∴FP=FC=t﹣2，PM=4﹣（t﹣2）=6﹣t，AH=4+（t﹣2）=t+1， ∴S=PM?AH=（6﹣t）（t+1）=﹣t2+4t+3=﹣（t﹣）2+当t=时，S最大值为
．
，
综上所述，点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式是
S=，S的最大值为．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的最值等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 2．（2014?湖南怀化，第24题，10分）如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y． （1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在三角形POB的面积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题 专题：压轴题． 分析：（1）判断出△ABO是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠AOB=45°， 然后求出AO⊥CO，再根据平移的性质可得AO⊥C′O′，从而判断出△OO′G是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解； （2）求出OO′，再根据等腰直角三角形的性质求出点G的坐标，然后设抛物线解析式2为y=ax+bx，再把点B、G的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式解答； （3）设点P到x轴的距离为h，利用三角形的面积公式求出h，再分点P在x轴上方和下方两种情况，利用抛物线解析式求解即可． 解答：解： （1）∵AB=OB，∠ABO=90°， ∴△ABO是等腰直角三角形， ∴∠AOB=45°， ∵∠yOC=45°， ∴∠AOC=（90°﹣45°）+45°=90°， ∴AO⊥CO， ∵C′O′是CO平移得到， ∴AO⊥C′O′， ∴△OO′G是等腰直角三角形， ∵射线OC的速度是每秒2个单位长度， ∴OO′=2x， 22∴y=×（2x）=2x； （2）当x=3秒时，OO′=2×3=6， ∵×6=3， ∴点G的坐标为（3，3）， 2设抛物线解析式为y=ax+bx， 则， 解得， 2∴抛物线的解析式为y=﹣x+x； （3）设点P到x轴的距离为h， 则S△POB=×8h=8， 解得h=2， 2当点P在x轴上方时，﹣ x+x=2， 2整理得，x﹣8x+10=0， 解得x1=4﹣，x2=4+， 此时，点P的坐标为（4﹣，2）或（4+，2）； 2当点P在x轴下方时，﹣ x+x=﹣2， 2整理得，x﹣8x﹣10=0， 解得x1=4﹣，x2=4+， 此时，点P的坐标为（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2）， 综上所述，点P的坐标为（4﹣，2）或（4+，2）或（4﹣﹣2）时，△POB的面积S=8． ，﹣2）或（4+，点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质，待定系数法求 二次函数解析式，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，（3）要注意分情况讨论． 3．（2014?湖南张家界，第25题，12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（，﹣），以OB为直径的⊙A经过C点，直线l垂直x轴于B点． （1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线解析式及顶点坐标；
（3）点M是⊙A上一动点（不同于O，B），过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想m?n的值，并证明你的结论；
（4）若点P从O出发，以每秒一个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t（0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值．
考点：二次函数综合题． 分析：（1）用待定系数法即可求得； （2）应用待定系数法以及顶点公式即可求得； （3）连接AE、AM、AF，则AM⊥EF，证得Rt△AOE≌RT△AME，求得∠OAE=∠MAE，同理证得∠BAF=∠MAF，进而求得∠EAF=90°，然后根据射影定理即可求得． （4）分三种情况分别讨论，①当PQ=BQ时，作QH⊥PB，根据直线BC的斜率可知HB：BQ=4：5；即可求得，②当PB=QB时，则10﹣t=t即可求得，③当PQ=PB时，作QH⊥OB，根据勾股定理即可求得． 解答：解： （1）设直线BC的解析式为y=kx+b， ∵直线BC经过B、C， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为；y=x﹣． （2）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（，﹣）， ∴， 解得， x2﹣x； ∴抛物线的解析式为：y=∴x=﹣=﹣=5，y=x2﹣x=×52﹣×5=﹣， ∴顶点坐标为（5，﹣）； （3）m?n=25； 如图2，连接AE、AM、AF，则AM⊥EF， 在RT△AOE与RT△AME中 ∴Rt△AOE≌RT△AME（HL）， ∴∠OAE=∠MAE， 同理可证∠BAF=∠MAF， ∴∠EAF=90°， 在RT△EAF中，根据射影定理得AM2=EM?FM， ∵AM=OB=5，ME=m，MF=n， ∴m?n=25； （4）如图3．有三种情况； ①当PQ=BQ时，作QH⊥PB， ∵直线BC的斜率为，∴HQ：BQ=3：5，HB：BQ=4：5； ∵HB=（10﹣t）×，BQ=t，
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