第二章 平面向量
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
课时目标 1.通过对物理模型和几何模型的探究，了解向量的实际背景，掌握向量的有关
概念及向量的几何表示.2.掌握平行向量与相等向量的概念．
1．向量：既有________，又有________的量叫向量．
2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作________． 3．向量的有关概念：
(1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______． (2)单位向量：长度为______的向量叫做单位向量．
(3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．
(4)平行向量(共线向量)：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a平行于b，记作________． ②规定：零向量与__________平行．
一、选择题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列条件中能得到a＝b的是( ) A．|a|＝|b|
B．a与b的方向相同 C．a＝0，b为任意向量 D．a＝0且b＝0
3．下列说法正确的有( ) ①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”( ) A．总成立 B．当a≠0时成立 C．当b≠0时成立 D．当c≠0时成立 5．下列各命题中，正确的命题为( )
A．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同 B．模为0的向量与任一向量平行 C．向量就是有向线段 D．|a|＝|b|?a＝b
6．下列说法正确的是( )
→→→→
A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线 B．长度相等的向量叫做相等向量 C．零向量长度等于0
D．共线向量是在一条直线上的向量
题 号 答 案 1 2 3 4 5 6 二、填空题
7．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．(填序号)
→→→→
8．在四边形ABCD中，AB＝DC且|AB|＝|AD|，则四边形的形状为________． 9．下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形． ①把所有单位向量移到同一起点；
②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点； ③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点． ①__________；②____________；③____________.
→
10．如图所示，E、F分别为△ABC边AB、AC的中点，则与向量EF共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来)．
三、解答题
11. 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
12. 如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．
→
(1)写出与EF共线的向量；
→
(2)写出与EF的模大小相等的向量；
→
(3)写出与EF相等的向量．
能力提升
→→→
13. 如图，已知AA′＝BB′＝CC′.
求证：(1)△ABC≌△A′B′C′； →→→→(2)AB＝A′B′，AC＝A′C′.
→→→
14. 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，OC＝c.
(1)与a的模相等的向量有多少个？
(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a共线的向量有哪些？
(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．
1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑． 2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．如a>b没有意义，而|a|>|b|有意义． 3．共线向量与平行向量是同一概念，规定：零向量与任一向量都平行．
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
答案
知识梳理
→
1．大小 方向 2.AB
3．(1)0 0 (2)1 (3)长度相等 方向相同 (4)相同或相反 非零 ①a∥b ②任一向量
作业设计 1．D 2.D
3．A [②与⑤正确，其余都是错误的．]
4．C [当b＝0时，不成立，因为零向量与任何向量都平行．]
5．B [由于模为0的向量是零向量，只有零向量的方向不确定，它与任一向量平行，故选B.]
→→→→→→
6．C [向量AB∥CD包含AB所在的直线平行于CD所在的直线和AB所在的直线与CD所在的直线重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A、B、D均错．] 7．①③④
解析 相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立． 8．菱形
→→
解析 ∵AB＝DC，∴AB綊DC ∴四边形ABCD是平行四边形， →→
∵|AB|＝|AD|，∴四边形ABCD是菱形． 9．单位圆 相距为2的两个点 一条直线 →→→10.FE，BC，CB
解析 ∵E、F分别为△ABC对应边的中点， ∴EF∥BC，
→→→
∴符合条件的向量为FE，BC，CB.
11．解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)． (2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为5的圆(作图略)．
12．解 (1)因为E、F分别是AC、AB的中点，
1
所以EF綊BC.又因为D是BC的中点，
2→→→→→→→→
所以与EF共线的向量有：FE，BD，DB，DC，CD，BC，CB.
→→→→→→(2)与EF模相等的向量有：FE，BD，DB，DC，CD.
→→→(3)与EF相等的向量有：DB与CD.
→→
13．证明 (1)∵AA′＝BB′，
→→→→∴|AA′|＝|BB′|，且AA′∥BB′.
→
又∵A不在BB′上，∴AA′∥BB′. ∴四边形AA′B′B是平行四边形． →→∴|AB|＝|A′B′|.
→→→→同理|AC|＝|A′C′|，|BC|＝|B′C′|. ∴△ABC≌△A′B′C′.
(2)∵四边形AA′B′B是平行四边形， →→→→∴AB∥A′B′，且|AB|＝|A′B′|. →→→→∴AB＝A′B′.同理可证AC＝A′C′.
14．解 (1)与a的模相等的向量有23个．
→→→→
(2)与a的长度相等且方向相反的向量有OD，BC，AO，FE.
→→→→→→→→→
(3)与a共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.
→→→→→→→
(4)与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，FA；与c相等的向量有FO，→→ED，AB.
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