整理得，a2﹣4a+3=0， 解得a1=1，a2=3，
∵MN在抛物线对称轴的左侧，抛物线的对称轴为直线x=﹣∴a=1，
∴﹣12+×1+1=，
∴点M的坐标为（1，）．
6．如图1，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将x=2，y=2代入抛物线的解析式得：﹣×4×（2﹣m）=2， 解得：m=4，
经检验：m=4是分式方程的解． ∴m的值为4．
（2）y=0得：0=﹣（x+2）（x﹣m），解得x=﹣2或x=m， ∴B（﹣2，0），C（m，0）． 由（1）得：m=4， ∴C（4，0）．
将x=0代入得：y=﹣×2×（﹣m）=2， ∴E（0，2）． ∴BC=6，OE=2．
∴S△BCE=BC?OE=×6×2=6．
（3）如图1所示：连接EC交抛物线的对称轴于点H，连接BH，设对称轴与x轴的交点为P． ∵x=﹣
，
=，
∴抛物线的对称轴是直线x=1． ∴CP=3．
∵点B与点C关于x=1对称， ∴BH=CH．
∴BH+EH=EH+HC．
∴当H落在线段EC上时，BH+EH的值最小． ∵HP∥OE，
∴△PHC∽△EOC． ∴
，即
．解得HP=．
∴点H的坐标为（1，）．
（4）①如图2，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′． ∵BF∥EC，
∴∠BCE=∠FBC． ∴当
，即BC2=CE?BF时，△BCE∽△FBC．
设点F的坐标为（x，﹣（x+2）（x﹣m）），由解得x=m+2．
∴F′（m+2，0）． ∵∠BCE=∠FBC． ∴
，得
，解得：
，得．
．
又∵BC2=CE?BF， ∴
，整理得：0=16．此方程无解．
②如图3，作∠CBF=45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′， ∵OE=OB，∠EOB=90°， ∴∠EBO=45°． ∵∵∠CBF=45°， ∴∠EBC=∠CBF， ∴当
，即BC2=BE?BF时，△BCE∽△BFC．
在Rt△BFF′中，由FF′=BF′，得（x+2）（x﹣m）=x+2，解得x=2m． ∴F′（2m，0）． ∴BF′=2m+2，
∴BF=2m+2．
由BC2=BE?BF，得（m+2）2=2×（2∵m＞0， ∴m=2+2．
综上所述，点m的值为2+2．
m+2）．解得．
7．如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为 （b，0） ，点C的坐标为 （0，） （用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）令y=0，即y=x2﹣（b+1）x+=0， 解得：x=1或b，
∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧， ∴点B的坐标为（b，0）， 令x=0， 解得：y=，
∴点C的坐标为（0，）， 故答案为：（b，0），（0，）；
（2）存在，
假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．
设点P的坐标为（x，y），连接OP． 则S四边形PCOB=S△PCO+S△POB=??x+?b?y=2b， ∴x+4y=16．
过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E， ∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°． ∴四边形PEOD是矩形． ∴∠EPD=90°． ∴∠EPC=∠DPB．
∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y． 由
解得
由△PEC≌△PDB得EC=DB，即解得b=
＞2符合题意．
，
）；
﹣=b﹣，
∴P的坐标为（
（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．
∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，
∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．
∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴． ∵b＞2， ∴AB＞OA，
∴∠Q0A＞∠ABQ．
∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°， 由QA⊥x轴知QA∥y轴． ∴∠COQ=∠OQA．
∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°． （I）当∠OCQ=90°时，△CQO≌△QOA． ∴AQ=CO=．
由AQ2=OA?AB得：（）2=b﹣1． 解得：b=8±4． ∵b＞2， ∴b=8+4．
∴点Q的坐标是（1，2+）．
（II）当∠OQC=90°时，△OCQ∽△QOA， ∴
=
，即OQ2=OC?AQ．
又OQ2=OA?OB，
∴OC?AQ=OA?OB．即?AQ=1×b．
解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意， ∴点Q的坐标是（1，4）． ∴综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值． 【解答】解：（1）A（1，4）．
由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4 ∵抛物线过点C（3，0），
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