河南理工大学毕业设计（论文）说明书
定理2(能观性判据) n阶线性定常连续系统
??AX?BuXY?CX?Du完全能
T2n?1?CCACA?CA观，当且仅当系统的能观性矩阵：S0????满秩，
即rank?S0??n0特别的当输入量y?t?为标量时，能观性矩阵S0为方阵，即
rank?S0??n等价于S0的行列式值det?S0??0。
对于由式(2-14)所确定的二级倒立摆系统，其特征方程为：
???I?A??0，经计算的系统的开环特征根为：det?08.99265.0872?16.9687?4.7263?9.3841?，系统有两个极点在复还可以计算得出rank?SC??6，根据定理1和定理2可知：rank?S0??6，
平面右半平面，有一个极点在原点，因此系统是不稳定的。
系统是完全可控和完全可观的。
对于倒立摆这一自然不稳定系统，在研究使其能够稳定的控制方案之前，首先要搞清楚倒立摆系统在自然条件下的运动特性是怎样的？对于这个问题的解有助于我们更加深入了解倒立摆系统的本质，进而设计出比较适合的控制方案。
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第三章 直线二级倒立摆控制方案的设计
前一章己经对二级倒立摆模型做了详尽的分析和推导，获得了它的状态方程形式的线性数学模型，从分析中可以看出，二级倒立摆系统是完全可控、完全可观测的。对二级倒立摆进行控制的主要目的是：二级倒立摆系统在控制作用下能够稳定；系统的瞬态及稳态特性和动态特性良好；控制系统具有很强的鲁棒性；较容易完成稳定控制的任务。所设计的控制系统应该尽可能简单，容易实现，并有一定的抗干扰能力。
随着控制理论的不断发展，在倒立摆这一经典实验装置上，已经有多种控制方法得到了应用。基于现代控制理论的极点配置控制方案、最优控制方案等。
3.1 极点配置控制方案的设计 3.1.1 极点配置理论
闭环系统的稳定性和响应品质同闭环极点密切相关，控制系统的各种特性及其各种品质指标很大程度上由其闭环系统的零点和极点的位置决定。经典控制理论中通常用调整开环增益及引入串、并联校正装置来配置闭环极点。在现代控制理论中，广泛采用状态变量反馈来配置极点。就是通过对状态反馈矩阵的选择，使闭环系统的极点配置在所希望的位置上，从而达到期望的性能指标要求。
对于完全能控和完全能观的系统，设其状态方程为:
??AX?BU Y?CX (3-1) X其中，X?Rn，U?Rm。控制规律选择为线性状态反馈，即:
U?u?KX (3-2)
式中，K??k1k2的状态方程为：
k3?kn?。将式(3-2)代入式(3-1)，可得闭环系统
???A?BK?X?Bu Y?CX (3-3) X显然，闭环系统的特征多项式应为:
det?SI?A?BK??0 (3-4)
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因此通过改变K阵使闭环系统有所需要的极点配置，达到期望的性能指标要求。
B 1s C A K 图3-1 加入状态反馈后系统结构图
3.1.2 极点配置算法
所给定的期望闭环极点可以是实数，也可以是按共扼对出现的复数，它的选择是一个工程实践与理论相结合的问题，要从实际出发来确定极点和零点在复数平面上的分布。
单输入单输出系统确定满足极点配置要求的状态反馈矩阵K的算法主要有系统匹配法、Ackermann配置法、Gura-Bass算法等几种方法，假定期望的闭环极点为：?i，?i?1?n?，则原系统(3-1)的开环特征方程为：
a?s??det?sI?A??sn?an?1sn?1??as?a0 (3-5) 闭环系统的特征方程为:
??s????s??i??sn??n?1sn?1???s??0 (3-6)
t?1n(1)系统匹配法是计算反馈阵的一个最直接的方法，它主要通过比较系统特征方程的系数来求解，即:(3-4)式与(3-6)式的对应系数相等。此方法较为简单，但只适合于低阶系统。
(2)Ackennann配置算法是先把系统的描述转化为某种可控规范型，然后利用规范型的性质求解。这里只给出具体结果，所求反馈增益矩阵：
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K?eTP?A? 其中：
eT?00?1???BAB?An?1B??,P????????1?????2??????n?,
?1A、B阵就是系统状态方程描述的参数矩阵，?是期望的极点向量。 (3)较为常用的方法是Gura-Bass算法，其具体步骤为:
1)判断系统的可控性。确定能否完成预定的闭环极点配置综合目标； 2)计算A的特征多项式，即开环系统的特征多项式(3-5)的n个系数a1； 3)由给定的动态指标或闭环极点要求确定闭环特征多项式(3-6)的n个系数?1；
4)计算矩阵K???0?a05)计算变换阵T:
?a1?a?2AB?An?1B??????an?1??1a2?an?11?a3?10??????
?1?00?0?00???1?a1??n?1?an?1?；
T?1???B6、计算所求的增益阵K?KT
Gura-Bass算法不仅适用于单输入-单输出系统，也同样适用于单输入-多输出系统。多输入-多输出系统可以化为等价的单输入系统，进而采用单输入系统的极点配置算法。
3.2 线性二次型最优控制(LQR)方案的设计
最优控制就是在一定条件下，在完成所要求的控制任务时，使系统规定的性能指标具有最优值的一种控制。对于线性系统，若取状态变量的二次型函数的积分做为系统的性能指标，这种系统最优化问题称为线性系统二次型性能指标的最优控制问题，简称线性二次型(LQR)问题。线性二次型控制理论已成为反馈系统设计的一种重要工具。
3.2.1 线性二次型最优控制原理
线性二次型问题就是：对于线性系统(3-1)，确定一个最优反馈控制
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