二、计数原理~(一)容斥原理：
专题简析：
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，
例2：在网校 50名老师中，喜欢看电影的有 15 人，不喜欢唱歌的有 25人，既喜欢看电影也喜欢唱歌的有 5人。那么只喜欢唱歌的有多少人？ 也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
1、(两张饼)原理一： 大饼=A+B-AB
2、(三张饼)原理二： 大饼=A+B+C-AB-AC-BC+ABC 口诀 ：奇层加，偶层减。 3、原则：①消重；②不消不重； 4、考点：①直接考公式； ②直接考图形；
③锅内饼外=全部-大饼上的数量； ④三叶草=AB+AC+BC-ABC 5、解题方法：①文氏图法； ②方程法； ③反推法；
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
练习1：网校老师共 50 人报名参加了羽毛球或乒乓球的训练，其中参加羽毛球训练 的有 30 人，参加乒乓球训练的有 35 人，请问：两个项目都参加的有多少人？
练习2：网校老师 60 人组织春游。报名去香山的有 37 人，报名去鸟巢的有 42 人，两个地点都没有报名的有 8 人，那么只报名其中一个地点的有多少人？
练习1：学校组织体育比赛，分成轮滑、游泳和羽毛球三个组进行，参加轮滑比 赛的有20人，参加游泳比赛的有25人，参加羽毛球比赛的有30人，同时 参加了轮滑和游泳比赛的有8人，同时参加了轮滑和羽毛球比赛的有7人， 同时参加了游泳和羽毛球比赛的有6人，三种比赛都参加的有4 人，问参加 体育比赛的共有多少人？
练习2：五年级一班有46名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组。其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，既参加数学小组又参加 语文小组的有10人.参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的3.5倍，还是三项小组都参加的人数的7倍，既参加文艺小组 也参加语文小组的人数等于三项小组都参加的人数的2倍，求参加文艺小组的人数？
例3：网校老师共有90人，其中有32人参加了专业培训，有20人参加了技能培训，40人参加了文化培训，13人既参加了专业又参加了文化培训，8人既 参加了技能又参加了专业培训，10人既参加了技能又参加了文化培训，而 三个培训都未参加的有25人，那么三个培训都参加的有多少人？（锅内饼外）
练习1：在1至100的自然数中，既不能被2整除，又不能被3整除，还不能被5整除的数有多少个？
二、计数原理~(二)加乘原理：
1、加法原理：
做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。每一种方法都能够直接达成目标。
2、乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
3、区分两原理：要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，因此使用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理。
例1：用数字0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的自然数？
例2：由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的 奇数有多少个？
例3：一个七位数，其数码只能为1或3，且无两个3是邻的。问这样的七位 数共有多少个？
例4：在1～10这10个自然数中，每次取出三个不同的数，使它们的和是3的倍数有多少种不同的取法？
三、加乘原理——标数法、递推法 ①标数法与递推法都是加法原理 ②按最后一步进行分类，做加法 ③标数时要注意限制条件
④分平面问题要确定交点个数
例1：如图，为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但不经过C走到D的不同的最短路线有多少条？
例2：在下图中，左下角有1枚棋子，每次可以向上，向右，或沿对角 线的方向向右上走任意多步，但不能不走。那么走到右上角一共有多少种方法？
例3：一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，最 多可以迈3级台阶，从地面到最上面1级台阶，一共可以有多少种 不同的走法？
例4：一个长方形把平面分成两部分，那么10个长方形最多把平面分成几部分？
二、计数原理~(三)概率
1、随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现，但是具有规律性的事件。
2、概率：随机事件可能发生的可能性的度量，一般用P来表示，特例：必然事件：P=1；不可能事件：P=0； 3、独立事件：事件1是否发生对事件2发生的概率无影响； 4、互斥事件：不可能同时发生的两件事件； 5、对立事件：两个互斥事件必有一个发生； 6、概率的计算：P(A)?mn n表示试验中发生所有情况的总数，m表示事件A发生的次数。 7、概率具有可乘性。计算概率的基础：计数、枚举、加乘原理、排列组合。
例1：一副扑克牌有黑桃、红桃、方块、草花4种花色，每种花色各拿出2 张，现在从这8张牌中任意取出2张。请问：这2张扑克牌花色相同 的概率是多少？
例2：编号分别为1～10的10个小球，放在一个袋中，从中随机地取出两 个小球，这两个小球的编号不相邻的可能性是多少？
例3：A、B、C、D、E、F六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外 表一模一样的签，其中只有一枚刻着“中”，六人按照字母顺序先 后抽取签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被推选为代表，这六人被抽中的概率分别为多少？
例4：一枚硬币连续抛掷3次，至少有一次正面向上的概率是多少？
二、计数原理~(四)排列组合
1、排列：从n个不同元素中选出m个，按照一定的顺序排列，记为：Am
n=(n-1)(n-2)(n-3)....(n-m+1) 可以理解为从n开始乘，一共乘m个。 特殊要求，优先满足： （1）捆绑法：必须在一起；
（2）优先满足法：特殊位置或特殊元素；
（3）插空法：不能相邻，必须隔开；先排没有要求的，再在空里插必须要分开的元素。 （4）排除法：正难则反；
2、组合：从n个不同元素中选出m个，不需要按顺序排列， 记为：Cm
n=(n-1)(n-2)(n-3)....(n-m+1)/n!
可以写成：Cm
n
=Ammn/Am； 重要性质：Cmm-nn
n=Cn； Cn=1； 方法：（1）排除法：有至少、至多等情况下用；
（2）隔板法：相同物品放在不同位置或不同的人，要求至少一个，可以用隔板法。 例1：计算
A63= 4A54= A74?A19=
4A83?A19?A65=
C62= C64= C18= C87= C1002?2C10099= C1002C64?C10098C54= 例2：6 个人走进有 10 辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车只能坐一个人， 那么共有多少种不同的坐法？
例3：书架上有 3 本不同的故事书，2 本不同的作文选和 1 本
漫画书，全部竖起来 排成一排。
⑴如果同类的书可以分开，一共有多种排法？
⑵如果同类的书不可以分开，一共有多少种排法？
例4：一共有红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少种不同的串法？ ⑴把 7 盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在第七位。 ⑵串起其中 4 盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位。
例5：八个同学照相，分别求出在下列条件下各有多少种站法？⑴八个人站成一排；
⑵八个人排成一排，某两人必须有一人站在排头； ⑶八个人排成一排，某两人必须站在两头； ⑷八个人排成一排，某两人不能站在两头。
例6：大海老师把 10 张不同的游戏卡片分给佳佳和阳阳，并且决定给佳佳 8 张， 给阳阳 2 张。一共有多少种不同的分法？
例7：一个小组共 10 名学生，其中 5 女生，5 男生。现从中选出 3 名代表， 其中至少有一名女生的选法？
例8：一个电视台播放一部 12 集的电视剧，要分 5 天播完，每天至少播一集，有多少种不同的方法？
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