专题62 巧妙分类灵活分步解决排列组合问题
考纲要求:
1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理 (1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. 2.排列与组合
(1)理解排列、组合的概念.
(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. (3)能解决简单的实际问题. 基础知识回顾: 1．分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝m1+ m2+…+mn种不同的方法． 2．分步乘法计数原理
完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，…，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝_____________________种不同的方法．
3．两个原理的区别与联系
分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。 2．排列与排列数
(1)排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为An.
(3)排列数公式：An＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
m
m
n！
.
n－m！
Ann＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝n！，规定0！＝1.
3．组合与组合数
(1)组合的定义：一般地，从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
1
8所有不同组合的个数，叫做从n个不同元(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的□素中取出m个元素的组合数，用符号Cn表示． Ann (3)组合数公式C＝m＝
Ammn
m
m
mn－1
n－mm
n－2…n－m＋1n！
＝.
m！m！n－m！
m－1
m*
*
(4)组合数的性质性：Cn＝Cn. Cn＋1＝Cn＋Cn (m≤n，n∈N，m∈N)． 应用举例:
类型一、两个原理的综合应用 1、涂色问题
例1、如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D 4块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共有______种(用数字作答)．
解析：从A开始涂色，A有6种涂色方法，B有5种涂色方法，C有4种涂色方法，D有4种涂色方法．由分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×4＝480种涂色方法．
例2【2017届东北三省三校第二次联合模拟】在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 24 【答案】B
2、几何问题
例3、如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )
A．48 B．18 C．24 D．36
解析：分类讨论：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交
2
线面对”有2×12＝24个；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36个． 3、集合问题
例4【2017届四川省资阳市高三上学期期末】设集合A?{?x1,x2,x3,x4?|xi???1,0,1?,i?1,2,3,4}，那
2222么集合A中满足条件“x1?x2?x3?x4?4 ”的元素个数为（ ）
A. 60 B. 65 C. 80 D. 81 【答案】D
点评：1、在解决综合问题时，可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求．分清完成该事情是分类还是分步，“类”间互相独立，“步”间互相联系．
2、用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步：
(1)分类做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成了任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析． 类型二、解决排列问题常用方法
例5、7人站成一排，求满足下列条件的不同站法： （1）甲、乙两人相邻； （2）甲、乙之间隔着2人；
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（3）若7人顺序不变，再加入3个人，要求保持原先7人顺序不变； （4）7人中现需改变3人所站位置，则不同排法；
（5）甲、乙、丙3人中从左向右看由高到底（3人身高不同）的站法；
（6）若甲、乙两人去坐标号为1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法.
26试题解析：（1）A2A6?1440 （捆绑法） 224（2）A5A2A4?960 （捆绑法） 111（3）C8C9C10?720 （插空法）
3（4）C7?2?70 （分步计数,从7人中任取3人,如a,b,c,则改变原位置站法有2种,b,c,a和c,a,b）
7A7（5）3?840 （等可能）
A32（6）6×A2?12 （固定模型,甲、乙两人坐法有（2,4）（2,5）（2,6）（3,5）（3,6）（4,6）6种）
点评：解决排列问题常用方法:
直接法：把符合条件的排列数直接列式计算 优先法：优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法：对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的间隔中
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先整体后局部：“小集团”排列问题中先整体后局部
定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法;正难则反，等价转化的方法 类型三、解决组合问题常用方法
例6【2017届重庆市第八中学高三高考适应性月考（七）】某学校开设校本选修课，其中人文类4门
A1,A2,A3,A4，自然类3门B1,B2,B3，其中A1与B1上课时间一致，其余均不冲突.一位同学共选3门，
若要求每类课程中至少选一门，则该同学共有__________种选课方式．（用数字填空） 【答案】25
例7、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队． (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？ 解析 (1)共有C18＝816(种)．(2)共有C18＝8 568(种)．
(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C2C18＋C18＝6 936(种)．
(4)(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C20－(C12＋C8)＝14 656(种)．
点评：两类组合问题的解法
(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
类型四、排列与组合的综合问题
分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象. 1、整体均匀分配
例8、国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到
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