第二章 推理与证明 单元质量测评(二)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝
3
x0是函数f(x)的极值点．因为f(x)＝x在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)
＝x的极值点．以上推理中( )
A．小前提错误 C．推理形式错误 答案 B
解析 可导函数f(x)，若f′(x0)＝0且x0两侧导数值异号，则x＝x0是函数f(x)的极值点，故选B.
26537110－2
2．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋
2－46－45－43－47－41－410－4－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )
A.B.C.D.
8－n＋＝2 n－4?8－n?－4
?n＋1?＋5＋＝2
?n＋1?－4?n＋1?－4
B．大前提错误 D．结论正确
3
nn＋1
n＋4＋＝2 n－4?n＋4?－4
n＋5＋＝2
?n＋1?－4?n＋5?－4n＋1
n答案 A
解析 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.
3．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
A．■ B．△ C．□ D．○ 答案 A
解析 由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A正确．
4．用反证法证明命题：“若函数f(x)＝x＋px＋q，那么|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至
2
1
少有一个不小于”时，反设正确的是( )
2
1
A．假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都不小于
21
B．假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于 2
1
C．假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至多有两个小于
21
D．假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至多有一个小于
2答案 B
1
解析 “|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”的反设为“|f(1)|，|f(2)|，
21
|f(3)|都小于”．
2
?1?n5．已知an＝??，把数列{an}的各项排成如下的三角形：
?3?
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
…
记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11,12)等于( )
?1?67?1?68?1?111?1?112A.?? B.?? C.?? D.?? ?3??3??3??3?
答案 D
解析 该三角形每行所对应元素的个数分别为1,3,5，…，那么第10行的最后一个数为
a100，第11行的第12个数为a112，即A(11,12)＝??112.故选D.
3
6．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于( ) A．f(1)＋2f(1)＋…＋nf(1)
?1???
n?n＋1???B．f?? ?2?
C.D.
n?n＋1?
22
n?n＋1?
f(1)
答案 C
解析 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝1，得f(2)＝2f(1)，
令x＝1，y＝2，f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1) …
f(n)＝nf(1)，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝(1＋2＋…＋n)f(1)＝又f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝f(1＋2＋…＋n)＝f?
n?n＋1?
f(1)．所以A，D正确．
2
?n?n＋1??，所以B也正确．故选C.
??2?
7．对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，…，依此类推，则每组内奇数之和Sn与其组的编号数n的关系是( )
A．Sn＝n C．Sn＝n 答案 B
解析 ∵当n＝1时，S1＝1，当n＝2时，S2＝8＝2； 当n＝3时，S3＝27＝3， ∴归纳猜想Sn＝n.故选B.
8．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( ) A．大于0 C．不小于0 答案 D
解析 解法一：∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＋c＋2ab＋2ac＋2bc＝0，∴ab＋ac＋bc＝－
2
2
2
3
3
3
42
B．Sn＝n D．Sn＝n(n＋1)
3
B．小于0 D．不大于0
a2＋b2＋c2
2
≤0.
解法二：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a，b异号，∴ab＋bc＋ac＝ab＜0，排除A，B，C，选D.
9．“回文”是指正读反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”．在数学中也有一类数字具有这样的特征，称为回文数．设n是一任意自然数，若将n的各位数字反向排列所得自然数n1与n相等，则n是回文数．例如，若n＝1234321，则n是回文数；若n＝1234567，则n不是回文数．下列数中不是回文数的是( )
A．187×16 C．45×42 答案 C
解析 对于A,187×16＝2992，是回文数；对于B,111＝12321，是回文数；对于C,45×42
2
B．111 D．2304×21
2
＝1890，不是回文数；对于D,2304×21＝48384，是回文数．
10．已知1＋2×3＋3×3＋4×3＋…＋n×3
2
3
n－1
＝3(na－b)＋c对一切n∈N都成立，那么
n*
a，b，c的值为( )
11A．a＝，b＝c＝
241
C．a＝0，b＝c＝
4答案 A
3?a－b?＋c＝1，??
解析 令n＝1,2,3，得?9?2a－b?＋c＝7，
??27?3a－b?＋c＝34，11
所以a＝，b＝c＝.
24
11．我国古代数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”，“势”是高，“幂”是截面积，意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得两个几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，①是一个形状不规则的封闭图形，②是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数
1
B．a＝b＝c＝
4
D．不存在这样的a，b，c
t取[0,3]上的任意值时，直线y＝t被①和②所截得的两线段长总相等，则①的面积为( )
911
A．4 B. C．5 D. 22答案 B
解析 根据题意，由祖暅原理，分析可得①的面积等于②的面积，又②是一个上底长为1、?1＋2?×39
下底长为2的梯形，故面积S＝＝. 22
12．已知整数对排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，…，按以上构造规律，第60个数对是( )
A．(7,5) B．(5,7) C．(2,10) D．(10,1) 答案 B
解析 所给各数对依次为整数2,3,4,5，…的分解，且是第一个数从小到大的依次分解，
2的分解有(1,1)一个数对，3的分解有(1,2)，(2,1)两个数对，4的分解有(1,3)，(2,2)，(3,1)?n－1?[1＋?n－1?]三个数对，…，n(n≥2，n∈N)的分解有(n－1)个数对，由≤60，n∈N得，
2
n≤11.因为当n＝11时，?11－1?×11
＝55，故第60个数对为12的分解中的第5对，由(1,11)，2
(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)知，第5对为(5,7)．
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．观察下列等式：
1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
…
照此规律，第五个等式应为________． 答案 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81
解析 由1＝12＋3＋4＝9＝33＋4＋5＋6＋7＝25＝54＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝7，知第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝9＝81.
14．若椭圆的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，当FB⊥AB时，其离心率为
5－1
，2
2
2,
2,
2,
2
此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为________．
答案
5＋1
2
解析 设O为坐标原点，“黄金双曲线”的左焦点为F，右顶点为A，B为虚轴的一个端点，且位于x轴的上方，则FB⊥AB.在Rt△ABF中，＝，则b＝ac，即c－a＝ac，可得
AOOBOBOF222
e2－e－1＝0，又e>1，故e＝
5＋1
. 2
15．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两
4个棱长为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．
a2
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