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浙教版八年级下册
初中数学
全册知识点梳理及重点题型巩固练习
二次根式的概念和性质（提高）知识讲解
【学习目标】
1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论：
，
，
，并利用它们进
行计算和化简．
3、理解并掌握同类二次根式和最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简. 【要点梳理】
要点一、二次根式及代数式的概念
1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“要点诠释：
二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.
”称为二次根号．
2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包
括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1、2.
； ；
3.
要点诠释： 1.二次根式
.
(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，
即a?(a)2(a≥0）.
2.a2与(a)2要注意区别与联系：1).a的取值范围不同，(a)2中a≥0，a2中a为任意值. 2).a≥0时，(a)2=a2=a；a<0时，(a)2无意义，a2=?a.
要点三、最简二次根式
（1）被开方数不含有分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
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要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
（1) 被开放数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式.
要点四、同类二次根式
1. 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做
同类二次根式. 要点诠释：
(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；
(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式
合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似). 要点诠释：
(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；
(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. 【典型例题】
类型一、二次根式的概念
1．（2016春?天津期末）已知y=
+
﹣4，计算x﹣y的值．
2
【思路点拨】根据二次根式有意义的条件可得：的值，然后代入x﹣y求值即可． 【答案与解析】解：由题意得：
，
2
，解不等式组可得x的值，进而可求出y
解得：x=， 把x=代入y=
+
2=
﹣4，得y=﹣4， ﹣16=﹣14．
当x=，y=﹣4时x﹣y
【总结升华】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 举一反三
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【变式】方程4x?8?x?y?m?0，当y?0时，m的取值范围是（ ）
A．0?m?1 B.m≥2 C.m?2 D.m≤2
【答案】 C.
类型二、二次根式的性质
2.根据下列条件，求字母x的取值范围： (1)
【答案与解析】(1)
； (2)
.
(2)
【总结升华】二次根式性质的运用.
举一反三 【变式】（2014春?铁东区校级月考）问题探究： 因为因为
，所以，所以
，
请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式： （1）（2）
； ．
；
．
【答案】解：（1）
==
（2）==
3. （2015?罗平县校级模拟）已知，1≤x≤3，化简：=_______.
【思路点拨】由题意1≤x≤3，可以判断1﹣x≤0；x﹣3≤0，然后再直接开平方进行求解． 【答案】2.
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【解析】解：∵1≤x≤3，
∴1﹣x≤0，x﹣3≤0，
∴
=x﹣1+3﹣x=2.
【总结升华】此题主要考查二次根式的性质和化简，计算时要仔细，是一道基础题．
【：： 381279 经典例题4】
4.已知a,b,c为三角形的三边，则(a?b?c)2?(b?c?a)2?(b?c?a)2=
． 【答案】a?b?c. 【解析】
a,b,c为三角形的三边,?a?b?c?0,b?c?a?0,b?c?a?0,
即原式=a?b?c?a?c?b?b?c?a=a?b?c.
【总结升华】重点考查二次根式的性质：的性质.
的同时，复习了三角形三边
类型三、最简二次根式
22a?bb?2ab?a5.已知0
类型四、同类二次根式
6. 如果两个最简二次根式
和
是同类二次根式，那么a、b的
值是( ) A.a=2，b=1 B.a=1，b=2 C. a=1，b=-1 D. a=1，b=1
【答案】 D. 【解析】根据题意，得
,
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解之，得，故选D.
【总结升华】同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到
关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.
举一反三
【变式】若最简根式
与根式
是同类二次根式，求a、b的值．
【答案】同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；?
事实上，根式
=
不是最简二次根式，因此把=|b|×
，∴a=1，b=1.
化简
由题意得，∴
二次根式的概念和性质（提高）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1. （2016?贵港）式子
在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1 2.使式子
有意义的未知数x有( )个
A．0 B．1 C．2 D．无数 3. 把m?1根号外的因式移到根号内，得（ ）． mm C．??m D．?m
2A．m B．?4.（2015?蓬溪县校级模拟）下列四个等式：①(?4)?4；②（﹣④(?4)??4．正确的是（ ） A.①② 5. 若
B.③④ C.②④ D.①③
，则
等于（ ）
2）=16；③（
2）=4；
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A．
B．
C．
D．
6.将?a?a中的a移到根号内，结果是（ ） A．??a3 B. ?a3 C.?a3 D.a3 二. 填空题 7. 若最简二次根式8. （2015?江干区一模）在
与，
，
是同类二次根式，则，﹣
，
.
中，是最简二次根式的是_________.
9.已知，求的值为____________.
10.若，则化简的结果是__________.
11. 观察下列各式：，，,……请你探究其中规
律,并将第 n(n≥1)个等式写出来________________.
12. （2016?乐山）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简
三. 综合题
13. 已知y? 14. 若
时，试化简
.
+|a﹣2|的结果为 ．
1?2x?1?1?2x，求x2?xy?y2的值. 2资料来源于网络 仅供免费交流使用
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15. （2015春?武昌区期中）已知a、b、c满足
平方根．
+|a﹣c+1|=
+
，求a+b+c的
【答案与解析】
一、选择题 1．【答案】C.
【解析】依题意得：x﹣1＞0，解得x＞1． 2．【答案】B. 3．【答案】C. 4．【答案】D. 【解析】解：①
②③④
=
=4，正确；
2
=（﹣1）=1×4=4≠16，不正确；
=4符合二次根式的意义，正确； =
=4≠﹣4，不正确．
①③正确．故选：D．
5．【答案】D. 【解析】 因为6．【答案】 A.
【解析】因为a≤0，所以?a?a=??a二、填空题 7.【答案】1；1. 【解析】
=(a?4)，即22A?(a2?4)2?a2?4.
?a??(?a)2(?a)???a3. a?1?2,?a?1;又2a?5?3b?4a，所以b?1. 5. 28.【答案】9.【答案】5. x2?3x?1?0?x?0,
112 ?x??3,即(x?)?9,
xx【解析】
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2 ?x?1?7，即原式=7?2?5. x2原式=2?x?x?1=2?x?x?1?3.
10.【答案】3.
【解析】因为11．【答案】 n?12．【答案】 3.
【解析】由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，则三、解答题 13.【解析】因为y?+|a﹣2|=5﹣a+a﹣2=3．
11?(n?1) . n?2n?2111+2x?1?1?2x，所以2x-1≥0,1-2x≥0，即x=，y= 222322 则x?xy?y?.
4，
14.【解析】 因为
所以原式=
=x?2?x?3?x?5?2?x?x?3?5?x?10?x. 15.【解析】解：由题意得，b﹣c≥0且c﹣b≥0，
所以，b≥c且c≥b， 所以，b=c，
所以，等式可变为
+|a﹣b+1|=0，
由非负数的性质得，，
解得，
所以，c=2， a+b+c=1+2+2=5， 所以，a+b+c的平方根是±
．
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二次根式的运算（提高）知识讲解
【学习目标】
1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】
要点一、二次根式的加减
二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释：
（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍
然适用. （2）二次根式加减运算的步骤：
1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；
2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：
（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方
数相乘. 要点诠释：
(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
≥0，
(3).若二次根式相乘的结果能写成2.积的算术平方根:
（a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
的形式，则应化简，如
≥0，…..
.
≥0）.
要点诠释：
(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b ≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有外面.
形式的a移到根号
要点三、二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则：
（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。
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要点诠释：
(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0，b>0，因为b在分母上，故b不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 2.商的算术平方根的性质:
（a≥0，b>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方
根.
要点诠释：
运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 要点四、二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点诠释：
(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；
(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 【典型例题】
类型一、二次根式的加减法
【：： 388064
经典例题2.（1）-（2）】
1.计算：（1）12?31112?5?48 333112?5?48333 4823?23?3?3 =
33 【答案与解析】12?31 =43?43 =0
【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并. 举一反三 【变式】计算
.
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【答案】
类型二、二次根式的乘除
【：： 381280 经典例题9】
2.（1）. 33【答案与解析】 （1）原式=311411?(?1)?5 （2）.(?a3)?(?a)4?(?2a)2 28722711111117112?(?)??3?(?)?2?? 28722827113 =?
4(2)原式=?a?a?2a??a?2a??a?2a??3242221 2【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简. 举一反三： 【：： 381280 经典例题9】
a2?b2x24a?b【变式】2 ??23a?3b5b6x5a2?b2x2a?b【答案】原式=2?1? ??246x3a?3bb5(a?b)(a?b)x2b5b5=????2b 226x3(a?b)a?b218123.计算
(1). ·(-)÷(m＞0，n＞0)；
(2). -3÷()× (a＞0).
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【答案与解析】 (1)原式=-÷
=-==-；
(2)原式=-2=-2=-a.
【总结升华】熟练乘除运算，更要加强运算准确的训练. 举一反三 【变式】已知
，且x为偶数，求(1+x)
的值．
【答案】由题意得，即
∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8 ∴原式=(1+x)
=(1+x)
=(1+x)
=
∴当x=8时，原式的值==6．
类型三、二次根式的混合运算
4. （2016春?抚顺县期末）计算：
+
×
﹣
．
【思路点拨】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可． 【答案与解析】
=
+
+
×﹣2
﹣
=4+﹣2=4﹣．
【总结升华】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 举一反三
【：： 388064二次根式的混合运算】 【变式】(3?5?7)(3?5?7)
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【答案】原式=?3?(5?7)??3?(5?7)?
???? =3?(5?7)2 =235?9
5.计算：（2014秋?麦积区校级期末）已知a+b=﹣7，ab=4，则 A.
B.﹣
C.
+=（ ）
D.﹣
【答案】A.
【解析】解：∵a+b=＜0，ab＞0，
∴a＜0，b＜0
原式=（﹣=﹣
）+（﹣，
）
∵a+b=﹣7，ab=4， ∴原式=﹣=， 故选：A．
【总结升华】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化是解题的关键．
6.化简：
111??...? 1?22?38?9【答案与解析】 原式=1?(2?1)1?(3?2)1?（9-8）??...? (1?2)(2?1)(2?3)(3?2)（8+9)(9-8） =2?1?3?2?...?9?8 =9?1 =2
【总结升华】运用分母有理化运算，找出规律，是这一类型题的特点. 举一反三
【变式】（2015?蓬溪县校级模拟）化简求值：已知：a是4
+
的值．
的小数部分，求代数式
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【答案】解：∵4=
，
∴6＜4＜7， ∴a=4﹣6， ∴a﹣1＜0，
∴
+
=+
=a﹣1+
=a﹣1﹣ =4﹣6﹣1﹣
=4﹣7﹣ =4﹣7﹣﹣
=
﹣7．
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二次根式的运算（提高）巩固练习
【巩固练习】
一、 选择题
1.若x?0,化简x?(x?1)的结果是（ ）. A．-1 B.1 C .2x-1 D.1-2x
2.（2016?历下区一模）下列运算错误的是（ ） A．3.计算=3
B．3
×2
=6
C．（
+1）=6
2
2 D．（+2）（﹣2）=3
b1?ab?(a?0,b?0)等于（ ）. aabA．111 B. C. ababab2ab2b，y=
ab D . bab
，则x+xy+y的值为（ ）
D.7 的值是（ ）.
2
2
4.（2015?淄博）已知x=
A.2
B.4
C.5
5.若a?b?23?(a?b?22)2?0,那么
A．1 B.-1 C.5?26 D.26?5 6.(ab?ba)(ba?ab)的运算结果是（ ）. A． 0 B. ab(b?a) C. ab(a?b) D. 2abab 二、 填空题
7.（2016?天津）计算（
+）（﹣）的结果等于 ．
8.若x?2004与x?2004互为相反数，则x=_____________. 9.已知x?3?5，则x2?6x?5=___________. 10.计算(?x11.设a?bax)（-bx)(?2ab)(x?0)=___________________________.
axa7?6,b?7?6,则a2010?b2011的值是_________.
，b=2+
，c=
，则a、b、c从小到大的顺序是 ．
12.（2014?吴江市模拟）设a=三、综合题 13. (1).若y?
2x?3?3?2x?4?x，求
x的值. y资料来源于网络 仅供免费交流使用
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(2).化简并求值：
14. （2015春?东平县校级期末）（1）计算：2（2）先化简，再求值：（a﹣
22a?4b15．已知5?2的整数部分为a，小数部分为b,求2的值. 2a?4ab?4ba?abab?b?ab?ba?ab 其中a?2?3,b?2?3.
﹣++ +．
）（a+）﹣a（a﹣6），其中a=
【答案与解析】
一、选择题 1．【答案】 A. 【解析】
x?0,?原式=x?x?1??x?(1?x)??1所以选A.
2．【答案】 C.
【解析】A、原式=3，所以A选项的计算正确；
B、原式=6=6，所以B选项的计算正确；
C、原式=5+2+1=6+2，所以C选项的计算不正确； D、原式=7﹣4=3，所以D选项的计算正确．
3．【答案】 A. 【解析】 原式=4．【答案】B.
【解析】解：原式=（x+y）﹣xy
=（=（
2
22
b111b1b?a1=????2ab.
aabababaaba?aab+）﹣
）﹣
×
=5﹣1
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=4． 故选B． 5．【答案】D. 【解析】
a?b?23?0,a?b?22?0,
?a?b?23,a?b?22 . 则a?3?2，b?2?3, b2?3?则?a3?26.【答案】B.
【解析】注意运算技巧.
??2?3(3?2)3?3?2)=26?5.
?2?(原式=(ab?ba)(ba?ab)=ab(a?b)ab(b?a)=ab(b?a). 二、填空题 7．【答案】2.
【解析】原式=（8．【答案】0.
）﹣（
2
）=5﹣3=2.
2
【解析】因为x?2004与x?2004互为相反数，所以x?2004? 则2x?0,x?0. 9.【答案】1. 【解析】
x?2004?0,
x?3?5,?x2?6x?5?(x?3)2?4=5?4?1 .
10．【答案】 ?2ab2x.
【解析】因为x>0,所以a?0,b?0，所以(?xbax)（-bx)(?2ab)(x?0)=
axaabxbx?x??2ab??bx???2a2b???2ab2x.
xaaa11.【答案】7?6. 12.【答案】a＜c＜b． 【解析】解：c=
=
=
+
；
∴a＜c＜b．
故答案为a＜c＜b．
三、解答题
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310，y= 2213.【解析】（1）.因为y?所以2x-3≥0,3-2x≥0，即x=2x?3?3?2x?4?x，36x2?2?6?15.
则=5101010y22(2).
a?abab?b?ab?ba?ab=a(a?b)b(a?b)ab. ???b(a?b)a(a?b)ba =
ababab(a?b) . ??baab 因为a?2?3,b?2?3，所以a?b?4,ab?1, 代入原式=4.
14.【解析】解：（1）原式=2﹣2++=3﹣；
22
（2）原式=a﹣3﹣a+6a=6a﹣3=3（2a﹣1），
当a=
+时，原式=3×2
=6
．
15.【解析】因为5?2的整数部分为a，小数部分为b, 所以a?4，b?5?2?4?5?2,
a?2b8?2545?5a2?4b2 原式=2=,代入后原式=. ?2a?2ba?4ab?4b525资料来源于网络 仅供免费交流使用
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《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（提高）
【学习目标】
1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.
2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】
【要点梳理】
知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式
形如a(a?0)的式子叫做二次根式，如3,1,0.02,0等式子，都叫做二次根式. 2要点诠释：二次根式a有意义的条件是a?0，即只有被开方数a?0时，式子a才是二次根式，a才有意义. 2.二次根式的性质 （1）（2）
； ；
（3）.
2要点诠释：（1） 一个非负数a可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a?(a)（a?0），
如2?(2);211?()2;x?(x)2（x?0）. 33（2） a2中a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，a2一定有意义.
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（3）化简a2时，先将它化成a，再根据绝对值的意义来进行化简.
2（4）a2与(a)的异同
2不同点：a2中a可以取任何实数，而(a)中的a必须取非负数；
a2=a，(a)2=a（a?0）.
2相同点：被开方数都是非负数，当a取非负数时，a2=(a).
3. 最简二次根式
1）被开方数是整数或整式；
2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如2,ab,3x,a2?b2等都是最简二次根式.
要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如2与8，由于8=22，2与8显然是同类二次根式. 知识点二、二次根式的运算 1. 乘除法
（1）乘除法法则： 类型 法则 二次根式的乘法
逆用法则
积的算术平方根化简公式：
a?b?ab(a?0,b?0)
ab?a?b(a?0,b?0)
商的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
aa?(a?0,b?0)bb
aa?(a?0,b?0)bb要点诠释：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如
ab?cd?acbd. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(?4)?(?9)??4??9. 2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：
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二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如2?32?52?(1?3?5)2??2. 【典型例题】
类型一、二次根式的概念与性质
1． x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)【答案】（1） （2）【解析】(1) 要使
； (2);
.
在实数范围内有意义，
.
则必有
∴当 (2) 要使
时，在实数范围内有意义；
在实数范围内有意义，则必有
∴当时，在实数范围内有意义；
【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有a?0时a才是二次根式. 举一反三： 【变式】已知
，求
的值.
【答案】根据二次根式的意义有
将代入已知等式得
2.（2016?柘城县校级一模）把?a?1 中根号外的因式移到根号内的结果是( ). a A．?a B．?a C．??a D．a 【答案】A.
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【解析】由二次根式的意义知?1?0 ，则a?0 a ?a?112?????a???a. aa【总结升华】在利用二次根式性质化简时，要注意其符号，要明确a是非负数，反过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数。 举一反三：
【变式】（2014春?团风县校级期中）已知x为奇数，且
=
，
求
【答案】解：∵
?．
=，
∴6≤x＜9，
∵x为奇数， ∴x=7， 则
?
=8×
=12
．
3. 实数a,b,c在数轴上对应的点如图：
化简(a?c)2?c?1?b?a?(b?c)2. 【答案与解析】由数轴可知a?0,c?0,b?0,a?c?b,并且b?a
a?c,?a?c?0c?0,?c?1?0a?0,b?0,b?a?b?a?0b?0,c?0?b?c?0
?(a?c)2?c?1?b?a?(b?c)2 =a?c?c?1?b?a?b?c
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=a?c?1?c?b?a?b?c =1?c
【总结升华】本题不仅考查了二次根式和绝对值的化简问题，同时考查了学生的观察能力.通过观察确定a,b,c的大小关系是本题的关键. 【：二次根式 ：388065：填空题5】 举一反三：
【变式】?ABC的三边长为a、b、c，则(a?b?c)2?(a?b?c)2= . 【答案】2c?2a.
类型二、二次根式的运算
4．（2015?昆山市一模）计算 （1）（2）
．
【答案与解析】解：（1）原式=2﹣1+3=4；
（2）原式=2﹣3﹣﹣2=﹣﹣3．
【总结升华】此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算 公式是解决问题的关键． 举一反三：
【变式】计算【答案】
知a、b、c为△ABC的三边长，化简
5.已
【答案与解析】∵a、b、c为△ABC的三边长， ∴原式
【总结升华】利用三角形任意两边之和大于第三边和进行化简.
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x?xyxy?y?xy?yx?xy?___________.
6.若x?0，化简【答案与解析】
原式=??x?yx(x?y)y(x?y)yx?y(x?y)x(x?y)
xyxv?yxx?y?xyxy【总结升华】把分子分母分别分解因式，然后约分，可以简化化简步骤. 举一反三：
11?2a?a2a2?2a?1【变式】当a?时，求?的值. 2a?1a?a2?3【答案】由a?1?2?3,得a?1?0.
2?3(a?1)2(a?1)21?原式=??a?1?a?1a(a?1)a，
1?2?3代入，原式=3.
2?3将a?资料来源于网络 仅供免费交流使用
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《二次根式》全章复习与巩固--巩固练习（提高）
一、选择题
1．x是怎样的实数时，
2x?1在实数范围内有意义？（ ） x?2A. x?1111且x?2 B. x?且x??2 C. x?且x??2 D. x?且x?2 22222．（2016?杨浦区三模）如果 A．a??1?2a?2?2a?1，那么 ( ).
1111 B．a? C．a? D．a? 222244?x? 3．已知，那么满足上述条件的整数x的个数是（ ）.
3?25?3A．4 B. 5 C. 6 D. 7
4．若x＜0，则的结果是( ).
A．0 B．-2 C．0或-2 D．2 5．
若x?5?2y?2?0,则x?y的值是( ).
A．-7 B．-5 C．3 D．7
6．（2015?宁夏）下列计算正确的是（ ） A. B.=2
﹣12
C.（）= D.（﹣1）=2 7．小明的作业本上有以下四题： ①
；②
；③
；④.
做错的题是( ).
A．① B．② C．③ D．④ 8．a?0时，a2,A.a2?C. a2?二. 填空题
9. 计算
=___________.
??a?22和?a2相比较，下面四个选项中正确的是（ ）.
??a???a2 B. a2?2??a?2??a2 ??a???a2 D. ?a2?a2???a?2 10. 若的整数部分是a，小数部分是b，则___________.
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11．比较大小① 12. 已知最简根式 13．若m＜0，则
______
?a?2b?3；②
-2a+b-1___.（用>或<填空）
a?2b与则ab?ba的值为___________. b-2a是同类根式，=___________.
14.已知实数a满足2010?a?a?2011?a，则a?20102=____________.
15．已知数a,b,c在数轴上的位置如图所示：
则a2?a?c?(c?b)2??b=__________. 16．（2015?黔西南州）已知x=三 综合题
17． 计算： (1) (ab? (2)
18. 已知：
19．（2016春?张家港市期末）若a,b都是实数，且b?1?4a?4a?1?，求
的值.
，则x2+x+1= ．
abab?b )?a?ba?ab1，试求2baba??2???2的值. abab
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20.（2014秋?德惠市期末）某号台风的中心位于O地，台风中心以25千米/小时的速度向西北方向移动，在半径为240千米的范围内将受影响、城市A在O地正西方向与O地相距320千米处，试问A市是否会遭受此台风的影响？若受影响，将有多少小时？
【答案与解析】
一、选择题 1．【答案】B. 2．【答案】D. 【解析】?1?2a??1?2a?2a?1 ，所以1?2a?0,即a?21. 23．【答案】C.
【解析】由原式得： 4(3?2)4(5?3)?x?
(3?2)(3?2)(5?3)(5?3) 所以4(3?2)?x?2(5?3)，因为1?4(3?2)?2，7?2(5?3)?8, 所以x?2,3,4,5,6,7. 4．【答案】D.
5．【答案】D.
【解析】若x?5?2y?2?0,则x?5?0,y?2?0，即x?5,y??2. 6．【答案】B.
【解析】解：与
B、原式=
C、原式=
不能合并，所以A选项错误；
=2，所以B选项正确； =
，所以C选项错误； +1=4﹣2
，所以D选项错误．
D、原式=3﹣2故选B．
7．【答案】D.
【解析】3a与2a不是同类根式，不能加减. 8.【答案】A.
【解析】因为a?0，所以a2?a,(?a)2?a,?a2??a，即a2?二、填空题 9.【答案】10.【答案】1. 【解析】
.
??a?2??a2.
3的整数部分是1，?a?1,小数部分b?3?1?3a?b?3?
?3?1?1.
?11．【答案】①5?3?2?3 ②
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【解析】①.
②
又
且
12．【答案】?，
2. 3?a?2b?3 【解析】因为最简根式
a?2b与-2a+b-1， b-2a是同类根式（注意没说是同类二次根式）
??a?2b?3??2a?b?1?a??1所以根指数与被开方数相同，即?即?.
a?2b?b?2ab?3??13．【答案】-m.
14．【答案】2011.
【解析】因为2010?a?a?2011?a，所以a-2011≥0，即a≥2011， 则原式可化简为：a?2010?a?2011?a,所以a?2011?2010, 即a?20102=2011. 15．【答案】0.
【解析】由图像知：a?0,c?0,b?0,a?c?0,c?b?0
所以原式=a?a?c?c?b?b
=?a?a?c?c?b?b
=0.
16．【答案】2．
【解析】解：∵x=
∴x+x+1 =（x+）﹣+1 =（
+）+
2
22
，
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=+
=2．
故答案为：2．
三.解答题
17.【解析】 (1) 原式=aab?ab?abab?baaba?b= ??a?ba?aba?abab?ba?a?b(a?b)(a?b)?=a.
a(a?b)b(a?b) =
(2) 原式
18.【解析】
∴原式.
19.【解析】∵b?1?4a?4a?1?把a?∴把a??1?4a?011，∴? ，∴a? 24?4a?1?0111代入b?1?4a?4a?1?，∴b? 42211baba91322，b?代入??2???2=????2 . 42abab222220.【解析】
解：如图，OA=320，∠AON=45°，
过A点作ON的垂线，垂足为H，以A为圆心，240为半径画弧交直线OH于M、N， 在Rt△OAH中，AH=OAsin45°=160＜240，故A市会受影响，
在Rt△AHM中，MH=
=
=80
∴MN=160，受影响的时间为：160÷25=6.4小时． 答：A市受影响，受影响时间为6.4小时．
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一元二次方程及其解法（一）直接开平方法—知识讲解（提高）
【学习目标】
1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式； 2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题； 3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.
【要点梳理】
要点一、一元二次方程的有关概念
1．一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点诠释：
识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如一元二次方程的一般形式．其中数项． 要点诠释： (1)只有当
时，方程
才是一元二次方程；
，这种形式叫做
是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常
(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4.一元二次方程根的重要结论
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程是一元二次方程
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程是一元二次方程
（3）若一元二次方程元二次方程
必有一根x=1；反之也成立，即若x=1
的一个根，则a+b+c=0.
必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1
的一个根，则a-b+c=0.
有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一
必有一根为0.
要点二、一元二次方程的解法
1．直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程：
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利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
，可直接开平方求解.
，有两个不等实数根；
，有两个相等的实数根；
①形如关于x的一元二次方程 若 若 若
，则
；表示为
，则x=O；表示为，则方程无实数根．
②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
.
要点诠释：
用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
【典型例题】
类型一、关于一元二次方程的判定
1．判定下列方程是否关于x的一元二次方程：
(1)a(x-1)+x(2x+a)=3x+a； (2)m(x+m)+2x=x(x+2m)-1． 【答案与解析】
(1)经整理，得它的一般形式
(a+2)x+(a-3)x-a(a+1)=0，
其中，由于对任何实数a都有a≥0，于是都有a+2＞0，由此可知a+2≠0，所以可以判定： 对任何实数a，它都是一个一元二次方程． (2)经整理，得它的一般形式 (m-1)x+(2-2m)x+(m+1)=0，
其中，当m≠1且m≠-1时，有m-1≠0，它是一个一元二次方程；当m=1时方程不存在， 当m=-1时，方程化为4x=0，它们都不是一元二次方程．
【总结升华】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行 研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数
22
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
的限定条件是m≠±1．
例如，一个关于x的方程，若整理为(m-4)x+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m≠4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)．又如，当我们说：“关于x的一元二次
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方程(a-1)x+(2a+1)x+a-1=0……”时，实际上就给出了条件“a-1≠0”，也就是存在一个条件“a≠1”．由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”．
2
2
类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定
2. 已知关于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围． 【答案与解析】
将原方程整理为一般形式，得(m-8)y-(3m-1)y+m-1=0，
由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件 m2-8≠0，即 m≠±
．
2
2
3
可知它的各项系数分别是 a=m2-8(m≠±
)，b=-(3m-1)，c=m3-1．
的一切实数．
参数m的取值范围是不等于±
【总结升华】在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．
举一反三： 【：388447
一元二次方程的系数与解—练习1(3)】 【变式】关于x的方程
2
【答案】原方程化简为x-ax+1=0,则-a=-1,a=1.
的一次项系数是-1，则a .
类型三、一元二次方程的解（根）
3. （2016?大庆）若x0是方程ax+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1），则M与N的大小关系正确的为（ ）
A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定
【思路点拨】把x0代入方程ax+2x+c=0得ax0+2x0=﹣c，作差法比较可得． 【答案】B；
【解析】解：∵x0是方程ax+2x+c=0（a≠0）的一个根，
22
∴ax0+2x0+c=0，即ax0+2x0=﹣c，
2
则N﹣M=（ax0+1）﹣（1﹣ac） 22
=ax0+2ax0+1﹣1+ac
2
=a（ax0+2x0）+ac =﹣ac+ac =0，
2
2
2
2
2
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∴M=N， 故选：B．
【总结升华】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知
数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键． 举一反三：
【：388447
一元二次方程的系数与解——练习2】 【变式】（1）x=1是的根，则a= .
（2）已知关于x的一元二次方程 (m?1)x?2x?m?1?0有一个根是0，求m的值.
【答案】（1）当x=1时，1-a+7=0,解得a=8. （2）由题意得
22
类型四、用直接开平方法解一元二次方程
4.解方程(x-3)=49．
2
【答案与解析】
把x-3看作一个整体，直接开平方，得 x-3=7或x-3=-7． 由x-3=7，得 x=10． 由x-3=-7，得 x=-4．
所以原方程的根为x=10或x=-4．
【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)=n(n≥0)的方程就可看作形如x=k的方
程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)=n可成为任何一元二次方程变形的目标．
举一反三：
【变式】解方程： (1)（3x+2）2=4（x﹣1）2；
2
(2) （x-2）=25.
【答案】解：(1) 3x+2=±2（x﹣1），
∴3x+2=2x﹣2或3x+2=﹣2x+2， ∴x1=﹣4；x2=0．
(2) (x-2)=±5
∴x-2=5或x-2=-5 ∴x1=7,x2=-3.
2
2
2
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一元二次方程及其解法（一）直接开平方法—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
22
1. （2015?泰安模拟）方程x+ax+1=0和x﹣x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（ ）． A．0 B．1 C．2 D． 3
2．若ax?5ax?3?0是一元二次方程，则不等式3a?6?0的解集应是( ). A．a?21 B．a＜-2 C．a＞-2 D．a＞-2且a≠0 22
3．（2016?重庆校级三模）若关于x的一元二次方程ax+bx+6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a﹣3b+6的值为（ ）
A．9 B．3 C．0 D．﹣3 4．已知方程x?bx?a?0有一个根是?a(a?0)，则下列代数式的值恒为常数的是( )．
A．ab B．
2a C．a+b D．a-b bx2?5x?65．若x?9?0，则的值为（ ）．
x?32A．1 B．-5 C．1或-5 D．0
6．对于形如x的方程(x?m)?n，它的解的正确表达式是（ ）.
A．用直接开平方法解得x??n B．当n?0时，x?m?n C．当n?0时，x??n?m D．当n?0时，x??n?m
二、填空题 7．如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是 . 8．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x+3x+m﹣4=0的常数项为0，则m的值等于 . 9．已知x＝1是一元二次方程x?mx?n?0的一个根，则m?2mn?n的值为________． 10．(1)当k________时，关于x的方程(k?1)x?(k?1)x?1?0是一元二次方程； (2)当k________时，上述方程是一元一次方程．
222
22
222a3?1111．已知a是方程x?x??0的根，则5的值为 ． 432a?a?a?a422212．已知a是关于x的一元二次方程x?2012x?1?0的一个根，则a?2011a?2012的值
a2?1为 ．
三、解答题
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13. （2016?乌鲁木齐校级月考）一元二次方程a（x﹣1）+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为2x﹣3x﹣1=0，试求a，b，c的值．
14．用直接开平方法解下列方程．
222
(1)（x+1）=4； (2) (2015·岳池县模拟)(2x-3)=x．
15．已知△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝6，x为实数，且a?b?6，x?ab?9． (1)求x的值；
(2)若△ABC的周长为10，求△ABC的面积S△ABC．
【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】C；
22
【解析】∵方程x+ax+1=0和x﹣x﹣a=0有一个公共根，
∴（a+1）x+a+1=0， 解得x=﹣1，
当x=﹣1时，a=2，故选C．
2．【答案】D；
【解析】解不等式得a＞-2，又由于a为一元二次方程的二次项系数，所以a≠0．即a＞-2且a≠0． 3.【答案】D
【解析】∵关于x的一元二次方程ax+bx+6=0的一个根为x=﹣2，
2
∴a×（﹣2）+b×（﹣2）+6=0， 化简，得 2a﹣b+3=0， ∴2a﹣b=﹣3， ∴6a﹣3b=﹣9，
∴6a﹣3b+6=﹣9+6=﹣3， 故答案为：D．
4. 【答案】D；
【解析】由方程根的定义知，把x??a代入方程得a?ab?a?0，即a(a?b?1)?0，而a?0， ∴ a?b??1. 5．【答案】B；
【解析】本题主要考查的是利用一元二次方程的解来探索使分式有意义的值．由x?9?0，得x??3，
22222
2
x2?5x?6??5，故选B． 由分式有意义，可得x≠3，所以x??3．当x??3时，
x?3资料来源于网络 仅供免费交流使用
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6．【答案】C；
【解析】因为当n是负数时，在实数范围内开平方运算没有意义，当n是非负数时，
直接开平方得
，解得x??n?m，故选C．
二、填空题 7．【答案】p=-3,q=2；
【解析】∵ x＝2是方程x2+px+q＝0的根，
∴ 22+2p+q＝0，即2p+q＝-4 ①
同理，12+p+q＝0，即p+q＝-1 ② 联立①，②得??2p?q??4,?p??3, 解之得：?
?p?q??1,?q?2.8．【答案】m=-2；
2
【解析】由题意得：m﹣4=0，解得：m=±2，∵m﹣2≠0，∴m≠2，∴m=﹣2 9．【答案】1；
22
【解析】将x＝1代入方程得m+n＝-1，两边平方得m+2mn+n＝1. 10．【答案】(1)≠±1 ； (2)＝-1.
【解析】(1)k2-1≠0，∴ k≠±1． (2)由k2-1＝0，且k-1≠0，可得k＝-1． 11．【答案】20； 【解析】由题意可知a?a?2111?0，从而得a2?a?，a2??a． 444a?1?1??a2a?a?1???a??1?a?1??3a?14?4?4?? 4???于是51a?a4?a3?a2a3(a2?a)?a(a2?a)1(a3?a)a(a2?1)4455a?5a?55a?544???20． ?1a11?1?a?a2?a?a??a?1?4444?4?12.【答案】2011.
【解析】因为a是方程的根，所以a?2012a?1?0，所以a?1?2012a，a?2012a?1，
所
以
222a2?2011a?2012?22a?1a??a?22012a?a?a????2011．
2012aaa0
三、解答题
13.【答案与解析】
22
解：一元二次方程a（x﹣1）+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为ax﹣（2a﹣b）x﹣（b﹣a﹣c）=0，
22
一元二次方程a（x﹣1）+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为2x﹣3x﹣1=0，得
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，
解得．
14.【答案与解析】
解：(1)两边直接开平方得：x+1=±2，得x+1=2,x+1=-2,解得：x1=1,x2=-3． (2) 两边直接开平方得，得2x-3=±x，∴x1=3,x2=1．
15.【答案与解析】
2 解：（1）a?6?b代入x?ab?9中得x?(b?3)?0，
222∵ x?0，(b?3)?0，
2∴ x?0，b?3．
（2）由（1）知a?b?3，
∴ c?10?6?4，S△ABC?
1?4?32?22?25． 2资料来源于网络 仅供免费交流使用
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一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（提高）
【学习目标】
1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；
3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力。
【要点梳理】
知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成方程的方法叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式： (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为
的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式a?2ab?b?(a?b)．
知识点二、配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：
“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．
222的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次
.
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【典型例题】
类型一、用配方法解一元二次方程
1. （2016春?石景山区期末）用配方法解方程：2x﹣12x﹣2=0．
【思路点拨】首先将二次项系数化为1，再将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【答案与解析】解：2x﹣12x﹣2=0，
2
系数化为1得：x﹣6x﹣1=0，
2
移项得：x﹣6x=1，
22
配方得：x﹣6x+9=10，即（x﹣3）=10， 开方得：x﹣3=±， 则x1=3+，x2=3﹣．
【总结升华】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解． 举一反三：
【：388499
用配方法解一般的一元二次方程例2、用配方法解含字母系数的一元二次方程例3】
【变式】 用配方法解方程 （1）
22
2
（2）x?px?q?0
2【答案】（1）2x?3?5x
2x2?5x??3
53x?? 225523522 x?x?()???()
2424521 (x?)?
41651 x???
443 x1?,x2?1.
2 x?2（2）x?px?q?0
2ppx2?px?()2??q?()2
22资料来源于网络 仅供免费交流使用
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p2p2?4q(x?)?
24①当p?4q≥0时，此方程有实数解，
2?p?p2?4q?p?p2?4q； x1?,x2?22②当p?4q＜0时，此方程无实数解.
2类型二、配方法在代数中的应用
2. 用配方法证明?10x?7x?4的值小于0．
【思路点拨】
本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致． 【答案与解析】
?10x?7x?4?(?10x?7x)?4??10222?27??x?x??4
10?? ??10?x???274949?x????4 10400400?2??7?49? ??10??x???4 ??20400??????7?497?111?? ??10?x?． ??4??10x?????20?4020?40??7?7?111??∵ ?10?x?，∴ ?10x??0， ?0????204020????即?10x?7x?4?0．故?10x?7x?4的值恒小于0．
【总结升华】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个
常数的式子来证明． 举一反三：
【变式】试用配方法证明：代数式2x?x?3的值不小于【答案】 2x?x?3?2?x?2222222223． 8??21?x??3 2?资料来源于网络 仅供免费交流使用
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22?21?1??1???2?x?x????????3
2?4??4?????2??1?1??2??x?????3
4?16?????1?1??2?x????3
4?8?1?23??2?x???．
4?8?1?1?2323??∵ 2?x???0，∴ 2?x????．
4?4?88??即代数式2x?x?3的值不小于
2222223． 8
3. （2015春?宜兴市校级月考）若把代数式x+2bx+4化为（x﹣m）+k的形式，其中m，k为常数，则k﹣m的最大值是 ． 【答案】
；
2
2
2
【解析】解：x+2bx+4
222=x+2bx+b﹣b+4
22
=（x+b）﹣b+4；
2
∴m=﹣b，k=﹣b+4，
则k﹣m=﹣（b﹣）+∵﹣（b﹣）≤0， ∴当b=时，k﹣m的最大值是故答案为：
．
．
2
2
．
【总结升华】此题考查利用完全平方公式配方，注意代数式的恒等变形． 举一反三：
【：388499
配方法与代数式的最值提高练习】 【变式】（1）
2的最小值是 ；（2）
2的最大值是 .
【答案】（1）2x?6x?3?2(x?3x)?3?2?x?3x?()?()??3?2(x?)?；
22?22??23232?3215资料来源于网络 仅供免费交流使用
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所以
的最小值是?15 2（2）?x2?4x?5??(x2?4x)?5??(x2?4x?22?22)?5??(x?2)2?9
所以
42的最大值是9.
24. 分解因式：x?x?2ax?1?a． 【答案与解析】
x4?x2?2ax?1?a2?x4?2x2?x2?2ax?1?a2
22 ?（x4?2x2?1）?（x2?2ax?a2）?（x2?1）?（x?a）?(x2?1?x?a)(x2?1?x?a)．
【总结升华】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解
因式．
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一元二次方程的解法（二）配方法—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
2
1. （2016?新疆）一元二次方程x﹣6x﹣5=0配方组可变形为（ ）
2222
A．（x﹣3）=14 B．（x﹣3）=4 C．（x+3）=14 D．（x+3）=4 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
?7?81222A．x?2x?99?0化为(x?1)?100 B．2t?7t?4?0化为?t???
416??2?10?C．x?8x?9?0化为(x?4)?25 D．3x?4x?2?0化为?x???
3?9?222223．（2015?河北模拟）把一元二次方程x﹣6x+4=0化成（x+n）=m的形式时，m+n的值为（ ）
A．8 B．6 C．3 D．2 4．不论x、y为何实数，代数式x?y?2x?4y?7的值 ( )
A．总小于2 B．总不小于7 C．为任何实数 D．不能为负数 5．已知
，则
的值等于（ ）
2222
A.4 B.-2 C.4或-2 D.-4或2 6．若t是一元二次方程
的关系是( )
A.△=M B. △＞M C. △＜M D. 大小关系不能确定
二、填空题 7．（1）x-2
的根，则判别式和完全平方式
4222
x+ =（ ）； （2）x+px+ =（ ）. 32
2
8．（2015?忻州校级模拟）把代数式x﹣4x﹣5化为（x﹣m）+k的形式，其中m，k为常数， 则4m+k= ．
22
9．已知4x-ax+1可变为（2x-b）的形式，则ab=_______．
2
10．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）=b的形式为____ ___，?所以方程的根为_________．
222
11．把一元二次方程3x-2x-3=0化成3(x+m)=n的形式是___ ________；若多项式x-ax+2a-3是一个
完全平方式，则a=_________. 12．已知
.则
的值为 .
三、解答题
13. 用配方法解方程.
22
（1）（2016?安徽）解方程：x﹣2x=4． （2）（2015?大连）解方程：x﹣6x﹣4=0．
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14．分解因式x?4．
15．（2015春?龙泉驿区校级月考）当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A．
【解析】x﹣6x﹣5=0，x﹣6x=5，x﹣6x+9=5+9，（x﹣3）=14，故选：A． 2．【答案】C；
2【解析】选项C：x?8x?9?0配方后应为(x?4)?7．
242222
3．【答案】D；
【解析】 x﹣6x=﹣4，∴ x﹣6x+9=﹣4+9，即得（x﹣3）=5，∴ n=﹣3，m=5，
∴ m+n=5﹣3=2．故选D．
4．【答案】D； 【解析】x?y?2x?4y?7?(x?1)?(y?2)?2?2．
5．【答案】A；
2222222
【解析】原方程化简为：（x+y）-2(x+y)-8=0,解得x+y=-2或4，-2不符题意舍去.故选A. 6．【答案】A .
2222222
【解析】由t是方程的根得at+bt+c=0,M=4at+4abt+b=4a(at+bt)+b= b-4ac=△.故选A.
二、填空题
2222222
p22p47．【答案】（1）；x?； （2）；x?.
4329 【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.
8．【答案】﹣1；
22
【解析】x﹣4x﹣5=x﹣4x+4﹣4﹣5
2
=（x﹣2）﹣9， ∴ m=2，k=﹣9，
∴ 4m+k=4×2﹣9=﹣1． 故答案为﹣1．
9．【答案】4；
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【解析】4x-ax+1=(2x-b)化为4x-ax+1=4x-4bx+b, 所以?2
2
2
2
2
?－a??4b2?b?1 解得??a?4?a??4或?
?b?1?b??1 所以ab?4.
10．【答案】（x-1）=5；1?5 ．
2
【解析】方程两边都加上1的平方得（x-1）2=5，解得x=1?5.
11．【答案】；2或6.
【解析】3x-2x-3=0化成
2
；
即(-)?2a?3，a=2或6.
12.【答案】5； 【解析】原式
a22
三、解答题
13.【答案与解析】
解：（1）配方x﹣2x+1=4+1
2
∴（x﹣1）=5 ∴x=1±
∴x1=1+，x2=1﹣．
2
（2015?大连）解方程：x﹣6x﹣4=0．
2
（2）解：移项得x﹣6x=4，
2
配方得x﹣6x+9=4+9，
2
即（x﹣3）=13， 开方得x﹣3=±， ∴x1=3+，x2=3﹣． 14. 【答案与解析】
2
x4?4?(x2)2?2x2222?22?2x2222
2 ?(x?2)?(2x)?(x?2x?2)(x?2x?2)．
15. 【答案与解析】
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解：x+4x+4y﹣4y+1
22
=x+4x+4+4y﹣4y+1﹣4
22
=（x+2）+（2y﹣1）﹣4，
22
又∵（x+2）+（2y﹣1）的最小值是0， 22
∴x+4x+4y﹣4y+1的最小值为﹣4．
∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．
2
2
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一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（提高）
【学习目标】
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程； 2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；
3. 能应用根的判别式判断一元二次方程求根的情况，通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想． 【要点梳理】
要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程
2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)中，b2?4ac叫做一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根的判别式，通常用“?”来表示，即??b2?4ac
，当
时，
.
①当时，原方程有两个不等的实数根；
②当 ③当
时，原方程有两个相等的实数根时，原方程没有实数根.
；
要点诠释：
利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计算b2?4ac的值；④根据b2?4ac的符号判定方程根的情况. 3.一元二次方程根的判别式的逆用 在方程ax2?bx?c?0?a?0?中，
（1）方程有两个不相等的实数根?b2?4ac﹥0； （2）方程有两个相等的实数根?b2?4ac=0； （3）方程没有实数根?b2?4ac﹤0.
要点诠释：
（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 b2?4ac≥0.
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4.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程
①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出
的值；
的步骤：
④若，则利用公式求出原方程的解；
若，则原方程无实根.
要点诠释：
（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的
选择.
b2b2?4ac（2）一元二次方程ax?bx?c?0 (a?0)，用配方法将其变形为：(x?. )?22a4a2?b?b2?4ac ①当??b?4ac?0时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：x1,2?.
2a2② 当??b2?4ac?0时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：x1,2??③ 当??b2?4ac?0时，右端是负数．因此，方程没有实根.
b. 2a要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个
等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除
以含有未知数的代数式.
【典型例题】
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类型一、公式法解一元二次方程
1．（2016秋?修水县校级月考）4x﹣3x+1=0．（用公式法解） 【思路点拨】先求出△的值，判断方程的根的情况即可得． 【答案与解析】
解：∵a=4，b=﹣3，c=1，
∴△=9﹣4×4×1=﹣7＜0， ∴方程无实数根．
【总结升华】此题考查了公式法解一元二次方程，用到的知识点是一元二次方程的求根公式，关键是求出△的值．
举一反三：
【：388515
用公式法解含有字母系数的一元二次方程---例2练习】 【变式】解关于x的方程x2?mx?2?mx2?3x(m?1)； 【答案】原方程可化为(1?m)x?(m?3)x?2?0, ∵a?1?m,b?m?3,c?2,
∴ b?4ac?(m?3)?8(1?m)?(m?1)≥0，
22222
3?m?(m?1)23?m?(m?1) ∴ x??,
2(1?m)2(1?m) ∴ x1?2,x2?1. 1?m2.用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m； 【答案与解析】
方程整理为m?4m?21?m?4m?5?4m?0， ∴ m?2m?13?0，∴ a＝1，b＝-2，c＝-13， ∴ b?4ac?(?2)?4?1?(?13)?56，
22222?b?b2?4ac?(?2)?562?214???1?14， ∴ m?2a2?12∴ m1?1?14，m2?1?14．
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【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解. 举一反三： 【：388515
用因式分解法解含字母系数的一元二次方程---例5（3）】 【变式】用公式法解下列方程： 【答案】∵a?1,b??3m,c?2m,
∴b?4ac?(?3m)?4?1?2m?m≥0
22222
3m?m23m?m? ∴x? 22 ∴x1?2m,x2?m.
类型二、因式分解法解一元二次方程
3．（2015?东西湖区校级模拟）解方程：x﹣1=2（x+1）． 【答案与解析】
解：∵x﹣1=2（x+1），
∴（x+1）（x﹣1）=2（x+1）， ∴（x+1）（x﹣3）=0，
∴x1=﹣1，x2=3．
【总结升华】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，左边先平方差公式分解，然后提取公因式（x+1），注意不要两边同除（x+1），这样会漏解. 举一反三：
【变式】解方程（2015·茂名校级一模） （1）x-2x-3=0； （2）（x-1）+2x(x-1)=0． 【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0 ∴x-3=0，x+1=0 ∴x1=3,x2=-1.
（2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x）=0
∴x-1=0，3x-1=0 ∴x1=1,x2=
2
2
2
2
13.
4．如果(x?y)(x?y?2)?3，请你求出x?y的值． 【答案与解析】
设x?y?z，∴ z(z-2)＝3．
22222222资料来源于网络 仅供免费交流使用
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整理得：z?2z?3?0，∴ (z-3)(z+1)＝0． ∴ z1＝3，z2＝-1． ∵ z?x?y?0， ∴ z＝-1(不合题意，舍去)
∴ z＝3．
即x?y的值为3．
【总结升华】如果把x?y视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式
分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y的值，然后计算x?y，但实际上如果把
222222222x2?y2看成一个整体，那么原方程便可化简求解。这里巧设z?x2?y2再求z值，从而求出x2?y2的值实际就是换元思想的运用．
2222 易错提示:忽视x?y?0，而得x?y?3或x?y??1．
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一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—巩固练习（提高）
【巩固练习】 一、选择题
1. 方程(x?3)(x?2)?1的解为（ ）．
A．x?3 B．x??2 C．x1?3，x2??2 D．以上结论都不对 2．整式x+1与整式x-4的积为x-3x-4，则一元二次方程x-3x-4＝0的根是( )． A．x1＝-1，x2＝-4 B．x1＝-1，x2＝4 C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝-4 3．如果x+x-1＝0，那么代数式x?2x?7的值为( )
2
2
2
32 A．6 B．8 C．-6 D．-8
22
4．若关于x的一元二次方程(m-1)x+5x+m-3m+2＝0的常数项为0，则m的值等于( ) A．1 B．2 C．1或2 D．0 5．若代数式
(x?2)(x?1)的值为零，则x的取值是( )．
|x|?1 A．x＝2或x＝1 B．x＝2且x＝1 C．x＝2 D．x＝-1
6.（2017?德州校级自主招生）三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x﹣16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A．24
二、填空题
7．已知实数x满足4x-4x+1＝0，则代数式2x?2
2
2
B．48 C．24或8 D．8
1的值为________． 2x8．已知y＝x+x-6，当x＝________时，y的值是24．
9．若方程x?mx?n可以分解成（x-3）与(x+4)的积的形式，则m＝________，n＝________． 10．若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b＝4ab，例如2※6＝4×2×6＝48． (1)则3※5的值为 ；
(2)则x※x+2※x-2※4＝0中x的值为 ；
(3)若无论x是什么数，总有a※x＝x，则a的值为 ．
11.（2017?曲靖一模）等腰三角形的边长是方程x﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是 ． 12．若方程(2012x)-2011×2013x-1＝0的较大根为a，方程x-2012x-2013＝0的较小根为b， 则(a?b)20132
2
2
2＝________．
三、解答题
13. 用公式法解下列方程：
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2 (1)x?2ax?1?0； （2）ab(x?1)?ax?bx(a?b) ． 22222 14．（2015?浠水县校级模拟）解下列方程： （1）4x﹣4x+1=0
22
（2）（3x+2）=（5﹣2x）．
15．(1)利用求根公式计算，结合①②③你能得出什么猜想?
2
①方程x+2x+1＝0的根为x1＝________，x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________．
2
②方程x-3x-1＝0的根为x1＝________，x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________．
2
③方程3x+4x-7＝0的根为x1＝_______，x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________．
22
(2)利用求根公式计算：一元二次方程ax+bx+c＝0(a≠0，且b-4ac≥0)的两根为x1＝________，
x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________． (3)利用上面的结论解决下面的问题：
2
设x1、x2是方程2x+3x-1＝0的两个根，根据上面的结论，求下列各式的值： ①
2
112?； ②x12?x2． x1x2
【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】D；
【解析】注意方程右边不是0． 2．【答案】B；
22【解析】∵x?3x?4??x?1??x?4?，∴ x?3x?4?0的根是x1??1，x2?4．
3．【答案】C．
【解析】∵ x?x?1?0，∴ x?x?1．
∴ x?2x?7?x?x?x?7?x(x?x)?x?7?x?x?7?1?7??6． 4.【答案】B；
2
【解析】由常数项为0可得m-3m+2＝0，∴ (m-1)(m-2)＝0，即m-1＝0或m-2＝0， ∴ m＝1或m＝2，而一元二次方程的二次项系数m-1≠0，∴ m≠1，即m＝2． 5．【答案】C； 【解析】(x?2)(x?1)?0且|x|?1，∴x?2． 6．【答案】C；
【解析】解：x﹣16x+60=0
（x﹣6）（x﹣10）=0， x﹣6=0或x﹣10=0， 所以x1=6，x2=10，
2
2232322222资料来源于网络 仅供免费交流使用
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当第三边长为6时，如图，
在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，作AD⊥BC，则BD=CD=4，AD=所以该三角形的面积=×8×2
2
2
==2，
=8
2
；
当第三边长为10时，由于6+8=10，此三角形为直角三角形， 所以该三角形的面积=×8×6=24， 即该三角形的面积为24或8故选C．
二、填空题 7．【答案】2；
【解析】用因式分解法解方程4x?4x?1?0得原方程有两个等根，即x1?x2?所以2x?2．
1， 21?1?1?2． 2x8．【答案】5或-6；
【解析】此题把y的值代入得到关于x的一元二次方程，解之即可．
22如：根据题意，得x?x?6?24，整理得x?x?30?0，解得x1?5，x2??6．
9．【答案】 1 ； -12 ；
【解析】x?mx?n?(x?3)(x?4)?x?x?12，∴ m＝1，n＝-12． 10．【答案】(1)60；(2) x1?2，x2??4；(3) a? 【解析】(1)3※5＝4×3×5＝60；
(2)∵ x※x+2※x?2※4＝4(x?2x?8)?0，∴ x1?2，x2??4； (3)∵ a※x?4ax?x，4ax?x?(4a?1)x?0， ∴ 只有4a?1?0，等式才能对任何x值都成立． ∴ a?2221． 41． 411．【答案】10或6或12． 【解析】解：∵x﹣6x+8=0，
2
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∴（x﹣2）（x﹣4）=0， 解得：x=2或x=4，
∵等腰三角形的底和腰是方程x﹣6x+8=0的两根，
∴当2是等腰三角形的腰时，2+2=4，不能组成三角形，舍去；
当4是等腰三角形的腰时，2+4＞4，则这个三角形的周长为2+4+4=10． 当边长为2的等边三角形，得出这个三角形的周长为2+2+2=6． 当边长为4的等边三角形，得出这个三角形的周长为4+4+4=12． ∴这个三角形的周长为10或6或12． 故答案为：10或6或12．
12.【答案】0 ；
【解析】 (2012x)-2011×2013x-1＝0的两根为x1?1，x2??2
2
1，∴ a?1， 22012x2?2012x?2013?0的两根为x1??2013,x2???1，∴ b??1，
∴ (a?b)三、解答题
13.【答案与解析】
（1）∵a?1,b??2a,c??1,
∴b?4ac?(?2a)?4?1?(?1)?4a?4＞0
2222013?0．
2a?4a2?4?a?a2?1 ∴x?2 ∴x1?a?a?1,x2?a?a?1. （2）ab(x?1)?ax?bx，
即abx?(a?b)x?ab?0， 令A＝ab，B＝?(a?b)，C＝ab．
∵ B?4AC?? ??(a?b)???4ab?ab?(a?b)＞0，22222222222222222?B?B2?4ACa2?b2?(a2?b2)?∴ x?，
2A2ab资料来源于网络 仅供免费交流使用
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a2?b2?a2?b22a2a??， ∴ x1?2ab2abba2?b2?(a2?b2)2b2bx2???，
2ab2aba∴ x1?ab，x2?． ba，c=1，
）﹣4×4×1=16， ，
；
2
14.【答案与解析】
解：（1）∵a=4，b=﹣4
∴b﹣4ac=（﹣4∴x=解得 x1=
=，x2=
2
（2）由原方程，得
（3x+2）﹣（5﹣2x）=0，
（3x+2+5﹣2x）（3x+2﹣5+2x）=0，即（x+7）（5x﹣3）=0， 所以x+7=0或5x﹣3=0， 解得x1=﹣7，x2=．
15.【答案与解析】
(1)两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数．
① -1 ； -1 ； -2 ； 1.
②
2
2
3?133?13 ； ； 3 ；-1. 22③ ?747 ； 1 ； ? ； ? . 333?b?b2?4ac?b?b2?4acbc(2) ； ；? ；.
2a2aaa(3)x1?x2??1x2??．
23?11x1?x2①???2?3．
1x1x2x1x2?2②x1?x2?(x1?x2)?2x1x2?2223，x12913?1?9?2??????1?． 44?2?4
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一元二次方程的应用—知识讲解（提高）
【学习目标】
1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；
2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.
【要点梳理】
要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释：
列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
要点二、一元二次方程应用题的主要类型 1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字
只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用 其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位 数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为： 100c+10b+a.
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
2.平均变化率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题：
平均增长率公式为a(1?x)?b (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题：
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平均降低率公式为a(1?x)?b (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
3.利息问题 (1)概念：
本金：顾客存入银行的钱叫本金. 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 本息和：本金和利息的和叫本息和. 期数：存入银行的时间叫期数.
利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.
(2)公式:
利息=本金×利率×期数 利息税=利息×税率
本金×(1+利率×期数)=本息和
本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
4.利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
n
5.形积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
要点诠释：
列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.
【典型例题】 类型一、数字问题
1.（2015春?兴化市校级期末）两个连续负奇数的积是143，求这两个数． 【答案与解析】
解：设这两个连续奇数为x，x+2， 根据题意x（x+2）=143， 解得x1=11（不合题意舍去），x2=﹣13， 则当x=﹣13时，x+2=﹣11．
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答：这两个数是﹣13，﹣11． 故答案为：﹣13，﹣11．
【总结升华】得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的关键．
类型二、平均变化率问题
2. （2016?衡阳）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（ ）
22
A．10（1+x）=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9
2
【思路点拨】根据题意可得：2013年底该市汽车拥有量×（1+增长率）=2015年底某市汽车拥有量，根据等量关系列出方程即可． 【答案】A． 【解析】
解：设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，
2
根据题意，可列方程：10（1+x）=16.9， 故选：A．
【总结升华】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变
2
化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）=b． 举一反三：
【变式】有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患
流感的人数是( )
A．1331 B．1210 C．1100 D．1000 【答案】
2
设每人每轮传染x人，则(1+x)＝121，x1＝10，x2＝-12舍去， 第三轮传染后患流感人数为121(1+10)＝1331人．
类型三、利润（销售）问题
3. 有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也会有一定数量的螃蟹死去，假设放养期间内螃蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活螃蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg．据测算此后每千克的活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天各种费用支出400元，且平均每天还有10 kg的蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg，如果经销商将这批蟹出售后能获利6250元，那么他应放养多少天后再一次性售出? 【答案与解析】
解：设经销商放养的活蟹时间定为x天较为合适．
根据题意，得20×10x+(30+x)(1000-10x)-(400x+30×1000)＝6250，
2
整理，得x-50x+625＝0，∴ x1＝x2＝25． 答：经销商放养25天后，再一次性售出可获利6250元．
【总结升华】此题牵涉到的量比较多，找等量关系列方程有一定难度．我们可以把复杂问题转化成若干
个简单问题分别解决，最后用一根主线连在一起．这里放养的天数x与死蟹销售资金、x天后活蟹的价格、x天后活蟹的剩余量及x天的开支情况等问题都有关系，通过这个“x”把上述几
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个量联系在一起，列出了方程，使问题得以突破．
举一反三：
【：388525 销售问题---例6】 【变式】（2015?东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．据此规律计算：每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元． 【答案】
解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x， 由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，
2
化简得：x﹣35x+300=0， 解得：x1=15，x2=20，
∵该商场为了尽快减少库存， ∴降的越多，越吸引顾客， ∴选x=20，
答:每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元.
类型四、行程问题
【：388525 行程问题---例8】
4. 一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹 车后又滑行25m后停车．
（1）从刹车到停车用了多少时间？
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？
（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？ 【答案与解析】 解：（1）已知刹车后滑行路程为25m，如果知道滑行的平均速度，则根据路程、速度、时间三者
的关系，可求出滑行时间．为使问题简化，不妨设车速从20m/s到0m/s是随时间均匀变化的．这
段时间内的平均车速等于最大速度与最小速度的平均值，即
20?0?10(m/s)，于是刹车到停车2的时间为“行驶路程?平均车速”， 即25?10?2.5(s)．
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少值为“（初速度?末速度）?车速变化时间”， 即
20?0?8(m/s2)． 2.5（3）设刹车后汽车行驶到15m用了x s，由（2）可知，这时车速为(20?8x)m/s．这段路程内的
20?(20?8x)(m/s)，即(20?4x)m/s． 平均车速为
2由速度×时间=路程，得(20?4x)x解方程，得x??15．
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根据问题可知，20?4x?0，即x＜5，又x＜2.5；所以x?刹车后汽车行驶到15m时约用了 0.9 s．
【总结升华】弄清路程、速度、时间三者的关系，即可解答此题.
5?10?0.9． 2资料来源于网络 仅供免费交流使用
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一元二次方程的应用—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1. （2016?台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A．x（x﹣1）=45
B．x（x+1）=45
C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
2．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是 ( )
2222
A．168(1+a%)＝128 B．168(1-a%)＝128 C．168(1-2a%)＝128 D．168(1-a%)＝128 3．从一块长30cm，宽12cm的长方形薄铁片的四个角上，截去四个相同的小正方形，余下部分的面积
2
为296cm，则截去小正方形的边长为 ( )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
4．甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（ ）千米/时.
A．2,6 B．12,16 C．16,20 D．20,24
5．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％(即每100千克花生可加工成花生油50千克)．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的
．则新品种花生亩产量的增长率为 ( )
A．20％ B．30% C．50% D．120%
6．从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．则每次倒出溶液的升数为（ ） A．5 B．6 C．8 D．10
二、填空题
7．某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为________万元．
8．有一间长20 m，宽15 m的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为________．
9．一块矩形耕地大小尺寸如图1所示，要在这块地上沿东西、南北方向分别挖3条和4条水渠．如果
2
水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为8700m，那么水渠应挖的宽度是 米.
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10．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两
位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数是 ．
2
11．某省十分重视治理水土流失问题，2011年治理水土流失的面积为400 km，为了逐年加大治理力度，
计划今、明两年治理水土流失的面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2013年年底，使这三
2
年治理水土流失的面积达1324 km，则该省今、明两年治理水土流失的面积平均每年增长的百分数是 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t= 秒时，S1=2S2．
三、解答题 13．（2016?百色）在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m． （1）求这地面矩形的长；
（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？
2
14.（2015?广元）李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
2
（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm，李明应该怎么剪这根铁丝？
2
（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
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15．如图所示，AO＝OB＝50cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由A点以2cm/s的速度向B爬行，同
时另一只蚂蚁由O点以3 cm/s的速度沿OC方向爬行，是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁与O点组
2
成的三角形的面积为450cm?
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A
【解析】∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， ∴共比赛场数为x（x﹣1）， ∴共比赛了45场， ∴x（x﹣1）=45，
故选A． 2．【答案】B；
【解析】168元降价a%后的价格为168(1-a%)元，再降价a%后为168(1-a%)(1-a%)元．
2
根据题意可列方程168(1-a%)＝128．
3．【答案】D；
22
【解析】设截去小正方形的边长为x，则30×12-4x＝296，∴ x＝16，x1＝-4(舍去)，x2＝4． 4.【答案】C；
【解析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时.
根据题意，得
解之,得x1=16，x2=－2.
经检验：x1=16，x2=－2都是原方程的根，但x2=－2不合题意，舍去. ∴当x=16时，x+4=20.
5．【答案】A；
【解析】设新品种花生亩产量的增长率为x．
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x1??16(舍去),x2=0.2=20％. 56．【答案】D；
【解析】第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了．
若设每次倒出x升，则第一次倒出纯酒精x升，
第二次倒出纯酒精（
20?x·x）升．
20根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数． 20－x－
20?x·x＝5． 20二、填空题 7．【答案】220. 【解析】
2
方法一，设增长的百分率为x，则2010年盈利额为200(1+x)万元，2011年的盈利额为200(1+x)
2
万元，依题意得200(1+x)＝242．解得x1＝10%，x2＝-2.1(舍去)，∴ 200(1+x)＝200(1+10%)＝220．
x?200?100%， 200242?xx?200242?x2011年增长的百分率为， ?100%，由增长率相同可列方程?x200x方法二，设2010年的盈利额为x万元，则2010年增长的百分率为解得x1＝220，x2＝-220(舍去)
8．【答案】2.5m.
【解析】设留空的宽度为x m，则(15?2x)(20?2x)?15?20?15，解得x1＝15(舍去)，x2?． 229．【答案】1.
【解析】如图2所示设水渠的宽度为xm，即可耕土地的长 为(120-4x)m，宽为(78-3x)m． (120-4x)(78-3x)＝8700，
2
即x-56x+55＝0， 解得x1＝1，x2＝55．
当x＝55时，3×55＝165＞78，(不合题意，舍去)． ∴ x＝1．
答：水渠应挖1m宽． 10．【答案】35或53．
【解析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字是(8-x)，由题意得 [10x+(8-x)]·[10(8-x)+x]＝1855．
2
化简得x-8x+15＝0， 解之得：x1＝3，x2＝5．
经检验，x1＝3，x2＝5都符合题意． 答：原两位数是35或53． 11．【答案】10%．
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【解析】设该省今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为x，
2
依题意得：400+400(1+x)+400(1+x)＝1324．
2
即100x+300x-31＝0．
解得x1＝0.1＝10%，x2＝-3.1(不合题意，舍去)．
答：今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为10%． 12.【答案】6 .
【解析】∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高， ∴AD=BD=CD=8cm， 又∵AP=t，
则S1=AP?BD=×8∵PE∥BC，
∴△APE∽△ADC， ∴
，
×
t=8t，PD=8
﹣
t，
∴PE=AP=t，
∴S2=PD?PE=（8﹣t）?t， ∵S1=2S2，
∴8t=2（8﹣t）?t， 解得：t=6． 三、解答题
13.【答案与解析】
（1）设这地面矩形的长是xm，则依题意得： x（20﹣x）=96，
解得x1=12，x2=8（舍去）， 答：这地面矩形的长是12米；
（2）规格为0.80×0.80所需的费用：96÷（0.80×0.80）×55=8250（元）． 规格为1.00×1.00所需的费用：96÷（1.00×1.00）×80=7680（元）． 因为8250＞7680，
所以采用规格为1.00×1.00所需的费用较少．
14. 【答案与解析】 解：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，由题意，得 （）+（
2
）=58，
2
解得：x1=12，x2=28，
当x=12时，较长的为40﹣12=28cm，
当x=28时，较长的为40﹣28=12＜28（舍去）． 答：李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段； （2）李明的说法正确．理由如下：
设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm，由题意，得 （）+（
2
）=48，
2
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变形为：m﹣40m+416=0，
2
∵△=（﹣40）﹣4×416=﹣64＜0， ∴原方程无实数根，
2
∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm． 15. 【答案与解析】
2
(1)当蚂蚁在AO段时，设离开A点t s后两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积是450cm．
根据题意，得
22
(50?2t)3t?450．
2整理得：t?25t?150?0， 解得t1＝10，t2＝15． (2)当蚂蚁爬完AO这段距离用了
50?25s后，开始由O向B爬行，设从O点开始x s后组成的 22x3(x?25)2
三角形的面积是450 cm，根据题意，得：?450，
22
整理得x+25x-150＝0，解得x1＝5，x2＝-30(舍去)． 当x＝5时，x+25＝30．这时蚂蚁已由A点爬了30s．
2
答：分别在10s，15s，30s时，两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积是450cm．
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一元二次方程根与系数的关系—知识讲解（提高）
【学习目标】
1. 理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系；
2. 能应用一元二次方程的根与系数的关系解决以下问题：已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.
【要点梳理】
要点一、一元二次方程的根与系数的关系
1.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1，x2， 那么x1?x2??2bc，x1x2?. aa注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2.一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
222①x1?x2?(x1?x2)?2x1x2；
②
11x1?x2??； x1x2x1x222③x1x2?x1x2?x1x2(x1?x2)；
2x2x1x12?x2(x1?x2)2?2x1x2④； ???x1x2x1x2x1x222⑤(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2；
2⑥(x1?k)(x2?k)?x1x2?k(x1?x2)?k；
⑦|x1?x2|?(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2；
2(x1?x2)2?2x1x211x12?x2⑧2?2?22?； x1x2x1x2(x1x2)222资料来源于网络 仅供免费交流使用
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⑨x1?x2??(x1?x2)??(x1?x2)?4x1x2； ⑩|x1|?|x2|?
(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数
为根的一元二次方程是
.
2(|x1|?|x2|)2?x12?x2+2|x122x2|?(x1?x2)2?2x1x2?2|x1x2|．
(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的两根为x1、x2，则 ①当△≥0且x1x2?0时，两根同号．
当△≥0且x1x2?0，x1?x2?0时，两根同为正数； 当△≥0且x1x2?0，x1?x2?0时，两根同为负数． ②当△＞0且x1x2?0时，两根异号．
当△＞0且x1x2?0，x1?x2?0时，两根异号且正根的绝对值较大；
当△＞0且x1x2?0，x1?x2?0时，两根异号且负根的绝对值较大．
要点诠释：
（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的?．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；
（2）若有理系数一元二次方程有一根a?b，则必有一根a?b（a，b为有理数）．
【典型例题】
2类型一、一元二次方程的根与系数的关系的应用（1）
1. 阅读材料：若一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=-2bc，x1x2=． aa根据上述材料解决下列问题： 22已知关于x的一元二次方程x=2（1-m）x-m；有两个实数根：x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值． 【思路点拨】
22
（1）首先将原方程化为一般式，由关于x的一元二次方程x=2（1-m）x-m有两个实数根，则可知△≥0，解不等式即可求得m的取值范围；
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（2）由y=x1+x2=-b，代入即可求得：y=2-2m，根据（1）中m的取值范围，即可求得最小值． a【答案与解析】
22 解：（1）∵x=2（1-m）x-m， 22∴x-2（1-m）x+m=0， 22∵关于x的一元二次方程x=2（1-m）x-m有两个实数根， 22∴△=[-2（1-m）]-4m=-8m+4≥0， 解得：m≤0.5． ∴m的取值范围：m≤0.5； （2）∵y=x1+x2=-b=2-2m， a∴当m=0.5时，y有最小值，最小值为1． 【总结升华】此题考查了根与系数的关系，以及判别式的应用．此题比较简单，注意将方程化为一般形
式． 举一反三：
【变式】（2015春?杭州校级月考）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x﹣2（m+2）x+m=0的两个实数根．
（1）当m=0时，求方程的根；
（2）若（x1﹣2）（x2﹣2）=41，求m的值；
（3）已知等腰三角形ABC的一边长为9，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
2
【答案】解：（1）当m=0时，方程即为x﹣4x=0，
解得x1=0，x2=4；
22
（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x﹣2（m+2）x+m=0的两个实数根，
2
∴x1+x2=2（m+2），x1x2=m，
22
∴（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4=m﹣4（m+2）+4=m﹣4m﹣4=41，
2
∴m﹣4m﹣45=0， 解得m1=9，m2=﹣5．
22
当m1=9时，方程为x﹣22x+81=0，△=（﹣22）﹣4×81=160＞0，符合题意；
22
当m1=﹣5时，方程为x+6x+25=0，△=6﹣4×25=﹣64＜0，不符合题意； 故m的值为9； （3）①当9为底边时，此时方程x﹣2（m+2）x+m=0有两个相等的实数根，
22
∴△=4（m+2）﹣4m=0， 解得：m=﹣1，
∴方程变为x﹣2x+1=0， 解得：x1=x2=1， ∵1+1＜9，
∴不能构成三角形；
②当9为腰时，设x1=9，
2
代入方程得：81﹣18（m+2）+m=0， 解得：m=15或3，
当m=15时方程变为x﹣34x+225=0， 解得：x=9或25，
∵9+9＜25，不能组成三角形； 当m=3时方程变为x﹣10x+9=0，
22
2
2
2
2
2
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解得：x=1或9，
此时三角形的周长为9+9+1=19．
2.（2015?肇庆二模）设x1、x2是方程2x+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：
2
?1??1?（1）（x1﹣x2）；（2）?x1???x2??．
x2??x1??2
【思路点拨】欲求（x1﹣x2）与之和的形式，代入数值计算即可．
2
的值，先把此代数式变形为两根之积或两根
【答案与解析】解：根据根与系数的关系可得：x1+x2=﹣2，x1?x2=（1）（x1﹣x2）
22
=x1+x2﹣2x1x2
22
=x1+x2+2x1x2﹣4x1x2
2
=（x1+x2）﹣4x1x2
==10． （2）?x1?
2
．
??1??1?x???2? x2??x1?
=x1x2+1+1+=
=．
【总结升华】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
举一反三：
【：388522 根与系数的关系---例3】
2【变式】不解方程，求方程2x?3x?1?0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．
【答案】（1）
13； （2）3． 4
类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用（2）
3.（2016秋?灌云县期末）已知关于x的方程x+ax﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
2
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（2）若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根．
【思路点拨】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=a+8≥8，由此即可证出不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）将x=2代入原方程求出a值，设方程的另一个根为m，根据根与系数的关系即可得出2m=﹣2，解之即可得出结论．
【答案与解析】解：（1）在方程x+ax﹣2=0中，△=a﹣4×1×（﹣2）=a+8，
∵a+8≥8，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）将x=2代入原方程，4+2a﹣2=0，
解得：a=﹣1．
设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系得：2m=﹣2， 解得：m=﹣1．
∴a的值为﹣1，方程的另一根为﹣1．
【总结升华】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．
4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x?2x?3?0各根的负倒数． 【答案与解析】
设方程5x?2x?3?0的两根分别为x1、x2，由一元二次方程根与系数的关系， 得x1?x2??222
2
2
2
2
2，x1523x2??．
5设所求方程为y?py?q?0，它的两根为y1、y2， 由一元二次方程根与系数的关系得y1??11，y2??， x1x22?11?11x1?x22从而p??(y1?y2)??????????5?，
33x1x2?x1x2?x1x2?5?q?y1?1??1?15y2??????????．
3?x1??x2?x1x2资料来源于网络 仅供免费交流使用
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故所求作的方程为y?225y??0，即3y2?2y?5?0． 33.”可以用这种语言形式记忆
【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个
数
2为根的一元二次方程是
“x?和x?积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．
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一元二次方程根与系数的关系—巩固练习（提高）
【巩固练习】 一、选择题
1. 关于x的方程mx?2x?1?0无实数根，则m的取值范围为( )． A．m≠0 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞-1
2．已知a、b、c是△ABC的三条边，且方程cx?2bx?a?bx?2ax?b有两个相等的实数根，那么这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（2016?曲靖一模）已知一元二次方程x﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
4．设a，b是方程x?x?2013?0的两个实数根，则a?2a?b的值为（ ）． A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
5．若ab≠1，且有5a?2012a?9?0，及9b?2012b?5?0，则 A．
6.（2015?芦溪县模拟）设x1，x2是方程2x﹣6x+3=0的两根，则x1+x2的值是（ ） A．15 B．12 C．6 D．3
二、填空题
2
2
2
2
222的值为（ ）
2222a的值是（ ）． b9520122012 B． C．? D．? 595912那么m的最大整数值是________． x?(m?3)x?m2?0有两个不相等的实数根，
4nm22
8．（2015?凉山州）已知实数m，n满足3m+6m﹣5=0，3n+6n﹣5=0，且m≠n，则?= ．
mn7．已知关于x的方程
9．（2016?濮阳校级自主招生）求一个一元二次方程 ，使它的两根分别是方程x﹣7x﹣1=0各根的倒数．
10．在Rt△ABC中，∠C=90，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程
的两根，那么AB边上的中线长是 .
2
11．已知方程2(k+1)x+4kx+3k-2=0 ，（1）当k为 时，两根互为相反数；（2）当k为 时，有一根为零，另一根不为零. 12．（2015?仁寿县一模）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则m的值是 ． 三、解答题
0
2
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13. 已知关于x的方程2x?mx?2m?1?0的两根的平方和等于
229，求m的值． 4
2
14．已知关于x的方程 kx-2 (k+1) x+k-1=0 有两个不相等的实数根，
(1) 求k的取值范围；
(2) 是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
15．（2016春?杭州校级期中）如果方程x+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1?x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）若p=﹣4，q=3，求方程x+px+q=0的两根．
（2）已知实数a、b满足a﹣15a﹣5=0，b﹣15b﹣5=0，求+的值；
（3）已知关于x的方程x+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．
【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B；
【解析】当m＝0时，原方程的解是x??22
2
2
2
12
；当m≠0时，由题意知△＝2-4·m×1＜0，所以m＞1． 22．【答案】A；
22
【解析】方程化为(c-b)x+2(b-a)x+(a-b)＝0，∴ △＝4(b-a)-4(c-b)(a-b)＝0 即4(a-b)(a-c)＝0，∴ a＝b或a＝c，
∴ △ABC为等腰三角形．
3．【答案】A；
【解析】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣3，
所以
故选A．
4.【答案】C； 【
解
析
】
依
题
意
有
=
=
=﹣1．
a2?a?2013，
a?b??1，∴
a2?2a?b?(a2?a)?(a?b)?2013?1?2012．
5．【答案】A；
【解析】因为5a?2012a?9?0及9b?2012b?5?0，
于是有5a?2012a?9?0及5()?2012?2221b21?9?0， b资料来源于网络 仅供免费交流使用
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112，故a和可看成方程5x?2012x?9?0的两根， bb19a9再运用根与系数的关系得a??，即?．
b5b5又因为ab?1，所以a?6．【答案】C；
【解析】解：∵x1，x2是方程2x﹣6x+3=0的两根，
∴x1+x2=3，x1x2=，
∴x1+x2=（x1+x2）﹣2x1x2=3﹣2×=6． 故选：C．
二、填空题 7．【答案】1；
【解析】由题意知△＝[?(m?3)]?4??m?0，所以m?8．【答案】﹣
；
2
2
2
2
2
2
21423，因此m的最大整数值是1． 2【解析】解：∵m≠n时，则m，n是方程3x+6x﹣5=0的两个不相等的根，∴m+n=﹣2，mn=﹣．
∴原式====﹣，
故答案为：﹣
9．【答案】x+7x﹣1=0；
2
．
【解析】解：设方程x﹣7x﹣1=0的两根为α、β，
则有：α+β=7，α?β=﹣1． ∴∴以
、
2
2
==﹣7，
2
=﹣1，
为根的方程为x+7x﹣1=0．
故答案为：x+7x﹣1=0．
10．【答案】
；
【解析】因直角三角形两直角边a、b是方程的二根，
∴有a+b=7①a·b=c+7②，由勾股定理知c2=a2+b2③，联立①②③组成方程组求得c=5， ∴斜边上的中线为斜边的一半，故答案为
.
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11．【答案】（1）k=0；（2）k=
.
【解析】解：设方程的两根为x1, x2，
则x1+x2=-=-；x1x2= .
（1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零， 即x1+x2=-=0，∴k=0，
2
当k=0时，△=(4k)-4×2(k+1)(3k-2)=16>0 ∴当k=0时，方程两根互为相反数.
（2）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零， 即x1x2=
=0，解得k=
.
又当k= 当k= ∴k=
时，x1+x2=-2
≠0，
>0，
时，△=(4k)-4×2(k+1)(3k-2)=
时，原方程有一根是零，另一根不是零.
12.【答案】-1.
【解析】解：根据题意得x1+x2=m，x1x2=2m﹣1，
22
∵x1+x2=7，
2
∴（x1+x2）﹣2x1x2=7，
2
∴m﹣2（2m﹣1）=7，解得m1=﹣1，m2=5，
2
当m=﹣1时，原方程变形为x+x﹣3=0，△=1﹣4×（﹣3）＞0，方程有两个不等实数根；
2
当m=5时，原方程变形为x﹣5x+9=0，△=25﹣4×9＜0，方程没有实数根； ∴m的值为﹣1． 故答案为﹣1．
三、解答题
13. 【答案与解析】
设方程的两根为x1、x2，则由根与系数关系，
m1?2m，x1x2?． 222922由题意，得 x1?x2?，
4292即(x1?x2)?2x1x2?，
4得x1?x2?资料来源于网络 仅供免费交流使用
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1?2m29?m?∴ ???2， ?24?2?2整理，得m?8m?33?0．解得m1?3，m2??11．
2当m＝3时，△＝m?8(2m?1)?49?0；
当m＝-11时，△＝m?8(2m?1)??63?0，方程无实数根． ∴ m＝-11不合题意，应舍去． ∴ m的值为3．
14. 【答案与解析】
2
(1) ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=[-2(k＋1)]－4k(k-1)>0，且k≠0，
解得k>-2211，且k≠0 .即k的取值范围是k>-，且k≠0 . 33(2) 假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1 , x2的倒数和为0.
2(k?1)
11k?1k则x1 ，x2不为0，且??0，即?0，解得k=-1 . ?0，且
k?1x1x2kk
而k=-1 与方程有两个不相等实根的条件k>-
1，且k≠0矛盾， 3故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在 .
15.【答案与解析】
解：（1）当p=﹣4，q=3，则方程为x﹣4x+3=0，
解得：x1=3，x2=1．
（2）∵a、b满足a﹣15a﹣5=0，b﹣15b﹣5=0，
∴a、b是x﹣15x﹣5=0的解， 当a≠b时，a+b=15，a﹣b=﹣5， +=
=
=
=﹣47；
2
2
22
当a=b时，原式=2．
（3）设方程x+mx+n=0，（n≠0），的两个根分别是x1，x2，
则
+
=
=﹣，
?
=
=，
2
则方程x+x+=0的两个根分别是已知方程两根的倒数．
2
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《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）
【学习目标】
1.了解一元二次方程及有关概念；
2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程； 3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：
判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法
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1．基本思想
?一元一次方程 一元二次方程???2．基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释：
解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．
要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式
2一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)中，b?4ac叫做一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的
22降次根的判别式，通常用“?”来表示，即??b?4ac. （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 【：388528 根系关系】
2.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1，x2， 那么x1?x2??22bc，x1x2?. aa注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
要点诠释： 1.一元二次方程
的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
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3.解决应用题的一般步骤：
审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；
解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型
数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.
要点诠释：
列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.
【典型例题】
类型一、一元二次方程的有关概念
1．已知（m－1）x+3x－2＝0是关于x的一元二次方程，求m的值. 【答案与解析】
依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1， 解得m＝±1，
又∵m－1≠0，∴m≠1， 故m＝－1.
【总结升华】依题意可知m－1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m的值即可.
特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.
举一反三：
【变式】若方程(m?2)xm?3mx?1?0是关于x的一元二次方程，求m的值．
2??m?2,【答案】 根据题意得? 解得
??m?2?0,2|m|+1
所以当方程(m?2)xm2?3mx?1?0是关于x的一元二次方程时，m??2．
类型二、一元二次方程的解法
2．解下列一元二次方程．
(1)4(x?3)?25(x?2)?0； (2)5(x?3)?x?9； (3)(2x?1)?4(2x?1)?4?0． 【答案与解析】
(1)原方程可化为：[2(x?3)]?[5(x?2)]?0， 即(2x-6)-(5x-10)＝0，
2
2
2222222资料来源于网络 仅供免费交流使用
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∴ (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0， 即(7x-16)(-3x+4)＝0，
∴ 7x-16＝0或-3x+4＝0，∴ x1? (2)5(x?3)?(x?3)(x?3)， 5(x?3)?(x?3)(x?3)?0，
∴ (x-3)[5(x-3)-(x+3)]＝0，
即(x-3)(4x-18)＝0，∴ x-3＝0或4x-18＝0，
∴ x1?3，x2?222164，x2?． 739． 2(3)(2x?1)?4(2x?1)?4?0，
∴ (2x?1?2)?0．即(2x?3)?0，
∴ x1?x2??223． 222【总结升华】 (1)方程左边可变形为[2(x?3)]?[5(x?2)]，因此可用平方差公式分解因式； (2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)有公共的因式， 可移项后提取公因式(x-3)后解题；
2
(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)＝0再求解．
举一反三：
22
【变式】解方程： (1)3x+15＝-2x-10x； (2)x-3x＝(2-x)(x-3)． 【答案】
2
(1)移项，得3x+15+(2x+10x)＝0，∴ 3(x+5)+2x(x+5)＝0， 即(x+5)(3+2x)＝0，∴ x+5＝0或3+2x＝0，
∴ x1??5，x2??2
3． 2 (2)原方程可化为x(x-3)＝(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0， ∴ (x-3)(2x-2)＝0，∴ x-3＝0或2x-2＝0，
∴ x1?3，x2?1．
类型三、一元二次方程根的判别式的应用
3．关于x的方程(a?5)x?4x?1?0有实数根．则a满足（ ） A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
【答案】A；
【解析】①当a?5?0，即a?5时，有?4x?1?0，x??21，有实数根； 4资料来源于网络 仅供免费交流使用
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②当a?5?0时，由△≥0得(?4)?4?(a?5)?(?1)?0，解得a?1且a?5． 综上所述，使关于x的方程(a?5)x?4x?1?0有实数根的a的取值范围是a?1．
答案：A
【总结升华】注意“关于x的方程”与“关于x的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，
也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0．
【：388528 一元二次方程的根的判别式】
4． k为何值时，关于x的二次方程kx?6x?9?0 （1）k满足 时,方程有两个不等的实数根； （2）k满足 时,方程有两个相等的实数根； （3）k满足 时,方程无实数根.
【答案】（1）k＜，且（2）k?1；（3）k＞1k?0；1. 【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围. 【总结升华】根据判别式??b2?4ac及k≠0求解.
222类型四、一元二次方程的根与系数的关系
5．（2016?凉山州）已知x1、x2是一元二次方程3x=6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（ ） A．
B．
C．
D．
2
2
【思路点拨】由x1、x2是一元二次方程3x=6﹣2x的两根，结合根与系数的关系可得出x1+x2=﹣，x1?x2=
﹣2，将其代入x1﹣x1x2+x2中即可算出结果．
【答案】D． 【解析】
2
解：∵x1、x2是一元二次方程3x=6﹣2x的两根， ∴x1+x2=﹣=﹣，x1?x2==﹣2， ∴x1﹣x1x2+x2=﹣﹣（﹣2）=． 故选D．
【总结升华】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x1+x2=﹣，x1?x2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键． 举一反三：
【变式】已知关于x的方程(k?1)x?(2k?3)x?k?1?0有两个不相等的实数根x1、x2． (1)求k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k的值；如果不存在， 请说明理由．
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【答案】(1)根据题意，得△＝(2k-3)-4(k-1)(k+1)＝4k?12k?9?4k??12k?13?0，
2
2213．由k-1≠0，得k≠1. 1213当k?且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；
12所以k? (2) 不存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则
x1?x2??当k?2k?33?0，解得k?． k?123时，判别式△＝-5＜0，方程没有实数根． 2所以不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数．
类型五、一元二次方程的应用
6．（2015?青岛模拟）随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少？ 【答案与解析】
解：设乙店销售额月平均增长率为x，由题意得：
22
10（1+2x）﹣15（1+x）=10， 解得 x1=60%，x2=﹣1（舍去）． 2x=120%．
答：甲、乙两店这两个月的月平均增长率分别是120%、60%．
【总结升华】此题考查了一元二次方程的应用，为运用方程解决实际问题的应用题型． 举一反三：
【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250m，因为准
备工作不足，第一天少拆迁了20％。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m.
求：(1)该工程队第一天拆迁的面积；
(2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数.
【答案】（1）1000m；（2）20%.
2
2
2
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《一元二次方程》全章复习与巩固—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
2
1. 关于x的一元二次方程（a－1）x＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a的值为（ ） A.－1 B.0 C.1 D.－1或1 2．已知a是方程x+x﹣1=0的一个根，则
2
21的值为（ ） ?a2?1a2?a D.1
A.?1?5 2B.?1?5 C.﹣1 22
3．（2015?德州）若一元二次方程x+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（ ） A．a＜1 B． a≤4 C． a≤1 D． a≥1 4．已知关于x的方程(m?2)x?2mx?m?3?0有实根，则m的取值范围是（ ）
A．m?2 B．m?6且m?2 C．m?6 D．m?6
25．如果是?、?是方程2x?3x?4的两个根，则???的值为（ ）
222 A．1 B．17 C．6.25 D．0.25 6．（2016?台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A．x（x﹣1）=45
7. 方程x+ax+1=0和x-x-a=0有一个公共根，则a的值是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 8. 若关于x的一元二次方程则k的值为（ ） A.－1或
二、填空题
9．关于x的方程a(x?m)?b?0的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程
22
2
B．x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
的两个实数根分别是
D.不存在
，且满足．
B.－1 C.
a(x?m?2)2?b?0的解是 . 10．已知关于x的方程x+2(a+1)x+(3a+4ab+4b+2)＝0有实根，则a、b的值分别为 ． 11．已知α、β是一元二次方程x?4x?3?0的两实数根，则(α-3)(β-3)＝________． 12．当m=_________时，关于x的方程
是一元二次方程；当m=_________时，此方
22
2
2
程是一元一次方程.
222
13．把一元二次方程3x-2x-3=0化成3(x+m)=n的形式是____________；若多项式x-ax+2a-3是一个完
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全平方式，则a=_________. 14．（2015?绥化）若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0无解，则a的取值范围是 . 15．已知
，那么代数式
的值为________.
16．当x=_________时，既是最简二次根式，被开方数又相同.
三、解答题
2
17. （2016?南充）已知关于x的一元二次方程x﹣6x+（2m+1）=0有实数根． （1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围． 18．设(a，b)是一次函数y＝(k-2)x+m与反比例函数y?2n的图象的交点，且a、b是关于x的一元二次x方程kx?2(k?3)x?(k?3)?0的两个不相等的实数根，其中k为非负整数，m、n为常数． （1）求k的值；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式．
19. 长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择： ①打9.8折销售；
②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠?
20．已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13 800元，乙队单独完成这项工程
所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元.
(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？
(2)若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由.
【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】A；
【解析】先把x＝0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a＝1舍去．
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2．【答案】D； 【解析】先化简
21222
，由a是方程x+x﹣1=0的一个根，得a+a﹣1=0，则a+a=1， ?a2?1a2?a2a?(a?1)1=，
a(a?1)(a?1)a(a?1)2
再整体代入即可． 解：原式=
∵a是方程x+x﹣1=0的一个根，
2
∴a+a﹣1=0，
2
即a+a=1， ∴原式=
1=1．
a(a?1)故选D．
3．【答案】C；
【解析】∵ 关于x的一元二次方程有实根，
∴ △=b﹣4ac=4﹣4a≥0， 解之得a≤1． 故选C．
4.【答案】D；
【解析】△≥0得m?6，方程有实根可能是一元二次方程有实根，也可能是一元一次方程有实根. 5．【答案】C； 【解析】?+?=（?+?）-2??=6.25.
6.【答案】A．
【解析】∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， ∴共比赛场数为x（x﹣1）， ∴共比赛了45场， ∴x（x﹣1）=45，
故选A． 7．【答案】C；
【解析】提示：先求公共根m=-1,再把这个公共根m=-1代入原来任意一个方程可求出a=2. 8．【答案】C； 【解析】由题意，得：
2222
?24k≤??≥043?5 当k??1时，不符合k2≤，k??1舍去，故k=. ??54?x1?x2?x1x2?k??1或3??4二、填空题
9．【答案】x1=﹣4，x2=﹣1．
2
【解析】解：∵关于x的方程a（x+m）+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），
2
∴则方程a（x+m+2）+b=0的解是x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1．
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故答案为：x1=﹣4，x2=﹣1．
10.【答案】a＝1，b??1． 22
2
2
【解析】 判别式△＝[2(a+1)]-4(3a+4ab+4b+2)
222
＝4(a+2a+1)-(12a+16ab+16b+8)
22
＝-8a-16ab-16b+8a-4
22
＝-4(2a+4ab+4b-2a+1)
222
＝-4[(a+4ab+4b)+(a-2a+1)]．
22
＝-4[(a+2b)+(a-1)]．
22
因为原方程有实根，所以-4[(a+2b)+(a-1)]≥0，
22
(a+2b)+(a-1)≤0，
22
又∵ (a+2b)≥0，(a-1)≥0，
∴ a-1＝0且a+2b＝0， ∴ a＝1，b??11．【答案】-6；
【解析】∵ α、β是一元二次方程x?4x?3?0的两实数根，
∴ α+β＝4，αβ＝-3．
∴ (??3)(??3)????3(???)?9??3?3?4?9??6． 12．【答案】-3；
．
21． 213．【答案】；2或6.
【解析】即(-)?2a?3.a=2或6. 14.【答案】a＜﹣1； 15.【答案】-2； 【解析】原方程化为：
16.【答案】-5；
【解析】由x2+3x=x+15解出x=-5或x=3,
当x=3时，
不是最简二次根式，x=3舍去.故x=-5.
.
a22
三、解答题
17.【答案与解析】
2
解：（1）根据题意得△=（﹣6）﹣4（2m+1）≥0， 解得m≤4；
（2）根据题意得x1+x2=6，x1x2=2m+1， 而2x1x2+x1+x2≥20，
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所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3， 而m≤4，
所以m的范围为3≤m≤4． 18. 【答案与解析】
(1)因为关于x的方程kx?2(k?3)x?(k?3)?0有两个不相等的实数根，
2?k?0,所以? 解得k＜3且k≠0， 22△?b?4ac?4(k?3)?4k(k?3)?0,?又因为一次函数y＝(k-2)x+m存在，且k为非负整数，所以k＝1．
(2)因为k＝1，所以原方程可变形为x?4x?2?0，于是由根与系数的关系知a+b＝4，ab＝-2， 又当k＝1时，一次函数y??x?m过点(a，b)，所以a+b＝m，于是m＝4，同理可得n＝-2， 故所求的一次函数与反比例函数的解析式分别为y??x?4与y??19. 【答案与解析】
(1)设平均每次下调的百分率是x．
2
依题意得5000(1-x)＝4050． 解得x1＝10%，x2＝
22． x19(不合题意，舍去)． 10 答：平均每次下调的百分率为10%．
(2)方案①优惠：4050×100×(1-0.98)＝8100(元)；
方案②优惠：1.5×100×12×2＝3600(元) ∵ 8100＞3600．∴ 选方案①更优惠. 20. 【答案与解析】
(1) 设甲队单独完成需x天，则乙队单独完成需要(2x－10)天. 根据题意,有
111??， x2x?1012解得x1=3，x2=20. 经检验均是原方程的根，x1=3不符题意舍去.故x=20. ∴乙队单独完成需要 2x－10=30(天).
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需要20天、30天. (2) 设甲队每天的费用为y元，则由题意有 12y+12(y－150)=138 000，解得y=650 .
∴ 选甲队时需工程费用650×20=13 000，选乙队时需工程费用500×30=15 000. ∵ 13 000 <15 000，
∴ 从节约资金的角度考虑，应该选择甲工程队.
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平均数、众数和中位数
【学习目标】
1. 理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述； 2. 能解释统计的结果，根据结果作出简单的判断和预测；
3. 知道可以通过样本的平均数来估计总体的平均数，并用它们去解决实际问题． 【要点梳理】 要点一、平均数 1.算术平均数
…,xn，我们把一般地，有n个数x1,x2,1(x1?x2?…+xn)叫做这n个数的算术平均数，简称平n均数.记作x（读做“x拔”）. 要点诠释：
（1）平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.
（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会引起平均数的变动，所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 2.加权平均数
在一组数据中，数据重复出现的次数f叫做这个数据的权.按照这种方法求出的平均数，叫做加权平均数.
加权平均数的计算公式为：若数据x1出现f1次，x2出现f2次，x3出现f3次……xk出现fk次，这组数据的平均数为x，则x=
1（f1x1+f2x2+f3x3+…+fkxk）（其中n=f1+f2+f3+…+fk） n “权”越大，对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和. 要点诠释：
（1）fk越大，表示xk的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 要点二、众数和中位数 1.众数
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数. 要点诠释：
（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 2.中位数
将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数据（当数据个数为奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数为偶数时）叫做这组数据的中位数. 要点诠释：
（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半. 要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别
联系：平均数、中位数、众数都是数据的代表，它们从不同侧面反映了数据的集中程度.
区别：平均数容易受极端值的影响；中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.
在一组存在极端值的数据中，用中位数或众数作为表示这组数据特征的统计量有时会更贴近实际.
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要点四、用样本估计总体
在考察总体的平均水平时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平近似估计得到总体的平均水平.
要点诠释：
（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.
（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出的代价. 【典型例题】
类型一、平均数、众数和中位数
1、某选手在青歌赛中的得分如下（单位：分）：99.60，99.45，99.60，99.70，98.80，99.60，99.83，则这位选手得分的众数和中位数分别是（ ） A．99.60，99.70 B．99.60，99.60 C．99.60，98.80 D．99.70，99.60 【思路点拨】根据众数和中位数的定义求解即可． 【答案】B；
【解析】解：数据99.60出现3次，次数最多，所以众数是99.60；数据按从小到大排列：99.45，99.60，99.60，99.60，99.70，99.80，99.83，中位数是99.60．故选B．
【总结升华】本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 举一反三：
【 数据的分析 例8】 【变式1】若数据3.2，3.4，3.2，x，3.9，3.7的中位数是3.5，则其众数是________，平均数是________． 【答案】3.2；3.5； 解：由题意
x?3.4?3.5,x?3.6，所以众数是3.2，平均数是3.5. 2【变式2】某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（ ） A．6.2小时 B．6.4小时 C．6.5小时 D．7小时 【答案】B；
解：根据题意得：
（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50 =（50+90+140+40）÷50 =320÷50 =6.4（小时）．
故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时． 类型二、利用平均数、众数、中位数解决问题
2、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩
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满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：
测试项目 教学能力 科研能力 组织能力 测试成绩 甲 85 70 64 乙 73 71 72 丙 73 65 84 (1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；
(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3:2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由． 【思路点拨】（1）运用求平均数公式
1（2）?x1+x2+x3+???+xn?即可求出三人的平均成绩，比较得出结果；
n将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果. 【答案与解析】
解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，
乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72， 丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74， ∴ 候选人丙将被录用．
(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，
乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2， 丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，
∴ 候选人甲将被录用．
【总结升华】5、3、2即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按加权平均数来录用． 举一反三：
【 数据的分析 例10】
【变式】小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，
期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的10％、30％、60％量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少?
【答案】
解：小王平时测试的平均成绩x?89?78?85． ?84（分）
384?10%?90?30%?87?60%所以． ?87.6（分）
10%?30%?60%答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分．
3、（2016?呼和浩特）在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽得12名选手所用的时间（单位：分钟）得到如下样本数据：140 146 143 175 125 164 134 155 152 168 162 148 （1）计算该样本数据的中位数和平均数；
（2）如果一名选手的成绩是147分钟，请你依据样本数据中位数，推断他的成绩如何？ 【思路点拨】（1）根据中位数和平均数的概念求解；
（2）根据（1）求得的中位数，与147进行比较，然后推断该选手的成绩．
【答案与解析】 解：（1）将这组数据按照从小到大的顺序排列为：125，134，140，143，146，148，152，155，162，164，168，175，
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则中位数为：平均数为：
=150，
=151；
（2）由（1）可得，中位数为150，可以估计在这次马拉松比赛中，大约有一半选手的成绩快于150分钟，有一半选手的成绩慢于150分钟，这名选手的成绩为147分钟，快于中位数150分钟，可以推断他的成绩估计比一半以上选手的成绩好．
【总结升华】此题主要考查了中位数和平均数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
举一反三：
【变式】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制了统计图表如图所示的统计图． 零花钱数额（元） 学生个数（个） 5 a 10 15 15 20 20 5 请根据图表中的信息，回答以下问题.
(1)求a的值；
(2)求这50名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数． 【答案】
解：(1) a＝50－15－20－5＝10．
(2)众数是15．
1(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12． 50类型三、用样本估计总体
平均数为
4、我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量(单位：t)，并将调查结果绘成了如图所示的条形统计图．
(1)求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；
(2)根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有多少户．
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【思路点拨】（1）根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量．再根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解；（2）首先计算样本中家庭月均用水量不超过7t的用户所占的百分比，再进一步估计总体． 【答案与解析】
解：(1)观察条形图，可知这组样本数据的平均数是
x?6?2?6.5?4?7?1?7.5?2?8?1?6.8．
10∴ 这组样本数据的平均数为6.8．
∴ 在这组样本数据中，6.5出现了4次，出现的次数最多． ∴ 这组数据的众数是6.5．
∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6.5，有 ∴ 这组数据的中位数是6.5．
(2)∵ 10户中月均用水量不超过7t的有7户，有50?65.6?5.2 ?65.．
7?35． 10∴ 根据样本数据，可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有35户．
【总结升华】本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握平均数、中位数和众数的计算方法． 举一反三： 【变式】（清河区二模）4月23日是“世界读书日”，向阳中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查，共发放100份调查问卷，并全部收回．根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成表格如下： 月阅读册数（本） 1 2 3 4 5 被调查的学生数（人） 20 50 15 10 5 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）被调查的学生月平均阅读册数为 本； （2）被调查的学生月阅读册数的中位数是 ；
（3）在平均数、中位数这两个统计量中， 更能反映被调查学生月阅读的一般水平； （4）若向阳中学共有学生1600人，求四月份该校学生共阅读课外书籍多少本？ 【答案】
解：（1）平均阅读册数为：（2）∵共有100名学生，
∴第50和51为同学的阅读量的平均数为中位数：
=2； =2.3（本）；
（3）在平均数、中位数这两个统计量中，中位数更能反映被调查学生月阅读的一般水平； （4）2.3×1600=3680（本）．
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平均数、众数和中位数
【巩固练习】
一. 选择题
1.已知一组数据2，l，x，7，3，5，3，2的众数是2，则这组数据的中位数是( )． A．2 B．2．5 C．3 D．5
2．8名学生在一次数学测试中的成绩为80，82，79，69，74，78，x，81，这组成绩的平均数是77，则x的值为( )．
A．76 B．75 C．74 D．73
3．有8个数的平均数是11，还有12个数的平均数是12，则这20个数的平均数是( )． A．11.6 B．232 C．23.2 D．11.5
4. 某班体育委员记录了第一小组七位同学定点投篮(每人投10次)的情况，投进篮筐的个数为6，10，5，3，4，8，4，这组数据的中位数是( )． A．4 B．7 C．5 D．3
5.（2016?苏州）根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2016年1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量，如表所示： 20 25 30 35 用水量（吨） 15 3 6 7 9 5 户数 则这30户家庭该用用水量的众数和中位数分别是（ ） A．25，27 B．25，25 C．30，27 D．30，25
3x2?2，3x3?2，3x4?2，x3，x4，x5的平均数是2，6. 已知一组数据x1，x2，那么另一组数据3x1?2，
3x5?2的平均数为( )．
A．1 B．2 C．3 D．4 二. 填空题
7．已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是3，则这三个数分别为________．
8．数据1、2、4、4、3、5、l、4、4、3、2、3、4、5，它们的众数是____、中位数是____、平均数是_______．
9.（2016?温州）某小组6名同学的体育成绩（满分40分）分别为：36，40，38，38，32，35，这组数据的中位数是 分．
10．在数据－1，0，4，5，8中插入一个数据x，使得该数据组的中位数为3，则x＝________． 11．某次射击训练中，一小组的成绩如下表所示：
环数 人数 6 1 7 3 8 9 2 若该小组的平均成绩为7.7环，则成绩为8环的人数为_________．
12.（2015?上海）已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：
年龄（岁） 11 12 13 14 15 人数 5 5 16 15 12 那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是 岁．
三. 解答题
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13.（2015?呼和浩特）学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试，他们各自的成绩（百分制）如表： 选手 表达能力 阅读理解 综合素质 汉字听写 甲 85 78 85 73 乙 73 80 82 83 （1）由表中成绩已算得甲的平均成绩为80.25，请计算乙的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁； （2）如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们2、1、3和4的权，请分别计算两名选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁．
14. 小亮和小莹自制了一个标靶进行投标比赛，两人各投了10次，如图是他们投标成绩的统计图．
（1）根据图中信息填写下表
平均数 中位数 众数
小亮 7
小莹 7 9
（2）分别用平均数和中位数解释谁的成绩比较好．
15. 为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭5月份的用水情况，并将收集的数据整理成如下
统计图．
（1）小明一共调查了多少户家庭？
（2）求所调查家庭5月份用水量的众数、平均数；
（3）若该小区有400户居民，请你估计这个小区5月份的用水量．
【答案与解析】
一. 选择题
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1.【答案】B；
【解析】由众数的意义可知x＝2，然后按照从小到大的顺序排列这组数据，则中位数应为2．【答案】D； 【解析】由题意3．【答案】A； 【解析】
2?3 ?2.5．
280?82?79?69?74?78?x?81?77，解得x?73.
811?8?12?12?11.6
204.【答案】C；
【解析】把这组数据按从小到大的顺序排列为3，4，4，5，6，8，10，则中位数为5. 5.【答案】D；
【解析】解：因为30出现了9次，所以30是这组数据的众数，将这30个数据从小到大排列，第15、
16个数据的平均数就是中位数，所以中位数是25．
6.【答案】D；
【解析】本题可推广为：若x1,x2，…，xn的平均数是x，则x1?a，x2?a，…，xn?a的平均数
kx1,kx2，kxn的平均数为kx，kxn?a的平均数为kx?a. 为x?a；…，因此kx1?a,kx2?a，
二. 填空题
7．【答案】1、3、5或2、3、4. 8．【答案】4；3.5；3.21；
【解析】 数据中4出现了5次，出现的次数最多，所以众数是4；把数据重新排列，最中间的两个数
是3和4，所以这组数据的中位数是3.5；这组数据的平均数是
x?1(2?1?2?2?3?3?4?5?5?2)?3.21． 149.【答案】37；
【解析】数据按从小到大排列为：32，35，36，38，38，40，
则这组数据的中位数是：（36+38）÷2=37.
10．【答案】2； 11．【答案】4； 【解析】设成绩为8环的人数为x，则
6?21?8x?18?7.7,x?4.
1?3?x?212.【答案】14；
【解析】解：从小到大排列此数据，第27名成员的年龄是14岁，
所以这个小组成员年龄的中位数是14． 故答案为14．
三. 解答题 13.【解析】 解：（1）
=（73+80+82+83）÷4=79.5，
∵80.25＞79.5，
∴应选派甲； （2）
=（85×2+78×1+85×3+73×4）÷（2+1+3+4）=79.5，
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=（73×2+80×1+82×3+83×4）÷（2+1+3+4）=80.4，
∵79.5＜80.4， ∴应选派乙． 14.【解析】 解：（1）根据题意得：小亮的环数为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，
平均数为
1（9+5+7+8+7+6+8+6+7+7）=7（环），中位数为7，众数为7； 101（3+4+6+9+5+7+8+9+9+10）=7（环），中位数为7.5，众数为9， 10小莹的环数为：3，4，6，9，5，7，8，9，9，10， 平均数为
填表如下：
平均数 中位数 众数
小亮 7 7 7
小莹 7 7.5 9
（2）平均数相等说明：两人整体水平相当，成绩一样好；小莹的中位数大说明：小莹的成绩比小亮好． 15.【解析】 解：（1）1+1+3+6+4+2+2+1=20，
答：小明一共调查了20户家庭；
（2）每月用水4吨的户数最多，有6户，故众数为4吨；
平均数：（1×1+1×2+3×3+4×6+5×4+6×2+7×2+8×1）÷20=4.5（吨）； （3）400×4.5=1800（吨），
答：估计这个小区5月份的用水量为1800吨．
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