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因式分解·提公因式法
【知识精读】
如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：
（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】
1. 把下列各式因式分解 （1）?a2xm?2?abxm?1?acxm?axm?3
（2）a(a?b)3?2a2(b?a)2?2ab(b?a)
分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：?a2xm?2?abxm?1?acxm?axm?3??axm(ax2?bx?c?x3)
（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，(a?b)2n?(b?a)2n；(a?b)2n?1??(b?a)2n?1，是在因式分解过
程中常用的因式变换。
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解：a(a?b)3?2a2(b?a)2?2ab(b?a)
?a(a?b)3?2a2(a?b)2?2ab(a?b) ?a(a?b)[(a?b)2?2a(a?b)?2b]
?a(a?b)(3a2?4ab?b2?2b)
2. 利用提公因式法简化计算过程
例：计算123?9871368?268?9879879871368?456?1368?521?1368 分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结
果。
解：原式?9871368?(123?268?456?521) ?9871368?1368?987
3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组??2x?y?35x?3y??2，求代数式(2x?y)(2x?3y)?3x(2x?y)的
?值。
分析：不要求解方程组，我们可以把2x?y和5x?3y看成整体，它们的值分别是3和?2，观察代数式，发现每一项都含有2x?y，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x?y和5x?3y的式子，即可求出结果。 解
：
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(2x?y)(2x?3y)?3x(2x?y)?(2x?y)(2x?3y?3x)?(2x?y)(5x?3y)
把2x?y和5x?3y分别为3和?2带入上式，求得代数式的值是?6。
4. 在代数证明题中的应用
例：证明：对于任意自然数n，3n?2?2n?2?3n?2n一定是10的倍数。 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 3n?2?2n?2?3n?2n?3n?2?3n?2n?2?2n
n
?3(32?1)?2n(22?1)?10?3n?5?2n
?对任意自然数n，10?3n和5?2n都是10的倍数。 ?3n?2?2n?2?3n?2n一定是10的倍数
5、中考点拨：
例1。因式分解3x(x?2)?(2?x) 解：3x(x?2)?(2?x)
?3x(x?2)?(x?2)?(x?2)(3x?1)
说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。
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例2．分解因式：4q(1?p)3?2(p?1)2 解：4q(1?p)3?2(p?1)2
?4q(1?p)3?2(1?p)2 ?2(1?p)2[2q(1?p)?1]
?2(1?p)2(2q?2pq?1) 说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。
题型展示：
例1. 计算：2000?20012001?2001?20002000 精析与解答：
设2000?a，则2001?a?1
?2000?20012001?2001?20002000
?a[10000(a?1)?(a?1)]?(a?1)(10000a?a)
?a(a?1)?10001?a(a?1)?10001?a(a?1)?(10001?10001)
?0 说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其
中2000、2001重复出现，又有2001?2000?1的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。
例2. 已知：x2?bx?c（b、c为整数）是x4?6x2?25及3x4?4x2?28x?5 .
的公因式，求b、c的值。
分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比较麻烦。注意到x2?bx?c是3(x4?6x2?25)及3x4?4x2?28x?5的因式。因而也是?(3x4?4x2?28x?5)的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。
解：?x2?bx?c是3(x4?6x2?25)及3x4?4x2?28x?5的公因式 ?也是多项式3(x4?6x2?25)?(3x4?4x2?28x?5)的二次因式 而3(x4?6x2?25)?(3x4?4x2?28x?5)?14(x2?2x?5) ?b、c为整数
得：x2?bx?c?x2?2x?5
?b??2，c?5
说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式14x2?28x?70，从而简便求得x2?bx?c。
例3. 设x为整数，试判断10?5x?x(x?2)是质数还是合数，请说明理由。 解：10?5x?x(x?2)
?5(2?x)?x(x?2)?(x?2)(5?x)
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?x?2，5?x都是大于1的自然数 ?(x?2)(5?x)是合数
说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。
【实战模拟】 1. 分解因式：
（1）?4m2n3?12m3n2?2mn （2）a2xn?2?abxn?1?acxn?adxn?1（n为正整数）
（3）a(a?b)3?2a2(b?a)2?2ab(b?a)2 2. 计算：(?2)11?(?2)10的结果是（ ）
A. 2100 B. ?210
C. ?2
D. ?1
3. 已知x、y都是正整数，且x(x?y)?y(y?x)?12，求x、y。
4. 证明：817?279?913能被45整除。
5. 化简：1?x?x(1?x)?x(1?x)2?…x(1?x)1995，且当x?0时，求原式
的值。
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试题答案
1. 分析与解答：
（1）?4m2n3?12m3n2?2mn ??2mn(2mn2?6m2n?1) （2）a2xn?2?abxn?1?acxn?adxn?1
?axn?1(ax3?bx2?cx?d)
（3）原式?a(a?b)3?2a2(a?b)2?2ab(a?b)2
?a(a?b)2[(a?b)?2a?2b] ?a(a?b)2(3a?3b)
?3a(a?b)2注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。 2. B
3. ?x(x?y)?y(y?x)?12 ?(x?y)(x?y)?12 ?x、y是正整数
?12分解成1?12，2?6，3?4
又?x?y与x?y奇偶性相同，且x?y?x?y
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???x?y?2 ?x?y?6???x?4
?y?2 说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。
4. 证明：?817?279?913
?328?327?326?326(9?3?1) ?326?5
?324?32?5?324?45 ?817?279?913能被45整除
5. 解：逐次分解：原式?(1?x)(1?x)?x(1?x)2?…x(1?x)1995?(1?x)2(1?x)?…x(1?x)1995
?(1?x)3(1?x)?x(1?x)4?…x(1?x)1995?……?(1?x)1996 ?当x?0时，原式?1
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