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?4??1??f????f?0?
?4??1???f??
?4???log21?2 4故答案为:2 【点睛】
本题考查了奇函数的性质及应用,周期函数的判断及求值,属于基础题.
16．我国古代数学名著《増删算法统宗》有如下问题：有个金球里面空，球高尺二厚三分，一寸自方十六两，试问金球几许金？”意是：有一个空心金球，它的直径12寸，球壁厚0.3寸，1立方寸金重1斤，试问金球重是_____斤．（注：π≈3，结果两位小数） 【答案】123.23 【解析】 【分析】
根据题给信息将实际问题转化为数学问题，代入相应体积公式即可求解. 【详解】
解：空心金球体积可用大体积减小体积，设大半径为R，小半径为r， 则R＝6，r＝5.7， 所以空心金球体积为V?4?R3?r3?4?(216?185.193)?123.228?123.23， 3??因为1立方寸金重1斤，所以金球重123.23斤. 故答案为：123.23. 【点睛】
本题考查球的体积，考查空心球的问题，考查实际问题的审题能力，属于基础题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分
17．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，
cosA?123,cosC?． 135
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 【答案】（1）索道AB的长为1 040 m；（2）t＝【解析】
试题分析：（1）在△ABC中，由cosA和cosC可得sinA根和sinC，从而得sinB，由正弦定理
35 (min)时，甲、乙两游客距离最短. 37ABAC?，可得AB； sinCsinB（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，由余弦定理得d2＝200(37t2－70t＋50)，结合二次函数即可得最值. 试题解析：
（1）在△ABC中，因为cos A＝所以sin A＝
，sin C＝.
，cos C＝，
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C) ＝sin Acos C＋cos Asin C＝
×＋
×＝
.
由正弦定理＝，得AB＝×sin C＝×＝1 040(m)．
所以索道AB的长为1 040 m.
（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m
所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×
＝200(37t2－70t＋50)，
因0≤t≤故当t＝
，即0≤t≤8，
(min)时，甲、乙两游客距离最短.
点睛：本题主要考查了解三角形的实际应用．实际应用题一般是关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，转化为数学模型，列出数学表达式，再通过正弦、余弦定理，勾股定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．
18．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?8，BC?5，AA1?4，平面?截长方体得到一个矩形EFGH，且A1E?D1F?2，AH?DG?5．
（1）求截面EFGH把该长方体分成的两部分体积之比； （2）求直线AF与平面?所成角的正弦值． 【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）由题意,平面?把长方体分成两个高为5的直四棱柱,转化求解体积推出结果即可．
（2）解法一：作AM?EH,垂足为M,证明HG?AM,推出AM?平面EFGH．通过计算求出AM,AF的值．设直线AF与平面?所成角为?,求解即可．
解法二：建立空间直角坐标系,求出平面?一个法向量,设直线AF与平面?所成角为?,通过空间向量的数量积求解即可． 【详解】
（1）由题意,面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱,
VAA1EH?DD1FGVBHEB1?CGFC1?745 ；（2）
91511VAA1EH?DD1FG???A1E?AH??A1A?AD??(2?5)?4?5?70,
2211VBHEB1?CGFC1???BH?B1E??B1B?BC??(3?6)?4?5?90,
22
所以，
VAA1EH?DD1FGVBHEB1?CGFC1?7． 9
（2）解法一：作AM?EH,足为M,题意，
HG?平面ABB1A1，故HG?AM，
所以AM?平面EFGH,因为S梯形AA1EH?14,
S△AA1E?4，所以S△AEH?10，因为EH?5，
所以AM?4．又AF?AA12?A1D12?D1F2?35，
设直线AF与平面?所成角为?,则sin??AM45． ?AF1545． 15所以,直线AF与平面?所成角的正弦值为
解法二：以DA、DC、DD1所在直线分别为
x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则A?5,0,0?,H?5,5,0?,E?5,2,4?,F?0,2,4?,
uuuruuur故FE?(5,0,0),HE?(0,?3,4),
设平面?一个法向量为n?(x,y,z),
ruuuvv?n?FE?0?5x?0v, 则?vuuu即??3y?4z?0?n?HE?0?所以可取n?(0,4,3)．
设直线AF与平面?所成角为?,
rrruuu|n?AF|45r?则sin??ruuu．
|n||AF|15
所以，直线AF与平面?所成角的正弦值为
45． 15
【点睛】
本题考查几何体的体积,空间角的计算,对于空间角计算通常有两种方法：①几何法,作出所求角,然后计算,作、证、算三步缺一不可;②空间向量法,建立空间直角坐标系,求出线段的方向向量坐标,面的法向量坐标,即可求出角.
19．对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙起床的唯一动力，7:15之后到校记为迟到．就是上学能够不迟到．己知学校要求每天早晨7:15之前到校，小明每天6:15会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时，故每天6:45小明就可以出门去上学．从家到学校的路上，若小明选择步行到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量X（分钟）表示步行到校的时间，可以认为X?N?22,4?．若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量Y（分钟）描述骑车到校的时间，可以认为Y?N?16,16?．若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量Z（分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为Z?N?10,64?．
（1）若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来已经是6:40了，他抓紧时间洗漱更衣，没吃早饭就出发了，出门时候是6:50．请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？
（2）已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量?表示这五天小明上学骑车的费用，求?的期望与方差（此小题结果均保留三位有效数字） 已知若随机变量??N?0,1?，则P??1???1??68.26％，P??2???2??95.44％，
P??3???3??99.74％．
【答案】（1），三种方案都无法满足3?原则，不能保证上学不迟到．相对而言，骑车到校不迟到的
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