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2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
注意事项：
全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项：
1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。 ．．．．．．．．．3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题
1、 复数
?1?3i= 1?iA 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 【解析】
?1?3i(?1?3i)(1?i)2?4i???1?2i，选C. 1?i(1?i)(1?i)2【答案】C
2、已知集合A＝{1.3.
m}，B＝{1，m} ,AUB＝A, 则m=
A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 【解析】因为A?B?A,所以B?A,所以m?3或m?m.若m?3，则
A?{1,3,3},B?{1,3},满足A?B?A.若m?m，解得m?0或m?1.若m?0，则
A?{1,3,0},B?{1,3,0}，满足A?B?A.若m?1，A?{1,3,1},B?{1,1}显然不成立，综
上m?0或m?3，选B.
【答案】B
3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为
x2y2x2y2x2y2x2y2A +=1 B +=1C +=1 D +=1 161212884124
1
【解析】椭圆的焦距为4，所以2c?4,c?2因为准线为x??4，所以椭圆的焦点在x轴上，
a2??4，所以a2?4c?8，b2?a2?c2?8?4?4，所以椭圆的方程为且?cx2y2??1，选C. 84【答案】C
4 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1=22 E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 A 2 B
3 C 2 D 1
【解析】连结AC,BD交于点O，连结OE，因为O,E是中点，所以OE//AC1,且
OE?1AC1，所以AC1//BDE，即直线AC1 与平面BED的距离等于点C到平面BED2的距离，过C做CF?OE于F,则CF即为所求距离.因为底面边长为2，高为22，所以
AC?22,OC?2,CE?2,OE?2,所以利用等积法得CF?1，选D.
【答案】D
（5）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列(A)
的前100项和为
1009910199 (B) (C) (D) 101100100101【解析】由a5?5,S5?15,得a1?1,d?1，所以an?1?(n?1)?n，所以
1111111111111100??????????????1??，又，anan?1n(n?1)nn?1a1a2a100a1011223100101101101
2
选A.
【答案】A
（6）△ABC中，AB边的高为CD，若
a·b=0，|a|=1，|b|=2，则
(A) （B） (C) (D)
，CA?2，AB?【解析】在直角三角形中，CB?15,则CD?25,所以
AD?CA2?CD2?4?D.
【答案】D
4444AD444,所以选?,即AD?AB?(a?b)?a?b，?5555AB555（7）已知α为第二象限角，sin??cos??3，则cos2α= 3(A) -5555 （B）- (C) (D) 399331所以两边平方得1?2sin?cos??，所以33【解析】因为sin??cos??2sin?cos???2?0，因为已知α为第二象限角，所以sin??0,cos??0，32515??333，
所
以
sin??cos??1?2sin?cos??1?cos2??cos2??sin2??(cos??sin?)(cos??sin?)=?1535???，选A. 333【答案】A
（8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2= (A)
1334 （B） (C) (D) 4545x2y2??1，所以a?b?2,c?2，因为|PF1|=|2PF2|，所以点【解析】双曲线的方程为22P在双曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=2a=22,所以解得|PF2|=22，|PF1|=42，所以根据余弦定理得cosF1PF2?(22)2?(42)2?142?22?42?3,选C. 4 3
【答案】C
（9）已知x=lnπ，y=log52，z?e?12，则
(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x
?11111?，z?e2??1，所以【解析】x?ln??1，y?log52?，?log2522ee1y?z?x，选D.
【答案】D
(10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝ （A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1
【解析】若函数y?x?3x?c的图象与x轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为y'?3x?3，令y'?3x?3?0，解得x??1，可知当极大值为f(?1)?2?c，极小值为f(1)?c?2.由f(?1)?2?c?0，解得c??2，由
223f(1)?c?2?0，解得c?2，所以c??2或c?2，选A.
【答案】A
（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有
（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种
3【解析】第一步先排第一列有A3?6，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，
如图
【答案】A
，所以共有6?2?12种，选A.
（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝
7.动点P3从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为 （A）16（B）14（C）12(D)10
【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞14次即可. 【答案】B
4
第Ⅱ卷
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．
（13）若x，y满足约束条件
则z=3x-y的最小值为_________.
【解析】做出做出不等式所表示的区域如图
，由z?3x?y得y?3x?z，平移直线y?3x，由图象可知当直线经过点C(0,1)时，直线y?3x?z的截距最 大，此时z最小,最小值为z?3x?y?-1. 【答案】?1
（14）当函数
取得最大值时，x=___________.
【解析】函数为y?sinx?3cosx?2sin(x??3)，当0?x?2?时，
??3?x??3?5???5?，由三角函数图象可知，当x??，即x?时取得最大值，所3326以x?5?. 65? 6的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中
的系
【答案】x?（15）若数为_________.
26【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即Cn?Cn，所以n?8，
所以展开式的通项为Tk?1?C8xk8?k1()k?C8kx8?2k，令8?2k??2，解得k?5，所以x1512T6?C8()，所以2的系数为C85?56.
xx【答案】56
5
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