提示: 沿梯度方向的方向导数最大,方向导数的最大值即为梯度的模.
然后再求g(x,y)在条件75?x2?y2?xy?0下的极大值点就可. 四、答案: 通过定点M?a,b,c?.
第六章 微分方程测试题
一、选择题
1、设y?f(x)是y???2y??4y?0的解,若f(x0)?0且f?(x0)?0,则在x0点
f(x) ( ).
(A) 取极大值; (B) 取极小值; (C) 在x0某邻域内单增; (D) 在x0某邻域内单减.
2、微分方程y???4y??4y?8e2x的一个特解应具有形式 ( ) (a,b,c,d为常数).
(A) ce2x; (B) dx2e2x; (C) cxe2x; (D) (bx2?cx)e2x. 3、微分方程y???y?x2?1?sinx的特解形式可设为( ). (A) y*?ax2?bx?c?x(dsinx?ecosx); (B) y*?x(ax2?bx?c?dsinx?ecosx); (C) y*?ax2?bx?c?dsinx; (D) y*?ax2?bx?c?ecosx.
4、设线性无关的函数y1,y2,y3都是非齐次线性微分方程
y???p(x)y??q(x)y?f(x)的解，c1,c2是任意常数，则该方程的通解为
( ).
(A) c1y1?c2y2?y3;
(B) c1y1?c2y2??c1?c2?y3; (C) c1y1?c2y2??1?c1?c2?y3; (D) c1y1?c2y2??1?c1?c2?y3.
5、方程xy??y?0满足y(1)?2的特解为( ).
(A) xy2?1; (B) x2y?2; (C) xy?2; (D) xy?1. 二、填空题
1、已知微分方程y???2y??3y?e?x有一个特解y???xe?x,则其通解为( ).
2、以y1?e?x,y2?xe?x为特解的二阶常系数齐次微分方程是( ). 3、若连续函数f(x)满足f(x)??0ef(t)dt，则f(x)等于( ). 4、已知函数y?y(x)在任意点x处的增量?y?y?x??，其中?是比1?x2x14?x(?x?0)高阶的无穷小，且y(0)?π，则y(1)等于( ).
5、y???2y??y?xex的通解为( ). 三、计算和应用题
1、 设y?e2x?(1?x)ex是二阶常系数线性微分方程y????y???y??ex的一个特解，求该微分方程的通解.
2、 设函数y?y(x)在???,???内具有二阶导数，且y??0,x?x?y?是
y?y(x)的反函数.
(1)
?dx?d2x试将x?x?y?所满足的微分方程2??y?sinx????0变换
dy?dy?3为y?y(x)所满足的微分方程; (2)
求变换后的微分方程满足条件y(0)?0,y?(0)?的解.
323、已知y1?e2x?xex,y2?e?x?xex,y3?e2x?xex?e?x都是某二阶常系数非
齐次线性微分方程的解，试求此微分方程 4、 5、
已知连续函数f(x)满足f(x)??0f()dt?e2x，求f(x). 已知连续函数f(x)满足f(x)??0?x?u?f(u)du?ex?2x?0f(xu)du，
x13xt3求f(x).
6、设函数f(x)在?1,???上连续恒正，若曲线y?f(x)，直线x?1,x?t?t?1?与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为
π2?tf(t)?f(1)??，试求y?f(x)所满足的微分方程，并求该方程满足3?2f(2)?的特解.
9四、证明题
证明方程y???y?f(x)（其中f(x)连续）的通解为
y?c1cosx?c2sinx??f(t)sin?x?t?dt，其中为任意常数.
0x第六章 微分方程测试题答案与提示
一、
1、A；2、B；3、A；4、D；5、C. 二、
11、c1e3x?c2e?x?xe?x；2、y???2y??y?0；3、ln(x?1)；4、πe4；
4π5、y??c1?c2x?e?x??x?1?ex. 三、
1、答案：c1e2x?c2ex?e2x?(1?x)ex.
提示：将y?e2x?(1?x)ex代入原方程，比较同类项系数，求出?,?,?的
值，然后再去求解微分方程. 2、答案: (1) y???y?sinx;
14(2) y?ex?e?x?sinx. 3、答案: y???y??2y?ex?2xex.
提示: y1?y3?e?x,y1?y2=e2x是对应齐次微分方程的特解,从而可得出
对应齐次微分方程为y???y??2y?0, 设非齐次线性微分方程为
y???y??2y?f(x),再将其中任意个非齐次特解代入,得出
12f(x)?ex?2xex.
4、答案: f(x)?3e3x?2e2x.
2?x5、答案: f(x)???1?2x?x?e. 21??提示：作代换xu?t，则2x?0f(xu)du?2?0f(t)dt.
x. 1?x3tπ2?提示：依题意可得：?tf(t)?f(1)??π?f2(x)dx，然后两边求导. ?131x6、答案: f(x)?四、略.
第五章 定积分及应用测试题
一、选择题
1、设f(x)连续，I?t?0tf(tx)dx,t?0,s?0，则I的值是( ). （A） 依赖于s和t； （B）是一个常数； （C）不依赖于s但依赖于t； （D）依赖于s但不依赖于t. 2、下列积分中,等于零的是( ).
(A) ?cosxln(1?x)dx (B) ??3(x?1)exdx
221sinxcos4x2(C) ??dx (C) ?(x?1?x)dx 2?1?1?x2s121?232?23、设在?a,b?上f(x)?0,f?(x)?0,f??(x)?0，
令S1??af(x)dx,S2?f(b)?b?a?,S3??f(a)?f(b)??b?a?，则( ). (A) S3?S2?S1; (B) S3?S1?S2; (C) S2?S1?S3 ; (D)
S1?S3?S2.
b124、已知?0??2??sinxsinxπdx的值等于( ). dx?，则?20xx2ππ2 (A) ; (B) π; (C) ; (D) π-1.
425、设f(x)在0处可导，且f(0)?0，则极限lim?x?0x0f(x?t)dtx2的值等于
( ).
(A)不存在； (B) 0; (C) f?(0); (D) f?(0). 二、填空题 1、设f(x)连续，?03π43π?4112x3?1f(t)dt?x，则f(7)等于( ).
2、定积分?(1?arctanx)1?cos2xdx的值为( ). 3、定积分??1(x?x)exdx的值为( ).
4、若积分??a(2x?1)dx??4,则常数a的值等于( ). 5、曲线y??x3?x2?2x与x轴所围成的面积值等于( ). 三、计算和应用题
1、已知f(π)?1，且?0?f(x)?f??(x)?sinxdx?3，求f(0). 2、计算??11a?2x2?x(ex?e?x)1?1?xπ2dx
sin2tf(1)dt3、设f(x)??0，求
f(0)1?2xcost?x24、
计算?π20sin3xdx.
sinx?cosx
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