控制系统的校正

基于MATLAB控制系统的校正设计

1实验目的

① 掌握串联校正环节对系统稳定性的影响。

② 了解使用SISO系统设计工具（SISO Design Tool）进行系统设计。

2 设计任务

串联校正是指校正元件与系统的原来部分串联，如图1所示。

图1串联校正图

图中，Gc?s?表示校正部分的传递函数，Go?s?表示系统原来前向通道的传递函数。

1?aTs1?aTs?a?1?，为串联超前校正；当Go?s???a?1?，为串联迟后校正。 1?Ts1?Ts我们可以使用 SISO系统设计串联校正环节的参数，SISO系统设计工具（SISO Design Tool）是用于单输入单输出反馈控制系统补偿器设计的图形设计环境。通过该工具，用户可以快速完成以下工作：利用根轨迹方法计算系统的闭环特性、针对开环系统 Bode图的系统设计、添加补偿器的零极点、设计超前/滞后网络和滤波器、分析闭环系统响应、调整系统幅值或相位裕度等。

（1）打开 SISO系统设计工具

在 MATLAB命令窗口中输入 sisotool命令， 可以打开一个空的 SISO Design Tool， 也可以在 sisotool命令的输入参数中指定 SISO Design Tool启动时缺省打开的模型。注意先在 MATLAB的当前工作空间中定义好该模型。如图 2 所示。

图2 SISO系统的图形设计环境

（2）将模型载入 SISO设计工具

通过file/import命令，可以将所要研究的模型载入SISO设计工具中。点击该菜单项后，将弹出Import System Data对话框，如图3所示。

图3 Import System Data对话框

（3）当前的补偿器（Current Compensator）

图2中当前的补偿器（Current Compensator）一栏显示的是目前设计的系统补偿器的结构。缺省的补偿器增益是一个没有任何动态属性的单位增益，一旦在跟轨迹图和Bode图中添加零极点或移动曲线，该栏将自动显示补偿器结构。 （4）反馈结构

SISO Design Tool 在缺省条件下将补偿器放在系统的前向通道中，用户可以通过“+/-”按钮选择正负反馈，通过“FS”按钮在如下图4几种结构之间进行切换。

图 4 SISO Design Tool中的反馈控制结构

例1 图1所示的控制系统，原开环传递函数为

用SISO系统设计工具 （SISO Design Tool）设计超前校正环节，使其校正后系统的静态速Gc?s??度误差系数Kv?6，相角裕度为45°，并绘制校正前后的Bode图，并计算校正前后的相角裕度。

⑴ 将模型载入 SISO设计工具

在 MATLAB命令窗口先定义好模型Go?s??2，用MATLAB编程如下：

s?0.1s?1??0.3s?1?num=2;

den=conv([0.1,1,0],[0.3,1]); G=tf(num,den)

运行得到结果如下： Transfer function: 2

---------------------- 0.03 s^3 + 0.4 s^2 + s

输入 sisotool命令，可以打开一个空的 SISO Design Tool，通过 file/import 令，可以将模型 G载入SISO设计工具中，如图5所示。

图5 改变增益后的系统

（2）调整增益

根据要求系统的静态速度误差系数Kv?6，补偿器的增益应为 3，将图 5 中的C(s)=1 改为 3，如图5所示。从图中 Bode相频图左下角可以看出相位裕度??21.2?，不满足要求。 （3）加入超前校正网络

在开环 Bode图中点击鼠标右键，选择“Add Pole/Zero”下的“Lead”菜单，该命令将在控制器中添加一个超前校正网络。这时鼠标的光标将变成“X”形状，将鼠标移到 Bode 图幅频曲线上接近最右端极点的位置按下鼠标，得到如图6所示的系统。

图 6 增加超前网络后的系统 从图中 Bode 相频图左下角可以看出相位裕度??28.4?，仍不满足要求，需进一步调整超前环节的参数。

（4）调整超前网络的零极点

将超前网络的零点移动到靠近原来最左边的极点位置，接下来将超前网络的极点向右移动，并注意移动过程中相角裕度的增长，一直到相角裕度达到45°，此时超前网络满足设计要求。如图7所示。

图 7 最后满足要求的系统 从图中可以看出来，超前网络的传递函数为

3?1?0.26s?，最后系统的Kv?6，??46?。

1?0.054s例2 图 1 所示的控制系统，原开环传递函数为

试用 SISO 系统设计工具（SISO Design Tool）设计超前校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数Kv?100，相角裕度为30°，并绘制校正前后的 Bode图，并计算校正前后的相角裕度。 例3 使用 SISO Design Tool 设计直流电机调速系统。典型电机结构示意图如图8所示，控制系统的输入变量为输入电压Ua?t?，系统输出是电机负载条件下的转动角速度??t?。现设计补偿器的目的是通过对系统输入一定的电压，使电机带动负载以期望的角速度转动，并要求系统具有一定的稳定裕度。

图 8 直流电动机调速系统

直流电机动态模型本质上可以视为典型二阶系统，设某直流电机的传递函数为

系统的设计指标为：上升时间tr﹤0.5s，稳态误差ess﹤5%，最大超调量Mp%?10%，幅值

裕度Lg?20dB，相角裕度??40?。

系统设计步骤：

（1） 调整补偿器的增益

如果对该系统进行时域仿真，可发现其阶跃响应时间很大，提高系统响应速度的最简单方法就是增加补偿器增益的大小。在 SISO 的设计工具中可以很方便的实现补偿器增益的调节：鼠标移动到 Bode 幅值线上，按下鼠标左键抓取 Bode幅值线，向上拖动，释放鼠标，系统自动计算改变的系统增益和极点。

既然系统要求上升时间tr﹤0.5s，应调整系统增益，使得系统的穿越频率?c位于3rad／s附近。这是因为 3rad/s的频率位置近似对应于 0.33s的上升时间。

为了更清楚的查找系统的穿越频率，点击鼠标右键，在快捷菜单中选择“Grid”命令，将在 Bode图中绘制网格线。

观察系统的阶跃响应，可以看到系统的稳态误差和上升时间已得到改善，但要满足所有的设计指标，还应加入更复杂的控制器。 （2） 加入积分器

点击鼠标右键，在弹出的快捷菜单中选择“Add Pole/Zero”下的“Integrator”菜单，这时系统将加入一个积分器，系统的穿越频率随之改变，应调整补偿器的增益将穿越频率调整回 3rad/s的位置。 （3） 加入超前校正网络

为了添加一个超前校正网络，在开环 Bode图中点击鼠标右键，选择“Add Pole/Zero”下的“Lead” 菜单，该命令将在控制器中添加一个超前校正网络。这时鼠标的光标将变成“X”形状，将鼠标移到 Bode图幅频曲线上接近最右端极点的位置按下鼠标。

从 Bode图中可以看出幅值裕度还没有达到要求，还需进一步调整超前环节的参数。 （4）移动补偿器的零极点

为了提高系统的响应速度，将超前网络的零点移动到靠近电机原来最左边的极点位置，接下来将超前网络的极点向右移动，并注意移动过程中幅值裕度的增长。也可以通过调节增益来增加系统的幅值裕度。

试按照上述方法调整超前网络参数和增益，最终满足设计的要求。

3 实验步骤及结果

上述例2中，试用 SISO 系统设计工具（SISO Design Tool）设计超前校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数Kv?100，相角裕度为30°，并绘制校正前后的 Bode图，并计算校正前后的相角裕度。

（1） 将模型载入 SISO设计工具 在 MATLAB命令窗口先定义好模型Go?s??MATLAB程序如下： num=1;

den=conv([1,0],[0.2,1]); G=tf(num,den)

k

s?0.2s?1?输入 sisotool命令，可以打开一个空的 SISO Design Tool，通过 file/import 命令，可以将模型 G载入SISO设计工具中，如图9所示：

图9 增益为1时SISO系统

（2） 调整增益

根据要求系统的静态速度误差系数Kv?100，补偿器的增益应为 100，将上图中的 C(s)=1 改为 100，如图10所示。从图中 Bode相频图左下角可以看出相位裕度γ= 12.8°，不满足要求。

图10 增益为100的系统

（3） 加入超前校正网络

在开环 Bode图中点击鼠标右键，选择“Add Pole/Zero”下的“Lead”菜单，该命令将在控制器中添加一个超前校正网络。这时鼠标的光标将变成“X”形状，将鼠标移到 Bode 图幅频曲线上接近最右端极点的位置按下鼠标，得到如下图11所示的系统：

图11 调节至相位裕度γ=12.9°的系统

从图中 Bode 相频图左下角可以看出相位裕度γ=12.9°，仍不满足要求，需进一步调整超前环节的参数。

（4） 调整超前网络的零极点

超前网络的零点移动到靠近原来最左边的极点位置，接下来将超前网络的极点向右移动，并注意移动过程中相角裕度的增长，一直到相角裕度达到30°，此时超前网络满足设计要求，如图12所示。

图12相角裕度达到30°的系统 从图中可以看出来，超前网络的传递函数为

100?1?0.21s?，最后系统的Kv?100，γ

1?0.033s=30°。

3使用 SISO Design Tool 设计直流电机调速系统。

直流电机动态模型本质上可以视为典型二阶系统，设某直流电机的传递函数为

系统的设计指标为：上升时间tr﹤0.5s，稳态误差ess﹤5%，最大超调量Mp%?10%，幅值裕度Lg?20dB，相角裕度??40?。 （1） 将模型载入 SISO设计工具 在 MATLAB命令窗口先定义好模型G?s??1.5

s2?14s?40.02编MATLAB程序如下： num=1.5;

den=[1 14 40.02]; G=tf(num,den)

输入sisotool命令，通过 file/import 命令，将模型G载入SISO工具中，如图13所示： ⑵调整补偿器的增益

鼠标移动到 Bode 幅值线上，按下鼠标左键抓取Bode 幅值线，向上拖动，释放鼠标，系统自动计算改变的系统增益和极点。既然系统要求上升时间tr﹤0.5s，应调整系统增益，使得系统的穿越频率?c，位于3rad/s附近。这是因为3rad/s的频率位置近似对应于0.33s的上升时间。此时，系统增益为 34.8，如下图14所示。

观察系统的阶跃响应，可以看到系统的稳态误差和上升时间已得到改善，但要满足所有的设计指标，还应加入更复杂的控制器。

图14 增益为34.8时的系统

⑶ 加入积分器

点击鼠标右键，在弹出的快捷菜单中选择“Add Pole/Zero”下的“Integrator”菜单，系统加入一个积分器，系统的穿越频率随之改变，应调整补偿器的增益将穿越频率调整回3rad/s的位置，此时系统增益为108，如图15所示：

图15 加入积分器时的系统

⑷加入超前校正网络

在开环 Bode图中点击鼠标右键，选择“Add Pole/Zero”下的“Lead”菜单，该命令将在控制器中添加一个超前校正网络。这时鼠标的光标将变成“X”形状，将鼠标移到 Bode 图幅频曲线上接近最右端极点的位置按下鼠标。如图16所示：

图16 加入超前校正网格时的系统

从Bode图中可以看出幅值裕度还没有达到要求，还需进一步调整超前环节的参数。 ⑸移动补偿器的零极点

为了提高系统的响应速度，将超前网络的零点移动到靠近电机原来最左边的极点位置，接下来将超前网络的极点向右移动，并注意移动过程中幅值裕度的增长。如图17所示：

图17移动补偿器的零极点时的系统 从图中可以看出，此时幅值裕度Lg?20.4dB，相角裕度γ=65.4°，满足要求， 穿越频率

?c=3.99rad/s, 位于3rad/s附近，观察其阶跃响应，可以看到系统的稳态误差和超调量均满足要求，此时补偿器的传递函数为