选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 ?g(x)?g(x?π)?g(x)?g(x?π)2cosx的x∈R，g(x+2π)=g(x)，h(x+2π)=h(x)。令f1(x)?，f2(x)??2?0?kπ?h(x)?h(x?π)x??h(x)?h(x?π)??x?kπ2sin2x2，其中k为任意整数。 ，f4(x)??f3(x)??2sinxkπ??0x?kπ0x??2?f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。当x?kπ?而
x?kπ?π2，πx?kπ?2容易验证fi(x)，i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的x∈R，fi(x+π)=fi(x)，i=1，2，3，4。下证对任意的x∈R，有
ππg(x)?g(x?π)时，显然成立；当x?kπ?时，因为f1(x)?f2(x)cosx?f1(x)?，222g(x?π)?g(kπ?3π3πππ)?g(kπ??2(k?1)π)?g(?kπ?)?g(kπ?)?g(x)，故对任意的x∈R，2222kπ时，显然成立；当x=kπ时，2f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。
下证对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。当x?h(x)=h(kπ)=h(kπ?2kπ)=h(?kπ)=?h(kπ)，所以h(x)=h(kπ)=0，而此时f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0，故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x；当x?kπ?π时， 23π3πππh(x?π)?h(kπ?)?h(kπ??2(k?1)π)?h(?kπ?)??h(kπ?)??h(x)2222h(x)?h(x?π)f3(x)sx?i?h(x)n，又f4(x)sin2x=0，从而有h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x。
2，故
于是，对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。综上所述，结论得证。
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 2007年全国高中数学联合竞赛加试试卷 （考试时间：上午10：00—12：00）
一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC中，AB A线段AD内一点。过P作PE⊥AC，垂足为E，做PF⊥AB，△BDF、△CDE的外心。求证：O1、O2、E、F四点共圆 的垂心。 二、（本题满分50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个棋子。如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个方向）上依次相连。问最少取出多少个棋子才可能满足要三、（本题满分50分）设集合P={1，2，3，4，5}，对任 5EFO1BDPO2CAD是边BC上的高，P是 垂足为F。O1、O2分别是的充要条件为P是△ABC小方格的中心点各放一个这两个棋子相连。现从这在一条直线（横、竖、斜求？并说明理由。 意k∈P和正整数m，记求证：对任意正整数n， f(m，k)= ?k?1??m?，其中[a]表示不大于a的最大整数。?i?1?i?1?存在k∈P和正整数m，使得f(m，k)=n。 2007年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案 一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC中，AB A线段AD内一点。过P作PE⊥AC，垂足为E，作PF⊥AB，垂足为F。O1、O2分别是 △BDF、△CDE的外心。求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是E△ABC的垂心。 FP证明：连结BP、CP、O1O2、EO2、EF、FO1。因为PD⊥BC，PF⊥AB，故B、D、P、F四点共圆，且BP为该圆的直径。又因为O1是△BDF的外心，故O1在BP上且是O2BP的中点。同理可证C、D、P、E四点共圆，且O2是的CP中点。综合以上知O1O1O2∥BC，所以∠PO2O1=∠PCB。因为AF·AB=AP·AD=AE·AC，所 DB'CB以B、C、E、F四点共圆。 充分性：设P是△ABC的垂心，由于PE⊥AC，PF⊥AB，所以B、O1、P、E四点共线，C、O2、P、F四点共线，∠FO2O1=∠FCB=∠FEB=∠FEO1，故O1、O2、E、F四点共圆。 必要性：设O1、O2、E、F四点共圆，故∠O1O2E+∠EFO1=180°。 由于∠PO2O1=∠PCB=∠ACB?∠ACP，又因为O2是直角△CEP的斜边中点，也就是△CEP的外心，所以∠PO2E=2∠ACP。因为O1是直角△BFP的斜边中点，也就是△BFP的外心，从而∠PFO1=90°?∠BFO1=90°?∠ABP。因为B、C、E、F四点共圆，所以∠AFE=∠ACB，∠PFE=90°?∠ACB。于是，由∠O1O2E+∠EFO1=180°得 (∠ACB?∠ACP)+2∠ACP+(90°?∠ABP)+(90°?∠ACB)=180°，即∠ABP=∠ACP。又因为AB 解：最少要取出11个棋子，才可能满足要求。其原因如下： 如果一个方格在第i行第j列，则记这个方格为(i，j)。 第一步证明若任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，即五个棋子在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。用反证法。假设可取出10个棋子，使余下的棋子没有一个五子连珠。如图1，在每一行的前五格中必须各取出一个棋子，后三列的前五格中也必须各取出一个棋子。这样，10个被取出的棋子不会分布在右下角的阴影部分。同理，由对称性，也不会分布在其他角上的阴影部分。第1、2行必在每行取出一个，且只能分布在(1，4)、(1，5)、(2，4)、(2，5)这些方格。同理(6，4)、(6，5)、(7，4)、(7，5)这些方格上至少要取出2个棋子。在第1、2、3列，每列至少要取出一个棋子，分布在(3，1)、(3，2)、(3，3)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(5，1)、(5，2)、(5，3)所在区域，同理(3，6)、(3，7)、(3，8)、(4，6)、(4，7)、(4，8)、 选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (5，6)、(5，7)、(5，8)所在区域内至少取出3个棋子。这样，在这些区域内至少已取出了10个棋子。因此，在中心阴影区域内不能取出棋子。由于①、②、③、④这4个棋子至多被取出2个，从而，从斜的方向看必有五子连珠了。矛盾。 图1 图2 第二步构造一种取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠。如图2，只要取出有标号位置的棋子，则余下的棋子不可能五子连珠。 综上所述，最少要取走11个棋子，才可能使得余下的棋子没有五子连珠。 三、（本题满分50分）设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记 ?k?1?f(m，k)=??m?，其中[a]表示不大于a的最大整数。求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得f(m， i?1i?1??5k)=n。 证明：定义集合A={mk?1|m∈N*，k∈P}，其中N*为正整数集。由于对任意k、i∈P且k≠i， k?1是无理数，i?1则对任意的k1、k2∈P和正整数m1、m2，m1k1?1?m2k2?1当且仅当m1=m2，k1=k2。由于A是一个无穷集，现将A中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n，设此数列中第n项为mk?1。下面确定n与m、k的关系。若m1i?1?mk?1，则m1?mk?1。由m1是正整数可知，对i=1，2，3，4，5，满足这个条i?15??k?1?k?1?m件的m1的个数为?m。从而n=???=f(m，k)。因此对任意n∈N*，存在m∈N*，k∈P，使得f(m，?i?1?i?1?i?1??k)=n。 选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (按ctrl 点击打开) 选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
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