题组层级快练(十三)
4
1．函数f(x)＝x－的零点个数是( )
xA．0 C．2 答案 C
4
解析 令f(x)＝0，解x－＝0，即x2－4＝0，且x≠0，则x＝±2.
x
2．(2016·湖南株洲质检一)设数列{an}是等比数列，函数y＝x2－x－2的两个零点是a2，a3，则a1a4＝( ) A．2 C．－1 答案 D
解析 因为函数y＝x2－x－2的两个零点是a2，a3，所以a2a3＝－2，由等比数列性质可知a1a4＝a2a3＝－2.故选D.
3．(2016·东北师大附中)函数f(x)＝lnx－x－a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是
( )
A．(－∞，－1] C．[－1，＋∞) 答案 B
解析 函数f(x)＝lnx－x－a的零点，即关于x的方程lnx－x－a＝0的实根，将方程lnx－x－a＝0化为方程lnx＝x＋a，令y1＝lnx，y2＝x＋a，由导数知识可知，直线y2＝x＋a与曲线y1＝lnx相切时有a＝－1，若关于x的方程lnx－x－a＝0有两个不同的实根，则实数a的取值范围是(－∞，－1)．故选B.
B．(－∞，－1) D．(－1，＋∞) B．1 D．－2 B．1 D．无数个
14．(2016·沧州七校联考)给定方程()x＋sinx－1＝0，有下列四个命题：
2p1：该方程没有小于0的实数解； p2：该方程有有限个实数解；
p3：该方程在(－∞，0)内有且只有一个实数解； p4：若x0是该方程的实数解，则x0>－1. 其中的真命题是( )
A．p1，p3 C．p1，p4 答案 D
B．p2，p3 D．p3，p4
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解析 由()x＋sinx－1＝0，得sinx＝1－()x，令f(x)＝sinx，g(x)＝1－()x，在同一坐标系
2221
中画出两函数的图像如图，由图像知：p1错，p3，p4对，而由于g(x)＝1－()x递增，小于1，
2且以直线y＝1为渐近线，f(x)＝sinx在－1到1之间振荡，故在区间(0，＋∞)上，两者的图像有无穷多个交点，所以p2错，故选D.
2
??lnx－x＋2x （x>0），
5．函数f(x)＝?的零点个数为( )
?2x＋1 （x≤0）?
A．0 C．2 答案 D
B．1 D．3
解析 依题意，在考虑x>0时可以画出y＝lnx与y＝x2－2x的图像，可知两个函数的图像有两个交点，当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1与x轴只有一个交点，所以函数f(x)有3个零点．故选D.
6．函数f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内( ) A．没有零点 C．有且仅有两个零点 答案 B
1
解析 原函数f(x)＝x－cosx可理解为幂函数x2与余弦函数的差，其中幂函数在区间[0，
B．有且仅有一个零点 D．有无穷多个零点
＋∞)上单调递增、余弦函数的最大值为1，在同一坐标系内构建两个函数的图像，注意到余弦从左到右的第2个最高点是x＝2π，且2π>1＝cos2π，不难发现交点仅有一个．正确选项为B.
1
7．(2016·东城区期末)已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，
1－x＋∞)，则( ) A．f(x1)<0，f(x2)<0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 答案 B
B．f(x1)<0，f(x2)>0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
111
解析 设g(x)＝，由于函数g(x)＝＝－在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝2x
1－x1－xx－1在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上f(x1)<0，在(x0，＋∞)上f(x2)>0，故选B. 8．(2016·湖北襄阳一中期中)已知a是函数f(x)＝2x－log1x的零点．若0 2 满足( ) A．f(x0)<0 C．f(x0)>0 答案 A 解析 因为函数f(x)＝2x－log1x在(0，＋∞)上是增函数，a是函数f(x)＝2x－log1x的零点， 22B．f(x0)＝0 D．f(x0)的符号不确定 即f(a)＝0，所以当0 9．已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝lnx＋x，h(x)＝lnx－1的零点依次为a，b，c，则( ) A．a 解析 ∵ea＝－a，∴a<0.∵lnb＝－b，且b>0，∴0 1 与y＝lnx的图像有两个交点． x－1 1 的零点的个数是( ) x－1 B．1 D．3 B．c 11．若函数f(x)＝xlnx－a有两个零点，则实数a的取值范围为( ) 1 A．[0，) e1 C．(0，] e答案 D 解析 令g(x)＝xlnx，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图像有两个交点．g′(x)11 ＝lnx＋1，令g′(x)<0，即lnx<－1，可解得0 ee111 所以，当0 g(x)min＝－.在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示，据图可得－ ee 1 B．(0，) e1 D．(－，0) e 2 12．若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( ) xA．(1，3) C．(0，3) 答案 C 解析 由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得0 A．(，1) 2C．(2，3) 答案 C 解析 因为f(2)＝log22＋2－4＝－1<0，f(3)＝log23－1>0，所以f(2)·f(3)<0，故函数f(x)的零点所在的一个区间为(2，3)，选C. 14．若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)且x∈ lgx，x>0，??[－1，1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝?1则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5，5] －，x<0，??x内的零点的个数为( ) A．7 C．9 答案 B 解析 当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图像是一段开口向下的抛物线，y＝f(x)的最大值为1.∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是以2为周期的周期函数．f(x)和g(x)在[－5，5]内的图像如图所示，有8个交点，所以函数h(x)有8个零点． B．8 D．10 B．(1，2) D．(3，4) B．(1，2) D．(0，2) 15．(2016·郑州质检)设函数f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝lnx＋2x2－5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则( ) A．g(a)<0 B．f(b)<0
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