初三数学九上压轴题难题提高题培优题
一．解答题（共8小题）
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=4，∠AOB=120°． （1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点
．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；
（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？ 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；
（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求tan∠ABO的值；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标． 6．如图1，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧． （1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
7．如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C． （1）点B的坐标为 ，点C的坐标为 （用含b的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．
初三数学九上压轴题难题提高题培优题
参考答案与试题解析
一．解答题（共8小题）
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：由题意可知．解得．
∴抛物线的表达式为y=﹣．
（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）． 设直线MA的表达式为y=kx+b，则
．
解得．
∴直线MA的表达式为y=x+1． 设点D的坐标为（DF==当此时
），则点F的坐标为（）．
．
时，DF的最大值为．
，即点D的坐标为（
）．
（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，
）．
在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在
第一象限．
①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3AN， ∴
，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又
﹣3＜m＜0，故此时满足条件的点不存在．
②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MA上，∴只能PN=3AN， ∴
，即m2+11m+24=0．
解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P的坐标为（﹣8，﹣15）． ③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则﹣36=0．
解得m=﹣3（舍去）或m=2． 当m=2时，若PN=3NA，则﹣
．此时点P的坐标为（2，﹣）．
，即m2﹣7m﹣30=0．
，即m2+m﹣
解得m=﹣3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，﹣39）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过
点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=4，∠AOB=120°． （1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．
【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥y轴于点D， ∵AO=OB=4， ∴B（4，0）． ∵∠AOB=120°， ∴∠AOD=30°， ∴AD=OA=2，OD=
OA=2
．
∴A（﹣2，2）．
将A（﹣2，2），B（4，0）代入y=ax2+bx，得：
，解得：
，
∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣x；
（2）过点M作ME⊥x轴于点E， ∵y=
x2﹣
x=
（x﹣2）2﹣
， ．
∴M（2，﹣∴tan∠EOM=
），即OE=2，EM==
．
∴∠EOM=30°．
∴∠AOM=∠AOB+∠EOM=150°． （3）过点A作AH⊥x轴于点H， ∵AH=2，HB=HO+OB=6， ∴tan∠ABH=
=
．
∴∠ABH=30°， ∵∠AOM=150°， ∴∠OAM＜30°， ∴∠OMA＜30°，
∴点C不可能在点B的左侧，只能在点B的右侧． ∴∠ABC=180°﹣∠ABH=150°， ∵∠AOM=150°， ∴∠AOM=∠ABC．
∴△ABC与△AOM相似，有如下两种可能： ①△BAC与∽△OAM，②△BAC与∽△OMA ∵OD=2，ME=∴OM=∵AH=2∴AB=4
， ，BH=6， ．
，
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