2019-2020学年广东省广州市增城区高三（上）调研数学试卷（理科）
一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ＝ ， ＝ ，则 ＝（ ） A. B. C. D.
2. 复数 ＝ 在复平面内对应的点为 ，若 ，则点 的轨迹是（ ） A.直线 B.线段 C.圆
D.单位圆以及圆内的部分
3. 已知 ＝ ， ＝ ， ＝ ，大小关系正确的是（ ） A. B. C. D.
4. 已知双曲线 A.
11. 已知椭圆
的左焦点为 ，上顶点为 ，右顶点为 ，过点 作 轴垂线，该垂线与直线
交点为 ，若 且 的面积为A.
，则 的标准方程为（ ）
B. D.
C.
12. 已知函数 ，若关于 的方程 ＝ 有 个不同的实数解，则 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本小题共4题，每小题5分．
13. 已知向量 ， ________, ，若向量 与 垂直，则________＝________．
的焦距为 ，则 的离心率为（ ）
C.
B.
D.
5. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ＝ ， ＝ ，则 的值为（ ）
B. D. A. C.
6. 已知角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则A.
B.
C.
D.
7. 若圆 ＝ 上存在两点关于直线 ＝ 对称，那么 最小值是（ ）
A.
B.
14. 在二项式 的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．
15. 已知数列{________．
16. 如图，在长方体________-________ 所成的最大角为 上述命题中，正确的序号是________．
C. D.
8. 将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，若函数 为偶函数，则函数 ＝ 在 的值域为（ ） A.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在锐角 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知
．
C.
B.
D.
9. 三棱柱 的侧棱垂直于底面，且 ，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D.
10. 已知 是 上奇函数，对任意实数 都有 ＝ ，当 时， ＝ ，则 ＝（ ） A. B. C. D.
（1）求 的大小；
（2）若 ＝ ，且 ＝ ，求 的周长．
18. 如图，空间几何体 中， 、 、 均是边长为 的等边三角形，平面 平面 ，且平面 平面 ， 为 中点． （1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
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21. 设函数 ＝ ，其中 ． （1）当 ＝ 时，求函数 的单调区间．
（2）若 ， 为函数 的两个零点，且 ，请比较 与 的大小关系，并说明理由．
19. 已知动圆 经过点 ，且与直线 相切．设圆心 的轨迹为 ．
（1）求 的方程；
（2）设动直线 ＝ 与曲线 相切于点 ，点 是直线 上异于点 的一点，若以 为直径的圆恒过 轴上一定点 ，求点 的横坐标 ．
20. 某网站于 年 月推出社会热点大型调查，调查数据表明，网约车安全问题是百姓最为关心的热点之一，参与调查者中关注此问题的占 ．现从参与者中随机选出 人，并将这 人按年龄分组：第 组
，第 组 ，第 组 ，第 组 ，第 组 ，得到的频率分布直方图如图所示： （1）现在要从年龄较小的第 ， ， 组中用分层抽样的方法抽取 人，再从这 人中随机抽取 人赠送礼品，求抽取的 人中至少有 人年龄在第 组的概率；
（2）若从所有参与调查的人中任意选出 人，记关注网约车安全问题的人数为 ，求 的分布列与期望；
（3）把年龄在第 ， ， 组的人称为青少年组，年龄在第 ， 组的人称为中老年组．若选出的 人中，关注网约车安全问题的也占 ，其中不关注此问题的中老年人有 人．请将以下 列联表填写完整，并回答是否有 的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关？ 关注网约车安不关注网约车合计 全 安全 青少年 中老年 合计 附： ， ＝ ．
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ＝ ． （1）若 ，求直线 以及曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 、 两点，且 ＝ ，求直线 的斜率． [选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数 ＝ ． （1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若 时， 恒成立，求 的取值范围．
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参考答案与试题解析
2019-2020学年广东省广州市增城区高三（上）调研数学试卷（理科）（一）（9
考查指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义． 4.
【答案】 C
月份）
一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.
【答案】 D
【考点】 交集及其运算 【解析】
可以求出集合 ， ，然后进行交集的运算即可． 【解答】
∵ ＝ ， ＝ ， ∴ ＝ ． 【点评】
考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算． 2.
【答案】 D
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义 【解析】
根据复数的模长不大于 ，和所给的复数的代数形式，写出复数的模长计算公式，得到关于复数的对应的点的坐标的关系式，看出表示的是单位圆及其内部． 【解答】
∵ 复数 ＝ 在复平面内对应的点为 ， ，
∴ ，
∴ 点的轨迹是在以原点为圆心， 为半径的圆及其内部， 【点评】
本题考查复数的模长公式，考查复数的代数表示及其几何意义，考查原点方程求法，本题是一个基础题． 3.
【答案】 C
【考点】
对数值大小的比较 【解析】
容易得出 ， ， ，从而得出 ， ， 的大小关系． 【解答】
∵ ＝ ， ＝ ， ＝ ， ∴ ． 【点评】
第5页 共22页 【考点】
双曲线的离心率 【解析】
利用双曲线的焦距列出关系式，然后求解 ，即可求解离心率． 【解答】 双曲线
的焦距为 ， ＝ ，
可得： ， ＝ ，
． 【点评】
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 5.
【答案】 B
【考点】
等差数列的前n项和 【解析】
根据 ＝ ， ＝ ，推出 ＝ ＝ …… ＝ ，所以 ＝ ＝ ，所以 ＝ ． 【解答】
数列 是等差数列， ＝ ， ＝ ， 所以 ＝ ＝ …… ＝ ， 所以 ＝ ＝ ，所以 ＝ ． 【点评】
本题考查了等差数列的前 项和，等差数列的性质，属于基础题． 6.
【答案】 A
【考点】
运用诱导公式化简求值 【解析】
根据题意分别求得 ， 的值，利用诱导公式进行化简，进而求得答案． 【解答】
（1）因为角 的终边经过点 ， 所以 ＝ ， 所以 ， ， 原式
．
故选： ．
【点评】
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数关系化简求值．解题过程中特别注意三角函数符号的判断，属于基
第6页 共22页
◎础题． 7.
【答案】 B
【考点】
直线与圆的位置关系 【解析】
由圆的对称性可得，直线 ＝ 必过圆心 ，所以 ＝ ，再用“ ”的代换，结合基本不等式，即可求出
的最小值．
【解答】
圆 ＝ 的圆心 ，
圆 ＝ 上存在两点关于直线 ＝ 对称， 直线 ＝ 必过圆心 ，所以 ＝ ． 所以
＝ ，
当且仅当 ＝
时取等号，
【点评】
本题考查圆的对称性，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 8.
【答案】 D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 【解析】
由题意利用函数 ＝ 的图象变换规律，求得 的值，可得 的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得函数 ＝ 在
的值域． 【解答】
将函数
的图象向左平移 个单位， 得到函数
的图象，
若函数 为偶函数，则
＝ ， ，∴ ， ， ．
在
， 的值域为 上， ，
，
【点评】
本题主要考查函数 ＝ 的图象变换规律，余弦函数的定义域和值域，属于基础题． 9.
【答案】 D
【考点】
球的体积和表面积 【解析】 第7页 共22页 利用三棱柱 的侧棱垂直于底面，求出球的半径，从而可求球的表面积．
【解答】
∵ 三棱柱 的侧棱垂直于底面， ， ∴ 三棱柱扩展为长方体，体对角线为外接球的直径，
设 外接圆的半径为 ，则 ，∴ ． ∴ 外接球的半径为 ，∴ 球的表面积等于 ＝ ． 【点评】
本题考查球的表面积，考查棱柱和球的关系，考查学生的计算能力，属于基础题． 10.
【答案】 A
【考点】
抽象函数及其应用 【解析】
根据题意，分析可得 ＝ ，即 ＝ ，进而可得 ＝ ＝ ，即 是周期为 的周期函数，据此可得 ＝ ＝ ＝ ， ＝ ，结合函数的奇偶性以及解析式求出 与 值，则有 ＝ ，计算可得答案． 【解答】 故选： ． 【点评】
本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期性，属于基础题． 11.
【答案】 B
【考点】 椭圆的离心率 【解析】
根据 的面积为
，从而求得 ，进而求得 ， ，从而求解椭圆的方程．
【解答】
根据题意
，且 ，则
，从而得到 ， 又因为 ＝ ，所以 ， 则
，根据 的面积为：
，因为 ＝ ， ，
得 ，求得 ＝ ， ， 椭圆的方程：
．
【点评】
本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 12.
【答案】 A
【考点】
利用导数研究函数的极值 函数与方程的综合运用
第8页 共22页
◎
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