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【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习:课时作业 (25)

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1 【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习:课时作业

课时作业25 解三角形应用举例

1.(2019·襄阳模拟)如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( D )

A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东80°

D.南偏西80°

解析:由条件及图可知,∠A=∠CBA=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.

2.(2019·许昌调研)如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与B的距离为( B )

A.a km B.3a km C.2a km

D.2a km

解析:由题图可知,∠ACB=120°,

2 【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习:课时作业

由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=a2+a2-

2·a·a·???-1?

2??

=3a2,解得AB=3a(km). 3.如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于( D )

A.56 B.153 C.52

D.156

解析:在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°. 由正弦定理得BC30

sin30°=sin135°,所以BC=152. 在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=152×3=156. 4.如图所示,为了了解某海域海底构造,在海平面上取一条直线上的A,B,C三点进行测量,已知AB=50 m,BC=120 m,于A处测得水深AD=80 m,于B处测得水深BE=200 m,于C处测得水深CF=110 m,则∠DEF的余弦值为( A )

A.1665

B.1965

3 【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习:课时作业

C.1657 D.1757

解析:如图所示,作DM∥AC交BE于N,交CF于M,

则DF=MF2+DM2=302+1702=10298(m), DE=DN2+EN2=502+1202=130(m), EF=?BE-FC?2+BC2=902+1202=150(m).

DEF中,由余弦定理,得cos∠DEF=DE2+EF2-DF2

在△2DE·EF=1302+1502-102×2982×130×150

=16

65.

5.地面上有两座相距120 m的塔,在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α,在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α

2,且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角,则两塔的高度分别为( B )

A.50 m,100 m B.40 m,90 m C.40 m,50 m D.30 m,40 m

解析:设高塔高H m,矮塔高h m,在O点望高塔塔顶的仰角为

β.则tanα=Hαh

120,tan2=120,

2×h根据三角函数的倍角公式有H

120120=1-??h?.①

2?120??

因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角,

4 【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习:课时作业

所以在O点望矮塔塔顶的仰角为π

2-β,

由tanβ=H?60,tan?π?2-β??hH60?=60

,得60=h.② 联立①②解得H=90,h=40. 即两座塔的高度分别为40 m,90 m.

6.如图所示,一座建筑物AB的高为(30-103)m,在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则通信塔CD的高为( B )

A.30 m B.60 m C.303 m

D.403 m

解析:在Rt△ABM中,AM=AB

30-10330-103sin∠AMB=sin15°=6-2

=4206(m).

过点A作AN⊥CD于点N,如图所示. 易知∠MAN=∠AMB=15°, 所以∠MAC=30°+15°=45°. 又∠AMC=180°-15°-60°=105°,

5 【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习:课时作业

所以∠ACM=30°.

在△AMC中,由正弦定理得MC206sin45°=sin30°, 解得MC=403(m).

在Rt△CMD中,CD=403×sin60°=60(m), 故通信塔CD的高为60 m.

7.(2019·哈尔滨模拟)如图,某工程中要将一长为100 m,倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长1002m.

解析:设坡底需加长x m,由正弦定理得100xsin30°=sin45°, 解得x=1002.

8.如图,为了测量两座山峰上P,Q两点之间的距离,选择山坡上一段长度为3003 m且和P,Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点,现测得∠PAB=90°,∠PAQ=∠PBA=∠PBQ=60°,则P,Q两点间的距离为900__m. 解析:由已知,得∠QAB=∠PAB-∠PAQ=30°. 又∠PBA=∠PBQ=60°, ∴∠AQB=30°,∴AB=BQ.

又PB为公共边,∴△PAB≌△PQB,∴PQ=PA.

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