第一节 实数及其运算
知识点一：实数的概念及分类
（1）按定义分 正有理数 有理数 0 有限小数或 负有理数 无限循环小数 实数 正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
注意：无理数中，切记“无限不循环”这一本质，四类： （1）开方开不尽的数，如7,32等；（开得尽方的含根号的数属于有理数，如，=-3，它们都属于有理数.） π（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+100等； 3（3）有特定结构的数，如3.2020020002…等，一定要注意后面要带省略号； （4）某些三角函数，如sin30o ，tan75等 （2）按正、负性分
正实数
实数 0
负实数
注意：0既不属于正数，也不属于负数. 知识点二 ：实数的相关概念
（一）数轴 （1）规定了的原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。所有
的有理数都可以用数轴上的点来表示。也可以用数轴来比较两个实数的大小。
（2）三要素：数轴是一种特定几何图形；原点、正方向、长度单位称数轴的三要素，这三者缺一不可。
（3）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 注意： 1）从原点出发朝正方向的射线上的点对应正数，相反方向的射线上的点对应负数，原点对应零。数轴上的点对应任意实数，包括无理数。 2）在数轴上表示的两个数，正方向的数大于负方向的数。 3）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
变式练习．在－3，－1，1，3四个数中，比－2小的数是( A ) A．－3 B．－1 C．1 D．3
（二）.相反数
（1）概念：只有符号不同的两个数
（2）代数意义：a、b互为相反数? a+b=0
（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等 注意：a的相反数为-a，特别的0的绝对值是0. 变式练习：.－2的相反数是( ) 11
A. 2 B. －2 C. D. －
22
【解析】A a的相反数是－a，因此－2的相反数为－(－2)＝2.
．(易错题) A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是( B )
（三）.绝对值
（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离
（2）运算性质|a|= a (a≥0)； |a-b|= a-b(a≥b)
-a(a＜0). b-a(a＜b) 注意：（1）若|x|=a（a≥0），则x=±a.如：绝对值等于4的是±4 （2）对绝对值等于它本身的数是非负数.[ （3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0. 1初中阶段认识了3种非负数：○2n2na（a≥0） ○a23|a| ○ 变式练习1：3的绝对值是3；|-4|=4；;|0|=0.
变式练习2.实数a在数轴上的位置如图所示，则 |a－2.5|＝( )
第2题图
A. a－2.5 B. 2.5－a C. a＋2.5 D. －a－2.5
【解析】B从数轴可以看出0＜a＜2.5，所以a－2.5＜0，所以|a－2.5|＝－(a－2.5)＝2.5－a. 变式练习3：．数轴上点A、B表示的数分别是5，－3，它们之间的距离可以表示为( D )
A．－3＋5 B．－3－5 C．|－3＋5| D．|－3－5|
变式练习4：.实数a在数轴上的位置如图，则|a－3|＝__3－a__．
（四）倒数
（1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a≠0) 即零没有倒数，
（2）代数意义：a、b 互为倒数?ab=1 注意： （1）倒数等于它本身的数有±1. （2）分数的倒数：找一个分数的倒数，把分数的分子和分母交换位置。 （3）整数的倒数：找一个整数的倒数，把3化成分数，即3/1，再把3/1这个分数的分子和分母交换位置。 （4）小数的倒数：找一个小数的倒数，先化成分数，再求分数的倒数。 变式练习：.－2的倒数是( )
11
A. 2 B. －2 C. D. － 22
1
【解析】D一个数的倒数等于与这个数乘积为1的数，因此－2的倒数为－.
2知识点三 ：科学记数法、近似数
1.科学记数法（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数
（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成a×10-n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）
4
变式练习1：41000用科学记数法表示为4.1×10；
12万用科学记数法表示为1.2×105； 0.0003用科学记数法表示为3×10-4.
变式练习2： 据广东省旅游局统计显示，2016年4月全省旅游住宿设施接待过夜游客27700000人，将27700000用科学记数法表示为( )
A. 0.277×107 B. 0.277×108 C. 2.77×107 D. 2.77×108
【解析】C将一个大数表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，故a＝2.77，n为正整数，n的值为原数的整数位数减1，因此n＝8－1＝7，故27700000用科学
记数法表示为2.77×107.
变式练习3：PM2.5是指大气中直径小于或等2.5μm
(0.0000025m)的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为( )
A. 25×10－7 B. 2.5×10－6 C. 0.25×10－5 D. 2.5×106 【解析】B一个将小数表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为负整数，它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前0的个数，即a＝2.5，n＝－6，所以0.0000025＝2.5×10－6.
2.近似数（1）定义：一个与实际数值很接近的数.
（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 注意：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位， 这是，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。 变式练习：3.14159精确到百分位是3.14；精确到0.001是3.142.
知识点四 ：实数的大小比较（常见方法归纳）
（1）正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小。 （2）数轴比较法：：在数轴上表示的两个实数，右边的数总是大于左边的数 （3） 作差比较法：设a、b是任意的实数a-b>0?a>b a-b=0?a=b
a-b<0?a
aaa（3）设a、b是正实数?1?a?b ?1?a?b ?1?a?b
bbb22
（4）平方法：a＞b≥0?a＞b.
变式练习1.如图所示，a与b的大小关系是( )
A. a＜b B. a＞b C. a＝b D. b＝2a
第1题图
【解析】A数轴上原点左边的数表示负数，原点右边的数表示正数，左边的点表示的数总比右边的点表示的数小，故a＜b.
变式练习2.在0，2，(－3)0，－5这四个数中，最大的数是( ) A. 0 B. 2 C. (－3)0 D. －5
【解析】B∵(－3)0＝1，∴－5＜0＜(－3)0＜2，∴最大的数是2.
变式练习3下列各数中最小的数是( ) A. 0 B. －3 C. －3 D. 1
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