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因式分解·公式法
【知识精读】
把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 a2?b2?(a?b)(a?b) 完全平方公式
a2?2ab?b2?(a?b)2
立方和、立方差公式 a3?b3?(a?b)?(a2?ab?b2) 补充：欧拉公式：
a3?b3?c3?3abc?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca)
?12222(a?b?c)[(a?b)?(b?c)?(c?a)]
特别地：（1）当a?b?c?0时，有a3?b3?c3?3abc （2）当c?0时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】
1. 把a2?2a?b2?2b分解因式的结果是（ ） A. (a?b)(a?2)(b?2)
B. (a?b)(a?b?2)
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C. (a?b)(a?b)?2
D. (a2?2b)(b2?2a)
分析：a2?2a?b2?2b?a2?2a?1?b2?2b?1?(a?1)2?(b?1)2。 再利用平方差公式进行分解，最后得到(a?b)(a?b?2)，故选择B。
说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的
形式。同时要注意分解一定要彻底。
2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用
例：已知多项式2x3?x2?m有一个因式是2x?1，求m的值。
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m的值。
解：根据已知条件，设2x3?x2?m?(2x?1)(x2?ax?b) 则2x3?x2?m?2x3?(2a?1)x2?(a?2b)x?b
??2a?1??1(1) 由此可得??a?2b?0(2) ???m?b(3) 由（1）得a??1
把a??1代入（2），得b?12 把b?12代入（3），得m?12
3. 在几何题中的应用。
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例：已知
a、b、c是?ABC的三条边，且满足
a2?b2?c2?ab?bc?ac?0，试判断?ABC的形状。
分析：因为题中有a2、b2、?ab，考虑到要用完全平方公式，首先要把?ab转成?2ab。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。 解：?a2?b2?c2?ab?bc?ac?0 ?2a2?2b2?2c2?2ab?2bc?2ac?0
?(a2?2ab?b2)?(b2?2bc?c2)?(c2?2ac?a2)?0
?(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0
?(a?b)2?0，(b?c)2?0，(c?a)2?0 ?a?b?0，b?c?0，c?a?0 ?a?b?c
??ABC为等边三角形。
4. 在代数证明题中应用
例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。 解：设这两个连续奇数分别为2n?1，2n?3（n为整数）
则(2n?3)2?(2n?1)2
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?(2n?3?2n?1)(2n?3?2n?1) ?2(4n?4)
?8(n?1) 由此可见，(2n?3)2?(2n?1)2一定是8的倍数。
5、中考点拨：
例1：因式分解：x3?4xy2?________。
解：x3?4xy2?x(x2?4y2)?x(x?2y)(x?2y)
说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公
式分解彻底。
例2：分解因式：2x3y?8x2y2?8xy3?_________。
解：2x3y?8x2y2?8xy3?2xy(x2?4xy?4y2)?2xy(x?2y)2 说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。
题型展示： 例1. 已知：a?12m?1，b?12m?2，c?12m?3， 求a2?2ab?b2?2ac?c2?2bc的值。
解：a2?2ab?b2?2ac?c2?2bc
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?(a?b)2?2c(a?b)?c2 ?(a?b?c)2
?a?112m?1，b?2m?2，c?12m?3
?原式?(a?b?c)2
??1112??(2m?1)?(?
2m?2)?(2m?3)??
?14m2 说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。
例2. 已知a?b?c?0，a3?b3?c3?0， 求证：a5?b5?c5?0
证明：?a3?b3?c3?3abc?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca) ?把a?b?c?0，a3?b3?c3?0代入上式， 可得abc?0，即a?0或b?0或c?0 若a?0，则b??c， ?a5?b5?c5?0
若b?0或c?0，同理也有a5?b5?c5?0
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说明：利用补充公式确定a，b，c的值，命题得证。
例3. 若x3?y3?27，x2?xy?y2?9，求x2?y2的值。
解：?x3?y3?(x?y)(x2?xy?y2)?27
且x2?xy?y2?9
?x?y?3，x2?2xy?y2?9(1) 又x2?xy?y2?9(2)
两式相减得xy?0 所以x2?y2?9
说明：按常规需求出x，y的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。
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【实战模拟】
1. （1）(a?2)2?(3a?1)2
解：原式?[(a?2)?(3a?1)][(a?2)?(3a?1)] ?(4a?1)(?2a?3) ??(4a?1)(2a?3)
说明：把a?2，3a?1看成整体，利用平方差公式分解。 （2）（2）x5(x?2y)?x2(2y?x) 解：原式?x5(x?2y)?x2(x?2y) ?x2(x?2y)(x3?1)
?x2(x?2y)(x?1)(x2?x?1) （3）（3）a2(x?y)2?2a(x?y)3?(x?y)4 解：原式?(x?y)2[a2?2a(x?y)?(x?y)2] ?(x?y)2(a?x?y)2
2. 已知：x?1x??3，求x4?1x4的值。
解：?(x?1221x)?x?2?x2
?x2?1x(x?1x)2?2?(?3)22??2?7
?(x2?124141x2)?49，?x?x4?2?49 ?x?x4?47
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3. 若a，b，c是三角形的三条边，求证：a2?b2?c2?2bc?0
分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需要把问题转化为两边差小于第三边求得证明。 证明：?a2?b2?c2?2bc
?a2?(b2?2bc?c2) ?a2?(b?c)2
?(a?b?c)(a?b?c) ?a，b，c是三角形三边 ?a?b?c?0且a?b?c ?(a?b?c)(a?b?c)?0 即a2?b2?c2?2bc?0 4. 已知：?2???1?0，求?2001的值。
解??2???1?0
?(??1)(?2???1)?0，即?3?1?0
??3?1??2001?(?3)667?1
5. 已知a，b，c是不全相等的实数，且abc?0，a3?b3?c3?3abc，试求 （1）a?b?c的值；（2）a(1111b?c)?b(c?a)?c(11a?b)的值。 分析与解答：（1）由因式分解可知
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