2019年
技巧训练（六）圆中常见辅助线的作法
类型1 连半径—构造等腰三角形
作圆的半径，利用“同圆的半径相等”构造等腰三角形，这样就把有关线段或角的问题转化到三角形中来解答.
1.（2017·泰安）如图，△ABC内接于⊙O.若∠A＝α，则∠OBC等于（D）
A.180°－2α B.2α C.90°＋α D.90°－α
第1题图 第2题图
2.如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E.若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（B）
A.42° B.28° C.21° D.20°
类型2 与垂径定理有关的辅助线
在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段或连接弧的中点与圆心，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理或锐角三角函数进行计算.
3.（2018·枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（C）
A.15 B.25 C.215 D.8
第3题图 第4题图
︵
4.（2018·威海）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为AB的中点.若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（D）
A. B.5 C.
1253
D.53 2
类型3 与圆周角定理及其推论有关的辅助线
（1）遇到直径时，常构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆（或直径）所对的圆周角是直角”这一性质；（2）遇90°的圆周角时，常连接圆周角的两边与圆的交点，得到直径.
5.（2018·白银、武威、张掖）如图，⊙A过点O（0，0），C（3，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（B）
A.15° B.30° C.45° D.60°
2019年
第5题图 第6题图
6.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD.若AC＝2，则tanD的值是（A）
A.22 B.
2221
C. D. 343
类型4 与切线的性质有关的辅助线
已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的
有关性质解题.
7.（2018·泰安）如图，BM与⊙O相切于点B.若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（A）
A.40° B.50° C.60° D.70°
类型5 与切线的判定有关的辅助线
证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径.
8.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D.E是BD中点，连接CE.求证：CE是⊙O的切线.
证明：连接CO，OE. ∵AB为⊙O的直径. ∴∠ACB＝90°. ∴∠BCD＝90°. ∵E是BD中点， 1
∴CE＝BE＝BD.
2
又∵OC＝OB，OE＝OE， ∴△COE≌△BOE（SSS）. ∴∠OCE＝∠OBE. ∵BD为⊙O的切线.
2019年
∴∠OBE＝90°. ∴∠OCE＝90°.
又∵OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线.
9.（2017·绥化）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于点E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F.
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若BF＝24，OE＝5，求tan∠ABC的值.
解：（1）证明：过点O作OG⊥DC，垂足为G. ∵AD∥BC，AE⊥BC， ∴OA⊥AD.
∵DO平分∠ADC，OA⊥AD，DG⊥DC. ∴OA＝OG.
∴OG是⊙O的半径， ∴DC是⊙O的切线. （2）连接OF. ∵OA⊥BC， 1
∴BE＝EF＝BF＝12.
2
在Rt△OEF中，OE＝5，EF＝12. ∴OF＝OE＋EF＝13.
∴AE＝OA＋OE＝13＋5＝18. AE3
∴tan∠ABC＝＝.
BE2
类型6 与三角形内切圆有关的辅助线
遇到三角形的内切圆时，连接内心与三角形各顶点，利用内心的性质进行有关计算.
10.（2018·威海）在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为135°Ｗ.
2
2
类型7 与圆中阴影部分面积的计算有关的辅助线
当圆中阴影部分为不规则图形时，可以通过添辅助线把不规则的图形等积替换为规则图形，从而利用和差法求得面积.
2019年
11.如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，则阴影部分的2π面积为Ｗ.
3
相关推荐：
loading