324?a ①若a??12，则f(x)min?f(?12)?34?a;
②若a??12，则f(x)2min?f(a)?a?1
（2）当x?a时，f(x)?(x?1232)?4?a
①若a?12，则f(x)a)?a2min?f(?1;；
②若a?1132，则f(x)min?f(2)?4?a
综上所述，当a??12时，f(x)311min?4?a；当?2?a?2时，
f(x)213min?a?1；当a?2时，f(x)min?4?a。
?3?4?a,a??1?2即f?x??min??a2?1,?1?2?a?12 ???a?34,a?122、方程有解法题型
例1、求函数y?3x?1x?2的值域 （法一）反解法： y?3x?12x?1x?2的反函数为y?x?3，其定义域为{x?R|x?3}， ∴原函数y?3x?1x?2的值域为{y?R|y?3}。 （法二）分离变量法：y?3x?13(x?2)?7x?2?x?2?3?7x?2， ∵
7x?2?0，∴3?7x?2?3， ∴函数y?3x?1x?2的值域为{y?R|y?3}。 变式1：求函数y?3x?1x?2（x?1）的值域
3
3ex?1变式2：求函数y?x的值域
e?22x2?x?2例2、求函数y?2的值域；
x?x?12解：判别式法：∵x?x?1?0恒成立，∴函数的定义域为R。
2x2?x?22由y?2得：(y?2)x?(y?1)x?y?2?0 ①
x?x?1①当y?2?0即y?2时，①即3x?0?0，∴x?0?R
2②当y?2?0即y?2时，∵x?R时方程(y?2)x?(y?1)x?y?2?0恒有实根，
∴△?(y?1)?4?(y?2)?0， ∴1?y?5且y?2， ∴原函数的值域为[1,5]。 例3、求函数y?221?sinx的值域
2?cosx解：（法一）方程法：原函数可化为：sinx?ycosx?1?2y， ∴1?y2sin(x??)?1?2y（其中cos??∴sin(x??)?11?y2,sin??y1?y2），
1?2y1?y24∴原函数的值域为[0,]。
3sinx(1?sinx)?例4、在0?x?条件下，求y?的最大值．
(1?sinx)22t(1?t)?解析：设t?sinx，因x?(0，)，故 0?t?1，则y?
(1?t)22即 (1?y)t?(2y?1)t?y?0
22?[?1,1]，∴|1?2y|?1?y2，∴3y2?4y?0，∴0?y?4， 3因为 0?t?1，故y?1?0，于是??(2y?1)?4y(y?1)?0 即 y?将y?
1 8111代入方程得 t??[0，1]，所以ymax? 83821]的必要条件，注意：因??0仅为方程(1?y)t?(2y?1)t?y?0有实根t?[0，因此，必须将y?代入方程中检验，看等号是否可取．
3、基本不等式法（对号函数）
182x2?x?11(x?)；值域. 例1、求函数y?2x?1212x2?x?1x(2x?1)?11111解：y???x??(2x?1)??，∵x?，∴2x?1?0，
2x?12x?12x?122x?1221111111∴，y?(2x?1)???2(2x?1)??2?
22x?1222x?1221?211当且仅当(2x?1)?时，即x?时等号成立。∴y?22x?12
12?，
24
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