公 开 课 教 案
教 者 课 题 时 间 徐明 科 目 数学 课 型 地 点 班 级 两个重要极限（一） 《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的教材分析 一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。 一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“0 0学情分析 型”函数的极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。 sinx知识与技能：让学生了解公式lim?1的证明过程，正确理解x?0x公式，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。 过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。 情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。 正确理解公式limsinx?1，并能运用公式及其变形式解决有关函x?0x教学目标 教学重点 数极限的计算。 教学难点 公式limsinx?1的证明、公式及其变形式灵活运用。 x?0x教法学法 本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。通过复习函数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。 教师：多媒体课件；学生：计算器。 教 学 内 容 1、说说当x?x0时，函数f(x)的极限的定义。 师生双边活动 教师引导，课前准备 教学环节 复习导入 如果当x无限接近于定值x0时，函数f(x)无限接近学生回忆口于一个确定的常数A，那么A称为函数f(x)当x?x0时述，为了解的极限，记作limf(x)?A。 x?x0公式的证明、正确计算有关函数极限作铺垫，达到温故知新的目 的。 2、limf(x)?A的充要条件是什么？ x?x0x?x0limf(x)?A ? lim?f(x)=lim?f(x)?A x?x0x?x03、说出函数极限的四则运算法则。 法则1:设limf(x)?A,limg(x)?B,则lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?B法则2：设limf(x)?A,limg(x)?B,则lim[f(x)?g(x)]?[limf(x)]?[limg(x)]?A?B法则3：设limf(x)?A,limg(x)?B,且B?0,f(x)limf(x)A则lim??g(x)limg(x)B 新授 x2?4x?54、求下列函数的极限：①lim2；②lim x?2x?2x?0x?3 ③limx2x2?1?1x?0 学生分组巩固练习 一、问题的提出 “0设疑激趣 型”极限的计算方法 ，到目前为止，我们学过0分组讨论 因式分解约去非零因子，有理化分子或分母这两种方法。0教师视情况是不是所有的“型”都可以用这两种方法解决呢？ 0引导学生使问题：如何求limsinx？ x?0x用计算器代入进行近似计算，并猜想。 （学生使用计算器进行实验） 二、动态演示，验证猜想 作单位圆O，设?AOB?x,(0?x??2 ),则弧AB?x,作BC?OA利用几何画sinxx于C，则BC?sinx，拖动点B，改变x的大小，观察值的变化趋势。 得出结论：lim 三、证明猜想 过程见课本P51?P52 板事先制作课件，拖动动点，让学生观察比值的变化，验证猜想。体会数形结合思想的作用 sinx?1 x?0x sinx强调：①极限中函数的分子分母都是当x?0时x教师讲授证的无穷小。 明过程，学②这里的自变量x是用弧度度量的，以后引用生理解识这个极限时必须用弧度作单位。 记，记住公③在利用这个极限求较复杂函数的极限时，必式特征。 须注意所有含有自变量的表达形式应一致。 x④lim?1 x?0sinx 教师引导鼓励学生发表观点。第（1）小题学生独立思考，第四、公式的应用 sinxtanx例1：求⑴ lim ⑵ lim x?03xx?0x解：⑴ lim⑵ limsinx1sinx1sinx11?lim(?)?lim??1? x?03xx?03x3x?0x33tanxsinx1sinx1=lim( ?)=lim?limx?0x?0x?0x?0xxcosxxcosx =1?1?1 小题教回顾反思：1、求此类函数的极限其关键是把此函数转化（2）师引导并板sinx为与另一个函数的乘积，若另一个函数的极限可求，x书。 则可求出此函数的极限。 2、当x?0时，x、sinx、tanx为等价无穷小。如 limtanx?1。 x?0sinx例2：求 ⑴ lim sin3xtan3x ⑵ lim x?0x?0xsin2x学生尝试，sin3xsin3xsin3x?解：⑴ lim=3lim=3 ?lim?3?教师引导。x?0x?03x?03xx3x体会换元tan3x?3tan3x2x??⑵ lim=lim??? x?02x?0sin2x法、转化思3xsin2x??3tan3x2x=?lim ?lim3x?02x?023xsin2x想在数学解题中的重要3 = 2作用。 师生回顾归回顾反思：1、此例用到了变量替换（换元），变量替换后 一定要注意变量的变化趋势可能会发生变化。 2、函数变形后要注意系数的变化，防止计算错误。 3、一般地limsinaxa?x?0bxb，limtanaxa， 纳交流解题?x?0bxb经验 tanaxalim?。 x?0sinbxb例3：求 lim1?cosx x?0x22 综合运用，提高分析、解决问题的x?x?sin?2sin2?1?cosx2?=1 2=1lim?解：lim=limx?0x?02x?0?x?2x2x22???2?回顾反思：利用公式limsinx能力 ?1求函数极限，有时不仅x?0x要进行变量替换，还要利用三角函数公式进行变形。 课堂练习 练习：求下列极限： ① limsinxtan3x ② lim x?05xx?0xsin5x1?cos2x ④ lim 2x?0tan3xx?0x③ lim小结 1． 正确、灵活地运用公式limsinx?1。 x?0xsinx、tanx为等价无穷小。 2． 当x?0时，x、3． 运用换元法时须注意自变量的变化趋势的改变和系数的变化。 4. 利用此公式求极限时，一定要注意变量的变化趋势，不能一概而论，造成思维定势，如求limsinx?0。 x??x
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