专题10.计数原理与古典概率
1.排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合题．近四年两考，难度基本稳定在中等.
2.二项展开式定理的问题是高考命题热点之一，近四年四考.关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从
rn?rr以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式Tr?1?Cnab；（可以考查某一项，也可考查某一项
的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．近两年，浙江紧紧围绕二
rn?rr项展开式的通项公式Tr?1?Cnab命题，考查某一项或考查某一项的系数.
3.离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，前几年以解答题为主，常与排列、组合、概率等知识综合命题．以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值与方差在实际问题中的应用，是高考的主要命题方向．近四年浙江卷略有淡化，难度有所降低，主要考查分布列的性质、数学期望、方差的计算，及二者之间的关系.同时，考查二次函数性质的应用，近四年四考，逐渐形成稳定趋势.
预测2021年将保持稳定，依然通过客观题考查计数原理、二项式定理的应用、分布列的性质、数学期望、方差的计算等.期望、方差与函数不等式的结合仍将是热点.
1．（2020·山东海南省高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A．120种 C．60种 【答案】C 【解析】
首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C6； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C5； 最后剩下的3名同学去丙场馆.
12故不同的安排方法共有C6?C5?6?10?60种.
2B．90种 D．30种
1故选：C
2．（2020·山东海南省高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A．62% C．46% 【答案】C 【解析】
记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A?B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A?B， 则P(A)?0.6，P(B)?0.82，P?A?B??0.96，
所以P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A?B)?0.6?0.82?0.96?0.46 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%. 故选：C.
3．（2020·全国高考真题（理））在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4，且?pi?1，
i?14B．56% D．42%
则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A．p1?p4?0.1,p2?p3?0.4 C．p1?p4?0.2,p2?p3?0.3 【答案】B 【解析】
对于A选项，该组数据的平均数为xA??1?4??0.1??2?3??0.4?2.5，
2方差为sA??1?2.5??0.1??2?2.5??0.4??3?2.5??0.4??4?2.5??0.1?0.65；
2222B．p1?p4?0.4,p2?p3?0.1 D．p1?p4?0.3,p2?p3?0.2
对于B选项，该组数据的平均数为xB??1?4??0.4??2?3??0.1?2.5，
2方差为sB??1?2.5??0.4??2?2.5??0.1??3?2.5??0.1??4?2.5??0.4?1.85；
2222对于C选项，该组数据的平均数为xC??1?4??0.2??2?3??0.3?2.5，
2方差为sC??1?2.5??0.2??2?2.5??0.3??3?2.5??0.3??4?2.5??0.2?1.05；
2222对于D选项，该组数据的平均数为xD??1?4??0.3??2?3??0.2?2.5，
2方差为sD??1?2.5??0.3??2?2.5??0.2??3?2.5??0.2??4?2.5??0.3?1.45.
2222因此，B选项这一组的标准差最大. 故选：B.
4．（2020·浙江高考真题）设?1?2x? ?a1?a2x?a3x2?a4x3?a5x4?a6x5，则a5=________；a1+a2 + 5a3=________．
【答案】80；122. 【解析】
(1?2x)5的通项为Tr?1?C5r(2x)r?2rC5rxr，令r?4，则T5?24C54x4?80x4，故a5?80；
1a1?a3?a5?21C5?23C53?25C55?122.
故答案为：80；122
5．（2020·浙江高考真题）一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为?，则P(??0)?_______；E(?)?______． 【答案】
1 1 3【解析】
因为??0对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球， 所以P(??0)?1111???， 4433随机变量??0,1,2，
212111211P(??1)?????????，
434324323111P(??2)?1???，
333111所以E(?)?0??1??2??1.
3331故答案为：;1.
3 一、单选题
1．（2021·全国高二课时练习）小智参加三分投篮比赛，投中1次得1分，投不中扣1分，已知小智投篮命中率为0.5，记小智投篮三次后的得分为随机变量?，则D?为（ ）
??
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