三角形的有关证明
1已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，111749AD是整数，求AD
A B
D
C
解：延长AD到E,使AD=DE ∵D是BC中点 ∴BD=DC
在△ACD和△BDE中 AD=DE
∠BDE=∠ADC BD=DC
∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE中
AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4
即4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3 ∴AD=2 2已知：D是AB中点，∠ACB=90°，
CD?12AB求证：
A D C B
延长CD与P，使D为CP中点。连
接AP,BP
∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP为平行四边形 又∠ACB=90
∴平行四边形ACBP为矩形 ∴AB=CP=1/2AB
3已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2
1 A 2 B E C F D
证明：连接BF和EF
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)
∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE
在三角形BEF中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF。 ∵ ∠ABC=∠AED。 ∴ ∠ABE=∠AEB。 ∴ AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中 AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC
A 1 2 F C D E B
过C作CG∥EF交AD的延长线于点G
CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE＝DC
∠FDE＝∠GDC（对顶角） ∴△EFD≌△CGD EF＝CG
∠CGD＝∠EFD 又，EF∥AB ∴，∠EFD＝∠1 ∠1=∠2
∴∠CGD＝∠2
∴△AGC为等腰三角形， AC＝CG
又 EF＝CG
∴EF＝AC
5已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
A
证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE
∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠CAD ∵AE＝AC，AD＝AD
∴△AED≌△ACD （SAS） ∴∠E＝∠C ∵AC＝AB+BD ∴AE＝AB+BD ∵AE＝AB+BE ∴BD＝BE ∴∠BDE＝∠E
∵∠ABC＝∠E+∠BDE ∴∠ABC＝2∠E ∴∠ABC＝2∠C
6已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
证明：
在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ∵CE⊥AB
∴∠CEB＝∠CEF＝90° ∵EB＝EF，CE＝CE， ∴△CEB≌△CEF ∴∠B＝∠CFE
∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° ∴∠D＝∠CFA ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC ∵AC＝AC
∴△ADC≌△AFC（SAS）
∴AD＝AF
∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE
7已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD
A B
D
C
解：延长AD到E,使AD=DE ∵D是BC中点 ∴BD=DC
在△ACD和△BDE中 AD=DE
∠BDE=∠ADC BD=DC
∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE中
AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4
即4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3 ∴AD=2
8已知：D是AB中点，∠ACB=90°，
CD?12AB求证：
A D C B
解：延长AD到E,使AD=DE ∵D是BC中点 ∴BD=DC
在△ACD和△BDE中 AD=DE
∠BDE=∠ADC BD=DC
∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE中
AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4
即4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3 ∴AD=2
9已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2
A 1 2 B E C F D
证明：连接BF和EF。
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。 ∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。
∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF。 连接BE。
在三角形BEF中,BF=EF。 ∴ ∠EBF=∠BEF。 又∵ ∠ABC=∠AED。 ∴ ∠ABE=∠AEB。 ∴ AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中， AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。
∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
10已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC
A 1 2 F C D E B
过C作CG∥EF交AD的延长线于点G
CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD
DE＝DC
∠FDE＝∠GDC（对顶角） ∴△EFD≌△CGD EF＝CG
∠CGD＝∠EFD 又EF∥AB ∴∠EFD＝∠1 ∠1=∠2
∴∠CGD＝∠2
∴△AGC为等腰三角形， AC＝CG 又 EF＝CG ∴EF＝AC
11已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
A B
D C
证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE
∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠CAD ∵AE＝AC，AD＝AD
∴△AED≌△ACD （SAS） ∴∠E＝∠C ∵AC＝AB+BD ∴AE＝AB+BD ∵AE＝AB+BE ∴BD＝BE ∴∠BDE＝∠E
∵∠ABC＝∠E+∠BDE ∴∠ABC＝2∠E ∴∠ABC＝2∠C
12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。
在BC上截取BF=AB，连接EF
∵BE平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE
∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD
∴∠A+∠D=180o
∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE
又∵∠DCE=∠FCE CE平分∠BCD CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS） ∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C
E D F C A B
AB‖ED，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度， ∵∠EAB=∠BDE， ∴∠AED=∠ABD，
∴四边形ABDE是平行四边形。 ∴得：AE=BD， ∵AF=CD,EF=BC，
∴三角形AEF全等于三角形DBC， ∴∠F=∠C。
14 已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C
A D B C
证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD
∴BE=CE (等量加等量，或等量减等量）
∴△BEC是等腰三角形 ∴∠B=∠C.
15 P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB C A P D B 在AC上取点E， 使AE＝AB。 ∵AE＝AB AP＝AP ∠EAP＝∠BAE， ∴△EAP≌△BAP ∴PE＝PB。 PC＜EC＋PE ∴PC＜（AC－AE）＋PB ∴PC－PB＜AC－AB。 16 已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE 证明： 在AC上取一点D，使得角DBC=角C ∵∠ABC=3∠C ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C； ∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C; ∴AB=AD ∴AC – AB =AC-AD=CD=BD 在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线， ∴AE垂直BD ∵BE⊥AE ∴点E一定在直线BD上， 在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD ∴点E也是BD的中点 ∴BD=2BE ∵BD=CD=AC-AB ∴AC-AB=2BE 17 已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC D F C A E B ∵作AG∥BD交DE延长线于G ∴AGE全等BDE ∴AG=BD=5 ∴AGF∽CDF AF=AG=5 ∴DC=CF=2 18．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC． 解：延长AD至BC于点E, ∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形 ∴∠DBC=∠DCB 又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC是等腰三角形 ∴AB=AC 在△ABD和△ACD中 ｛AB=AC ∠1=∠2 BD=DC ∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边） ∴∠BAD=∠CAD ∴AE是△ABC的中垂线 ∴AE⊥BC ∴AD⊥BC 19．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N． 求证：∠OAB=∠OBA 证明： ∵OM平分∠POQ ∴∠POM＝∠QOM ∵MA⊥OP，MB⊥OQ ∴∠MAO＝∠MBO＝90 ∵OM＝OM ∴△AOM≌△BOM （AAS） ∴OA＝OB ∵ON＝ON ∴△AON≌△BON （SAS） ∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB＝180 ∴∠ONA＝∠ONB＝90 ∴OM⊥AB 20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB． PC E D做BE的 AB延长线，与AP相 交于F点， ∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线 ∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形 在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线 ∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中， ∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB， ∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 21．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B A CDB延长AC到E 使AE=AC 连接 ED ∵ AB=AC+CD ∴ CD=CE 可得∠B=∠E △CDE为等腰 ∠ACB=2∠B 22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M． （1）求证：MB=MD，ME=MF （2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由． （1）连接BE，DF． ∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF， 在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∵AF=CE，AB=CD， ∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）， ∴DE=BF． ∴四边形BEDF是平行四边形． ∴MB=MD，ME=MF； （2）连接BE，DF． ∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF， 在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∵AF=CE，AB=CD， ∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）， ∴DE=BF． ∴四边形BEDF是平行四边形． ∴MB=MD，ME=MF． 23．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点， （1）求证：△AED≌△EBC． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： A EOD 证明： BC∵DC∥AB ∴∠CDE＝∠AED ∵DE＝DE，DC＝AE ∴△AED≌△EDC ∵E为AB中点 ∴AE＝BE ∴BE＝DC ∵DC∥AB ∴∠DCE＝∠BEC ∵ CE＝CE ∴△EBC≌△EDC ∴△AED≌△EBC 24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延 长线于F． 求证：BD=2CE． F A ED BC 证明： ∵∠CEB=∠CAB=90° ∴ABCE四点共元 ∵∠AB E=∠CB E ∴AE=CE ∴∠ECA=∠EAC 取线段BD的中点G，连接AG，则： AG=BG=DG ∴∠GAB=∠ABG 而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等） ∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB
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