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天津市南开中学2019届高三第五次月考
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A?x|x2?2x?3?0，集合B?{x?Z|x?4x}，则eRA??2B?（ ）
A．{x|0?x?3} B．{0,1,2,3} C．{?1，0,1,2,3} D．{1,2}
?x?y?2?0?2.设变量x,y满足约束条件?2x?3y?6?0,则目标函数z?2x?y的最大值是（ ）
?3x?2y?9?0?A．-2 B．2 C．-6 D．6
3.执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1??34.在?3x2??的二项展开式中，x项的系数为（ ）
x??A．540 B．-540 C.20 D．-20
5.已知m,n是两条互相垂直的直线，?是平面，则n//?是m??的（ ）条件 ．．．．A．充分不必要 B．必要不充分 C.充要 D．既不充分也不必要
6......
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x2y26. 已知双曲线2?2?1?a?0，b?0?，A,B为双曲线的左右顶点，若点M在双曲线上，且
ab满足?ABM为一个顶角为120?的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程是（ ） A．y=?x B．y=?2x C. y=?2x D．y=?2x 237.设实数a,b,c分别满足2a?a?2,blog2b?1，clog5c?1,则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a?b?c B．b?a?c C. c?b?a D．a?c?b 8.若函数f(x)?|x?1|3与g?x??k?x?1?的图象恰有两个公共点，则实数k的取值范围是（ ） x?21????,???4???1?0,?? D.????,0?
?4?A．???,???1?? B．?0,??? C. 4?二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
9.设i为序数单位，则
2?i??1?i?? ． 1?i?x?2pt210.已知抛物线的参数方程为?（t为参数），其中p?0，焦点为F，准线为l，过抛物线
?y?2pt上一点M作l的垂线，垂足为E，若EF?MF，点M横坐标为6，则p? ． 11.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积与其外接球体积之比为 ．
12.设Sn是公差不为0的等差数列?an?的前n项和，且S1,S2,S4成等比数列，则
322a2? ． a113.函数f?x??x?x?x?1在点(1，2)处的切线与函数g?x??x围成的图形的面积等于 ．
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14.已知O是?ABC外接圆的圆心，若4OA?5OB?6OC?0，则cosC? ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知函数f?x??3sinxcosx?cos2x?m?m?R?的图象过点M?（1）求m的值；
（Ⅱ）在?ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c.若ccosB?bcosC?2acosB,求f?A?的取值范围.
16、PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标. 某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为标本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）
???,0?. 12??
（Ⅰ）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；
（Ⅱ）从这15天的数据中任取3天的数据，记?表示其中空气质量达到一级的天数，求?的分布列；
（Ⅲ）以这15的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级.
17. 如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC,AC?BC?1AA1?1,D是棱AA1上的点，2DC1?BD.
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（Ⅰ）求证：D为AA1中点；
（Ⅱ）求直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小；
（Ⅲ）在?ABC边界及内部是否存在点M使得B1M?面BDC,存在，说明M位置，不存在，说明理由
x2y218. 椭圆2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1,F2，点P?a,b?满足|PF2|?|F1F2|.
ab（Ⅰ）求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A、B两点，若直线PF2与圆?x?1??y?32??2?16相交于M、
5N两点，且|MN|?|AB|，求椭圆的方程.
819. 记U??1,2,100?，对数列?an??n?N*?和U的子集T若T??，定义ST?0，若
atk例如：T??1,3.66?时，Sr?a1?a3?a66现设
T??t1,t2,,tk?,定义ST?at1?at2??an??n?N??是公比为3的等比数列，且当T??2,4?时ST（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）对任意正整数k?1?k?100?,若T??1,2,（Ⅲ）对任意正整数k?1?k?100?,若T??1,2?30.
,k?,求证：ST?ak?1； ?1,k?，记数列??ST??的前k项和为H，求证：?H?3 23220. 已知函数f?x???x?x?b,g?x??alnx.
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