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考点强化练12 二次函数的图象及性质
夯实基础
1.(2018·湖南岳阳)抛物线y=3(x-2)+5的顶点坐标是( ) A.(-2,5) B.(-2,-5) C.(2,5) D.(2,-5) 答案C 2
2.(2018·上海)下列对二次函数y=x-x的图象的描述,正确的是( ) A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.经过原点
D.在对称轴右侧部分是下降的 答案C 2
解析二次函数y=x-x的二次项系数为a=1,开口向上,A选项错误;对称轴x=-2
2
2
,B选项错
误;原点(0,0)满足二次函数y=x-x关系式,C选项正确;二次函数y=x-x的二次项系数为a=1,开口向上,在对称轴右侧部分是上升的,D选项错误.故选C.
22
3.(2018·四川泸州)已知二次函数y=ax+2ax+3a+3(其中x是自变量),当x≥2时,y随x的增大而增大,且-2≤x≤1时,y的最大值为9,则a的值为( )
A.1或-2 B.- C. D.1 答案D 22
解析原函数可化为y=a(x+1)+3a-a+3,对称轴为x=-1,当x≥2时,y随x的增大而增大,所以a>0,抛物线开口向上.因为-2≤x≤1时,y的最大值为9,结合对称轴及增减性可得,当x=1
2
时,y=9,代入可得,a+2a+3a+3=9,解得a1=1,a2=-2.又因为a>0,所以a=1.故选D.
2
4.(2018·山东德州)如图,函数y=ax-2x+1和y=ax-a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
答案B 解析当a>0时,二次函数图象的对称轴在y轴的右侧,一次函数的图象上升,删去A、C;当a<0时,二次函数图象的对称轴在y轴的左侧,删去D.故选B. 5.
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(2018·湖北随州)如图所示,已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴
2
交于点C,对称轴为直线x=1.直线y=-x+c与抛物线y=ax+bx+c交于C、D两点,D点在x轴下方且横坐标小于3,则下列结论:①2a+b+c>0;②a-b+c<0;③x(ax+b)≤a+b;④a<-1.其中正确的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案A 解析根据对称轴为直线x=1,得-=1,b=-2a,于是2a+b+c=2a-2a+c=c,而c>0,所以2a+b+c>0,故①正确;根据抛物线的轴对称性可知,x=-1和x=3时,对应的函数值相等,因为x=3时,函数值y<0,所以x=-1时,函数值y<0,即a-b+c<0,故②正确;因为x=1时,二次函数有最大值,所
22
以ax+bx+c≤a+b+c,即x(ax+b)≤a+b,故③正确;在y=ax+bx+c中,令y=-x+c,得
2
ax2+bx+c=-x+c,即ax2+(b+1)x=0,因为a≠0,解得x1=0,x2=-得-,所以根据D点横坐标小于3,
<3,再结合a<0,b=-2a,有-b-1>3a,2a-1>3a,a<-1,故④正确.
2
6.(2017·广东广州)当x= 时,二次函数y=x-2x+6有最小值 . 答案1 5
22
解析∵y=x-2x+6=(x-1)+5,
∴当x=1时,y最小值=5.
2
7.(2018·江苏镇江)已知二次函数y=x-4x+k的图象的顶点在x轴下方,则实数k的取值范围是 . 答案k<4 22
解析二次函数y=x-4x+k的图象的顶点在x轴下方,二次函数y=x-4x+k的图象与x轴有两
22
个公共点.∴b-4ac>0,即(-4)-4×1×k>0.解得k<4.
2
8.(2017·天津)已知抛物线y=x-4x+3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点M平移后的对应点M'落在x轴上,点B平移后的对应点B'落在y轴上.则平移后的抛物线解析式为 .
2
答案y=x+2x+1
2
解析令y=0可得x-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,可得A(1,0),B(3,0),根据抛物线顶点坐标公式可得M(2,-1),由M平移后的对应点M'落在x轴上,点B平移后的对应点B'落在y轴上,可知抛物线分别向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度,根据抛物线平移规律,可知平
22
移后的抛物线为y=(x+1)=x+2x+1.
2
9.(2018·合肥模拟)下表给出了代数式-x+bx+c与x的一些对应值:
x … -2 -1 0 1 2 3 … -x2+bx+c … 5 n c 2 -3 -10 …
(1)根据表格中的数据,确定b,c,n的值;
2
(2)设y=-x+bx+c,直接写出当0≤x≤2时y的最大值. 解(1)根据表格数据可得
解得
∴-x2+bx+c=-x2-2x+5.
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当x=-1时,-x-2x+5=6,即n=6.
(2)根据表中数据得当0≤x≤2时,y的最大值是5.
2
10.(2018·浙江杭州)设二次函数y=ax+bx-(a+b)(a,b是常数,a≠0) (1)判断该二次函数图象与x轴交点的个数,说明理由.
(2)若该二次函数的图象经过A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的其中两个点,求该二次函数的表达式;
(3)若a+b<0,点P(2,m)(m>0)在该二次函数图象上,求证:a>0.
22
(1)解∵a≠0,∴Δ=b+4a(a+b)=(b+2a)≥0,
∴二次函数与x轴有1个或2个交点. (2)解易知图象过(1,0),则不经过C(1,1),
即只可经过A,B两点,代入A,B坐标得:
2
∴y=3x2-2x-1.
(3)证明∵P(2,m)在二次函数图象上,
∴m=4a+2b-(a+b)=3a+b=a+b+2a. ∵a+b<0,m>0,∴2a>0,即a>0.
提升能力
11.(2018·安庆四中模拟)对称轴与y轴平行且经过原点O的抛物线也经过A(2,m),B(4,m),若△AOB的面积为4,则抛物线的解析式为 . 答案y=-x+3x或y=x-3x 解析∵抛物线经过A(2,m),B(4,m),
∴对称轴是x=3,AB=2. ∵△AOB的面积为4,
2
2
∴AB·|m|=4,m=±4.
当m=4时,则A(2,4),B(4,4),
2
设抛物线的解析式为:y=a(x-3)+h, 把(0,0)和(2,4)代入得:
解得
∴抛物线的解析式为:y=-(x-3)2+=-x2+3x;
当m=-4时,则A(2,-4),B(4,-4),
2
设抛物线的解析式为:y=a(x-3)+h, 把(0,0)和(2,-4)代入得:
解得:
∴抛物线的解析式为:y=(x-3)2-x2-3x;
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综上所述,抛物线的解析式为:y=-x+3x或y=x-3x. 12.
22
(2017·湖北咸宁)如图,直线y=mx+n与抛物线y=ax+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是 . 答案x<-1或x>4
解析由函数图象可知:在点A的左侧和点B的右侧,一次函数的函数值都大于二次函数的函数值,∵A(-1,p),B(4,q),
∴关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是x<-1或x>4. 13.(2018·四川德阳)已知函数y=
2
使y=a成立的x的值恰好只有3个时,a的值为 . 答案2 解析画出函数解析式的图象,要使y=a成立的x的值恰好只有3个,即函数图象与y=2这条直线有3个交点,即a=2.
14.(2018·四川广安)已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=1,则下列结论正确的有 .
①abc>0 ②方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1,x2=3 ③2a+b=0 ④当x>0时,y随x的增大而减小
答案①②③
2
解析二次函数y=ax+bx+c的图象开口向下,∴a<0.二次函数图象与y轴的交点在y轴的正半
2
轴,∴c>0.∵x=->0,∴b>0,∴abc<0.则①正确;由二次函数图象与x轴的交点横坐标为3,对称轴x=1,则另一个点的横坐标为2×1-3=-1,
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3.∴②正确;
∵对称轴为x=-=1,则2a+b=0. ∴③正确;
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∵二次函数图象的开口向下,对称轴为x=1,
∴当0
2
15.(2018·浙江嘉兴)已知,点M为二次函数y=-(x-b)+4b+1图象的顶点,直线y=mx+5分别交x轴,y轴于点A、B.
(1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上,并说明理由.
2
(2)如图①,若二次函数图象也经过点A、B,且mx+5>-(x-b)+4b+1.根据图象,写出x的取值范围.
(3)如图②,点A坐标为(5,0),点M在△AOB内,若点C比较y1与y2的大小.
解(1)∵点M坐标是(b,4b+1),
∴把x=b代入y=4x+1,得y=4b+1, ∴点M在直线y=4x+1上.
(2)如图,∵直线y=mx+5与y轴交于点B,
,D都在二次函数图象上,试
∴点B坐标为(0,5). 又∵B(0,5)在抛物线上,
∴5=-(0-b)2+4b+1,解得b=2.
∴二次函数的表达式为y=-(x-2)2+9. ∴当y=0时,得x1=5,x2=-1. ∴A(5,0).
2
观察图象可得,当mx+5>-(x-b)+4b+1时,x的取值范围为x<0或x>5. (3)如图,∵直线y=4x+1与直线AB交于点E,与y轴交于点F,
而直线AB表达式为y=-x+5,
金戈铁骑
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