大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)汇总

大一上学期高数期末考试

」、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)

1 设 f ( x) = cos x( x + sin x ),则在x = 0处有(

(A) f(0)=2

1 x)

( D)f(x)不可导. )

( B) f(0)\(C) f(0)=0

设a(x) = , p(x)=3 —3?x，则当 XT 1 时(

2.

1 x .

(B)〉(X)与-(x)

(x)

(A) ■'(X)与-(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； 是等价无穷小；

(C (X)是比-高阶的无穷小； 无穷小.

x (x)

(D) -是比〉(x)高阶的

3

.若 F (x )=

f(x) 0

(2t-x) f (t)

).

,其中

f(x)

在区间上(-)二阶可导且

1,1

dt

，则(

FFF

(A) 函数F(x)必在x=0处取得极大值； (B) 函数(x)必在x=0处取得极小值；

(C) 函数(x)在x=0处没有极值，但点( F(0))为曲线y = F(x)的拐点； (D) 函数(x)在x=0处没有极值，点((°))也不是曲线y = F(x)的拐点。

1

0,F

0,

4 设 f (x)是连续函数，且 . x2 x2

2

(A) 2

( B) 2

2

f (x) = x + 2 L f (t)dt ,贝y f (x)=(

(C) x -1 (D) x 2.

二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)

5. x「0 6.

lim (1 3x) -

sin7

已知

cosx

是f(x)的一个原函数， 则 f(x)

COSx

dx 二

x

x

2 … 2 22 ■:

2

n -1

7. lim —(cos2 — cos2

cos2 )=

J n n n

n

1

2 2

8.

—丄 苹1 - x2

2

三解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)

9. 设函数y = y(x)由方程ex

°

sin(x

yp1

确定，求y?(x)以及y x7

. 求

厂dx.

. (°)1 -

设11.

f(X)

二 J

xe 一 ,

—X

0 X < 1

X - X ,

1 2 求；f (X)dX?

f(xt)dt ，且叫于\A为常数.求

12. 0

X

g()并讨论g(x)在x二o处的连续性.

设函数f(x)连续，心

y(1) =

13. 求微分方程

Xy

? 2y = x In x满足

9的解.

四、解答题(本大题10分)

1

14. 已知上半平面内一曲线 y二y(x)(x 一0)，过点(0,)，且曲线上任一点

M&o’y。)处切线斜率数值上等于此曲线与 x轴、y轴、直线x = x°所围成 面积的

2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)

15. 过坐标原点作曲线

y

=

ln X

的切线，该切线与曲线

y

=

In X

及X轴围

成平面图形D.

(1)求D的面积A ； (2)求D绕直线X = e旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)

16. 设函数

q

f(X)

在-,上连续且单调递减，证明对任意的q，

1

01［0,1］

，

f ( X) d x — q f ( X) dx

0

0

■

JI

JI

匸 i Jf(x)dx = 0 Jf(x) cos x dx = 0

,0

17. 设函数f(x)在0,二上连续，且0

证明：在0,二内至少存在两个不同的点1 , 2，使

X

f(

1^ 2^ 0. (提

f(

F (x)二 f (x)dx

示：设

0

解答

一、 单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C

二、 填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)

1 ,cosx、2