1lnx2?lnx11，即证??x2x2?x1x1xx2x n ? 2 ………………14分 1?1?l. ?1x2x1x11x令2?t，则t?1，此时即证1??lnt?t?1．
tx1111t?1令?(t)?lnt??1，所以??(t)??2?2?0，所以当t?1时，函数?(t)单调递
tttt即
证
增．
1t11?t?0，所以当t?1时，函数m(t)单调递再令m(t)?lnt?t?1，所以m?(t)??1?tt又?(1)?0，所以?(t)?lnt??1?0，即1??lnt成立； 减，
又m(1)?0，所以m(t)?lnt?t?1?0，即lnt?t?1也成立．
综
上
所
述
，
实
数
1tx1,x2满足
x1?x2
?x2. ? b ? x x ………………16分 x附加题答案
21．（A）解：如图，连接AE，OE，
因为直线DE与⊙O相切于点E，所以DE?OE，
又因为AD垂直DE于D，所以AD//OE，所以?DAE??OEA，① 在⊙O中OE?OA，所以?OEA??OAE，② ………………5分 由①②得?DAE??OAE，即?DAE??FAE， 又?ADE??AFE，AE?AE，
所以?ADE??AFE，所以DE?FE，又DE?4，所以FE?4， 即E到直径AB的距离为4. ………………10分
22（B）解：设P?x0,y0?是圆x?y?1上任意一点，则x0?y0?1，
22D A
E · F O 第21(A)图
B
?x??2 0??x0?设点P?x0,y0?在矩阵M对应的变换下所得的点为Q?x,y?，则??????y?，
y0 1?????0??x?2x0即，解得?y?y0?1??x0?x2， ………………5分 ???y0?y代
入
x?y?1，得
2020x2?y2?1，即为所求的曲线方4高三数学试题第13页（共4页）
程. ………………10分
（C）解：以极点O为原点，极轴Ox为x轴建立平面直角坐标系，
由?cos(??得
直
?3)?1，得?(cos?cos线
的
直
??sin?sin)?1， 33角
坐
标
方
程
为
?x?3y?2?0． ………………5分
曲线??r，即圆x2?y2?r2，
所以圆心到直线的距离为d?0?3?0?21?3?1．
?(?因为直线?cos?3?)与1曲线??r（r?0）相切，所以r?d，即
r?1. ……………10分
（D）解：由柯西不等式，得[x?(3y)][1?(即而
222323)]?(x?1?3y?)2， 3342(x?3y2)?(x?y)2． 3x2?3y2?1，所以
(x?y)2?43，所以
?223?x?y?3， ………………5分 33?x3y??3?x?1?3?233?2，
(x?y)?3．由?，得所以当且仅当时， x?,y??max3326??y?32?x?y??36?3?x?y所以当取最大值时的值为xx?3. ………………10分 222．解：（1）因为ABCD是菱形，所以AC?BD．又OP?底面ABCD，以O为原点，直线
OA,OB,OP 分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．
则A(2,0,0),B(0,1,0),P(0,0,4),C(?2,0,0),M(?1,0,2)．
??????????????????所以AP?(?2,0,4)，BM?(?1,?1,2)，AP?BM?10， ?????????|AP|?25，|BM|?6．
??????????????????AP?BM1030???????则cos?AP,BM?????． ?6|AP||BM|25?6z P M D C
O A B 第22题图
y 高三数学试题第14页（共4页）
x 故直线AP与BM所成角的余弦值为?????????（2）AB?(?2,1,0)，BM?(?1,?1,2)．
?设平面ABM的一个法向量为n?(x,y,z)，
????????2x?y?0?n?AB?0则??????，得，令x?2，得y?4，z?3． ????x?y?2z?0??n?BM?0?得平面ABM的一个法向量为n?(2,4,3)．
??????????????又平面PAC的一个法向量为OB?(0,1,0)，所以n?OB?4，|n|?29，|OB|?1．
??????????n?OB44??则cos?n,OB???????29.
29|n||OB|29故平面
30. ………5分 6ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为
429. ………………10分 290112r?1rn?1n23．解：（1）由条件，nf?n??CnCn?2CnCn?????rCnCn?????nCnCn ①，
n?1，
1f?1??C10C1?1． ………………1分
在在在
①
中
令
①①2
中中）令令
得，，
得得或
n?2n?3猜
，想
，得
得
01122f?2??C2C2?2C2C2?6f?2??3． ………………2分
0112233f?3??C3C3?2C3C3?3C3C3?30f?3??（
． 0 ………………3分 1f?n?=
nC2n?1（
n?1）． ………………5分 f?n?=C2n?1n0112r?1rn?1n欲证猜想成立，只要证等式nC2成立． n?1?CnCn?2CnCn?????rCnCn?????nCnCn方法一：当n?1时，等式显然成立，
r?（n!）n!(n?1)!r?1=?n??nCn?1，
r!(n?r)!(r?1)!(n?r)!(r?1)!(n?r)!r?1rrr?1r?1r?1故rCn． Cn?(rCn)Cn?nCn?1Cnn0011r?1r?1n?1n?1故只需证明nC2． n?1?nCn?1Cn?nCn?1Cn?????nCn?1Cn?????nCn?1Cnn0011r?1r?1n?1n?1即证C2． n?1?Cn?1Cn?Cn?1Cn?????Cn?1Cn?????Cn?1Cnr?1n?r?1n0n1n?1r?1n?r?1n?11而Cn，故即证C2 ②． ?Cn?????Cn?????Cnn?1?Cn?1Cn?Cn?1Cn?1Cn?1Cn2时，因为rCn=当n…rn由等式(1?x)2n?1?(1?x)n?1(1?x)n可得，左边x的系数为C2． n?1n而右边
?(?xn?1?xn??Cn0?1?n???1???n?????1C?n1???) ?，
n0n1n?1r?1n?r?1n?11所以x的系数为Cn． ?????Cn?????Cn?1Cn?Cn?1Cn?1Cn?1Cn高三数学试题第15页（共4页）
由(1?x)2n?1?(1?x)n?1(1?x)n恒成立可得②成立. 综
上
，
nf?n??C2n?1成
立. ………………10分
方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有2n?1个小球，其中n个是编号为1，2，…，n
的白球，其余n－1个是编号为1，2，…，n－1的黑球，现从袋中任意摸出n个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r个黑球（n?r个白球）的n个小球的组合的个数为
rn?r，0?r?n?1，由分类计数原理有从袋中任意摸出n个小球的组合的总数为Cn?1Cn0n1n?1n?11． Cn???Cn?1Cn?Cn?1Cn?1Cnn另一方面，从袋中2n?1个小球中任意摸出n个小球的组合的个数为C2． n?1n0n1n?1n?11故C2，即②成立. ??Cnn?1?Cn?1Cn?Cn?1Cn?1Cn 余下同方法
一. ………………10分
0122nn方法三：由二项式定理，得(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx???Cnx ③．
121rr?1nn?1两边求导，得n(1?x)n?1?Cn?2Cnx???rCnx???nCnx ④．
③×④， 得
0122nn121rr?1nn?1n(1?x)2n?1?(Cn?Cnx?Cnx???Cnx)(Cn?2Cnx???rCnx???nCnx)
⑤．
n左边x的系数为nC2． n?1nn1n2n?1rn?r?1n1右边x的系数为CnCn?2CnCn?????rCnCn?????nCnCn 1021rr?1nn?1?CnCn?2CnCn?????rCnCn?????nCnCn0112r?1rn?1n?CnCn?2CnCn?????rCnCn?????nCnCn．
n0112r?1rn?1n由⑤恒成立，可得nC2． n?1?CnCn?2CnCn?????rCnCn?????nCnCn故
nf?n??C2n?1成
立. ………………10分
高三数学试题第16页（共4页）
相关推荐：
loading