《实变函数》综合训练题（三）
（含解答）
一、选择题（单选题）
1、下列集合关系成立的是（ A ）
（A）A\\(A?B)?A\\B （B）A\\(A?B)?A\\B （C）(B?A)?A?A?B （D）(B\\A)?A?? 2、若E?R是孤立点集，则（ B ）
（A）E??E （B）E??? （C）E的内部?? （D）E??E 3、设W是[0,1]上的无理数集，则（ C ）
（A）W是可数集 （B）W是开集 （C）W是不可数集 （D）mW?0 4、设f(x)是R上的单调函数，则（ D ）
（A）f(x)在R上连续 （B）f(x)在R中的不连续点有不可数个 （C）f(x)在R上一定不L可积 （D）f(x)是R上的可测函数
n5、设E是R中的可测集，f(x)为E上的可测函数，若?f(x)dx?0，则（ A ）
11111n2E（A），f(z)在E上几乎处处为零 （B）在E上，f(z)?0 （C）在E上，f(z)?0 （D）mE[xf(x)?0]?0 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E是[0,1]上康托集，则（B、C）
（A）E是可数集 （B）E是闭集 （C）E中的每一点都是聚点 （D）mE?0 2、若E?R至少有一个聚点，则（C、D ）
**（A）mE?0 （B）mE?0
（C）E可能是可数集 （D）E可能是不可数集
3、设E?[a,b]是不可测集，则E的特征函数XE(x)是 （C、D ） （A）[a,b]上的简单函数 （B）[a,b]上的可测函数 （C）E上的连续函数 （D）[a,b]上的不可测函数 4、设f(x)在可测集E上不L可积，则（ B、D ） （A）f(z)和f(z)都在E上不L可积
??1（B）f(z)和f(z)至少有一个在E上不L可积 （C）f(z)在E上可能L可积 （D）f(z)在E上一定不L可积
5、设f(z)是[a,b]的有界变差函数，则（ A、D）
（A）f(z)在[a,b]上几乎处处连续 （B）f(z)是[a,b]的连续函数 （C）f(z)在[a,b]上不可导 （D）f(z)在[a,b]上几乎处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上）
1、设X为全集，A，B为X的两个子集，则A?Bn???A\\(A\\B)
2、设E?R，如果E满足E??E，则E是 完全 集。
3、若开区间(a,b)和(c,d)是直线上开集G的两个不同的构成区间，则
(a,b)?(c,d)??。
4、设A是无限集，B是至多可数集，则A?B的基数A?B 5、设E1，E2为可测集，mE2?0，则m(E1\\E2)?mE1。
? A。
6、设f(x)是定义在可测集E上的有限实函数，若对任意实数a?b，都有
E[xa?f(x)?b]是可测集，则f(x)是可测集E上的 可测函数 。
17、设E?R是孤立点集，则mE*?0。
8、设函数列{fn(x)}为可测集E上的可测函数列，且fn(x)?f(x)(x?E)，则
a.e.fn(x)?f(x)(x?E) 不一定成立 。
9、设f(x)是E上的可测函数，则f(x)在E上的L可积的充要条件是f(x)在E上 勒贝格可积 。
10、若f(x)是[a,b]上的有界变差函数或绝对连续函数，则f(x)[a,b]上的导数 几乎处处存在 。
四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）
1、可列（数）个F?型集的并集仍为F?型集。 （ √ ）
2、无限集中一定存在具有最大基数的无限集。 （ × ） 3、设E是可测集，则一定存在开集G，使得E?G，且m(G\\E)?0。（ × ） 4、设E1和E2都是可测集，f(z)是E1和E2上的可测函数，则f(x)不一定是E1?E2上的可测函数。 （ × ）
??5、设f(z)是可测集E上的可测函数，且?f(x)dx存在（可为??），则f(x)和f(x)至
E少有在E上L可积。 （ √ ） 五、简答题
1、简述无穷多个零测集的并集是否必为零测集？
1答：不一定为零测集。例如 R??{x}，显然{x}为单元素集，为零测集，R不是零测
1x?R1集。
2、R上的可测集与Borel集的关系？
答：①Borel集是可测集；
②可测集不一定是Borel集；
③可测集一定可以表示成一个Borel集与零测集的差或并。
3、可测集E?R上的可测函数与连续函数有何关系？ 答：①可测集E上的连续函数一定是可测函数；
②可测集E上的可测函数不一定是连续函数；
③对E上的一个可测函数，任取??0，在可测集E中去掉一个测度小于?的可测子集后，可使此可测函数成为连续函数。 六、计算题
?e1、设f(x)???xsinx11x?[0,1]?Qx?[0,1]?Q，其中Q是有理数集，求?[0,1]f(x)dx。
解： 因为m{[0,1]?Q}?0，所以f(x)?xa.e.于[0,1]，于是
12?[0,1]1f(x)dx??[0,1]xdx?
2、设fn(x)?nx21?nx22，E?(0,1]，求lim?fn(x)dx。
n??E1解：因为fn(x)?nx21?nx22?nx1?nx2211?11，而?E11dx?1???
x22x22x2所以，由L控制收敛定理
limn???Efn(x)dx??Elimfn(x)dx?n???E0dx?0
七、证明题
1、证明集合等式：(A\\B)?C?(A?C)\\B
证明： （方法1）对任意x?(A\\B)?C，有x?(A\\B)且x?C，即x?A，x?B且x?C 所以 x?A?C或x?B，即x?(A?C)\\B。
反之，对任意x?(A?C)\\B，有x?A?C且x?B，即x?A，x?C且x?B，所以
x?(A\\B)且x?C，即x?(A\\B)?C，
综上所述，(A\\B)?C?(A?C)\\B。
（方法2）(A\\B)?C?(A?B)?C?(A?C)?B?(A?C)?B?(A?C)\\B。 2、设E0是[0,1]中的无理点全体，则E0是可测集且mE0?1。
证明： 记Q0是[0,1]中的有理点全体，由于Q0是可数集，从而Q0可测，且mQ0?0。又
E0?[0,1]\\Q0，所以，E0是可测集且mE0?m[0,1]?mQ0?1?0?0。
?1,x?E?0,x?ECCC13、设E?R，?E(x)??，证明：?E(x)是R上的可测函数的充要条件是E为可
1测集。
1证明：充分性：因为?E(x)是R上的可测函数，则对任意实数a，R[x?E(x)?a]
1是可测集，特别取a?12，注意到R[x?E(x)?1112]?E，可得E为可测集。
必要性：若E为可测集，则?E(x)是R上的简单函数，从而为R上的可测函数。
14、设?fn(x)?为可测集E?R上的可测函数列，若lim1n???E|fn(x)|dx?0，则在E上
fn?x??0。
证明：对任意??0，由于
??mE[xfn(x)??]??E[xfn(x)??]fn(x)dx??Efn(x)dx
所以
limmE[xfn(x)??]?0，
n??即在E上fn?x??0。
5、设mE???，若?fn(x)?是E上一列几乎处处收敛于零的可积函数，且满足对任意
??0，存在??0，只要e?E,me??，就有?|fn(x)|dx??(n?1)，证明：
elimn???E|fn(x)|dx?0。
证明：由题设及Egoroff定理得，对题设中的??0，存在可测集F?E，mF??，在E\\F上fn(x)一致收敛于0，从而对题设中的???0，存在N?0，当n?N时
|fn(x)|??,(x?E\\F)
于是，当n?N时，并注意到题设的条件，有
?E|fn(x)|dx??F|fn(x)|dx??E\\F|fn(x)|dx???m(E\\F)???(1?mE)?。
即 limn???E|fn(x)|dx?0。
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