第三讲 概率
[考情分析]
高考主要考查古典概型，多在解答题中与统计结合考查，几何概型考查多为选择题.年份 2017 卷别 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 2016 Ⅱ卷 Ⅲ卷 2015
[真题自检]
1．(2017·高考全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽
取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
1 B.
52 D.
5
A.C.
110
Ⅰ卷 Ⅱ卷 考查角度及命题位置 几何概型·T4 古典概型·T11 古典概型求概率·T3 几何概型求概率·T8 频数、频率、平均值等·T18 古典概型求概率·T5 古典概型的概率·T4 频率分布直方图，数据的平均值和方差，用频率估计概率·T18 3 10
解析：依题意，记两次取得卡片上的数字依次为a，b，则一共有25个不同的数组(a，b)，其中满足a>b的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，
102
(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率为＝，选D.
255
答案：D
2．(2016·高考全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个 花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
1 B.
25 D.
6
1A. 32C. 3
解析：从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红
- 1 - / 11
黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—
42
红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝＝，故选C.
63
答案：C
3．(2016·高考全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40
秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
5 B.
83 D.
10
A.7 10
3C. 8
解析：如图，
若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－155
40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝，
408故选B. 答案：B
4．(2016·高考全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，
I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的
概率是( ) 8
A. 151C. 15
1B. 8D.1 30
解析：∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴
P＝.
答案：C
5．(2016·高考全国卷Ⅰ)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
115
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记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需
的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．
(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机
器的同时应购买19个还是20个易损零件？
解析：(1)当x≤19时，y＝3 800；当x＞19时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700，
??3 800，x≤19，
所以y与x的函数解析式为y＝?
??500x－5 700，x＞19
(x∈N)．
(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，
故n的最小值为19.
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800(元)，20台的费用为4 300(元)，10台的费用为4 800(元)，因此这100台机器1
在购买易损零件上所需费用的平均数为(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000(元)．
100若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000(元)，10台的费用为4 500(元)，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的
平均数
为
1
(4 000×90＋4 500×10)＝4 050(元)．100
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．
几何概型
[方法结论]
几何概型的两个基本特征：
(1)基本事件的无限性、等可能性．
(2)其事件的概率为P(A)＝
构成事件A的区域长度面积或体积
，一般要用数形结
试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
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合法求解．
[题组突破]
ππ
1．在区间[－，]上随机取一个数x，则sin x＋cos x∈[1，2]的概率是( )
62
3 B.
45 D.
8
1A.23C. 8
π2ππ
解析：由sin x＋cos x＝2sin(x＋)∈[1，2]，得≤sin(x＋)≤1，因为x∈[－，
4246ππππ2π
]，所以在区间[－，]内，满足sin(x＋)∈[，1]的x∈[0，]，故要求的概率为262422
π
－02 ππ－－26
3
＝.故选B.4 答案：B
??0≤x≤3
2．设不等式组?
?0≤y≤1?
表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点
的距离小于2的概率是( )
B.
π－3
6
C.
A.π 4
D.
33＋2π
183＋3π
12
解析：区域D表示矩形，面积为3，到坐标原点的距离小于2的点位于以原点O为圆心，半径为113π33＋2π
2的圆内，图中阴影部分的面积为×1×3＋×π×4＝＋，故所求概率为.
2122318
答案：D
3．某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是
________．
- 4 - / 11
解析：设银行的营业时间为x，甲去银行的时间为y，以横坐标表示银行的营业时间，纵坐标表示甲去银行的时间，建立平面直角坐标系(如图)，则事件“甲去银行恰好能办理业务”表示的
4×84
平面区域如图中阴影部分所示，故所求概率P＝＝.
5×85
4
答案：
5 [误区警示]
几何概型的判断关键是注意事件发生的种数具有无限性、等可能性，否则不为几何概型，同时
要注意分清是面积型、长度型，还是角度型．
古典概型
[方法结论]
古典概型的两个基本特征：
(1)基本事件的有限性、等可能性．
(2)其事件的概率为P(A)＝m中所含的基本事件数A事件 ＝.n试验的基本事件总数
[题组突破]
1．(2017·天津六校联考)连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量(m，n)与向量(－1,1)的夹
角θ＞90°的概率是( )
7
B.
121 D.
2
A.512
1C. 3
解析：连掷两次骰子得到的点数(m，n)的所有基本事件为(1,1)，(1,2)，…，(6,6)，共36
个．
∵(m，n)·(－1，1)＝－m＋n＜0，∴m＞n.符合要求的事件为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，
155
(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共15个，∴P＝＝.3612
答案：A
2．(2017·哈尔滨模拟)某市甲、乙两社区联合举行“五一”文艺汇演，甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目，其中甲社区表演队中表演跳舞的有1人，表演笛子演奏的
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有2人，表演唱歌的有3人．
(1)若从甲、乙社区各选一个表演项目，求选出的两个表演项目相同的概率； (2)若从甲社区表演队中选2人表演节目，求至少有一位表演笛子演奏的概率．
解析：(1)记甲社区跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目分别为A1、B1、C1，乙社区跳舞、笛子
演奏、唱歌三个表演项目分别为A2、B2、C2，
则从甲、乙社区各选一个表演项目的所有基本事件有(A1，A2)，(A1，B2)，(A1，C2)，(B1，A2)，
(B1，B2)，(B1，C2)，(C1，A2)，(C1，B2)，(C1，C2)，共9个．
其中选出的两个表演项目相同这一事件包含的基本事件有(A1，A2)，(B1，B2)，(C1，C2)，共3
个，
31
所以所求概率P1＝＝.
93
(2)记甲社区表演队中表演跳舞的1人为a1，表演笛子演奏的2人分别为b1、b2，
表演唱歌的3人分别为c1、c2、c3，
则从甲社区表演队中选2人的所有基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a1，
c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，
c3)，(c2，c3)，共15个．
其中至少有一位表演笛子演奏这一事件包含的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(b1，b2)，(b1，93
c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共9个，所以所求概率P2＝＝.155
[误区警示]
对于较复杂的古典概型问题，若直接求解比较困难，可利用逆向思维，先求其对立事件的概
率，进而可得所求事件的概率．
概率与统计的交汇综合问题
概率考点是近几年高考的热点之一，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型等知识，近几年高考对概率的考查由单一型向知识交汇型转化，且多为古典概型与茎叶图、频率分布直方图、回归分析、独立性检验等交汇考查． 交汇点一 古典概型与用样本估计总体交汇考查
[典例1] (2017·成都模拟)某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70,85)内，记为B等；分数在[60,70)内，记为C等；60分以下，记为D等，同时认定A，B，C等为合格，D等为不合格，已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50,100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出甲校样本的频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．
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图1 图2
(1)求图中x的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；
(2)在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽出的2名
学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率．
解析：(1)由题意，可知10x＋0.012×10＋0.056×10＋0.018×10＋0.010×10＝1，∴x＝
0.004，
∴甲学校的合格率为(1－10×0.004)×100%＝0.96×100%＝96%.
2
而乙学校的合格率为(1－)×100%＝0.96×100%＝96%.
50
∴甲、乙两校的合格率均为96%.
(2)由题意，将乙校的样本中成绩等级为C，D的6名学生分别记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，则随机抽取2名学生的基本事件有{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，
C3}，{C2，C4}，{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，C4}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共15个基本事件．其中“至少有1名学生成绩等级为D”包含{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，
D1}，{C2，D2}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共9个基本事件．
93
∴抽取的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率为P＝＝.
155
[类题通法]
求解古典概型与用样本估计总体交汇问题的模型
(1)识图：即能读懂已知频率分布直方图或茎叶图所隐含的信息并进行信息提取．
(2)转化：即对文字语言较多的题，需要根据题目信息耐心阅读，步步实现文字语言与符号语言
间的转化．
(3)计算：即对频率分布直方图或茎叶图所反馈的信息进行提取，并结合古典概型的概率公式进
行运算．
[演练冲关]
1．(2017·湘中名校联考)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示，该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以
x(单位：盒，100≤x≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y(单位：元)表示这个开学季内经
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典例2] 销该产品的利润．
(1)根据频率分布直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数；
(2)将y表示为x的函数；
(3)根据频率分布直方图估计利润y不少于4 800元的概率．
解析：(1)由频率分布直方图得：最大需求量为150盒的频率为0.015×20＝0.3.
这个开学季内市场需求量x的众数估计值是150. 需求量为[100,120)的频率为0.005×20＝0.1， 需求量为[120,140)的频率为0.01×20＝0.2， 需求量为[140,160)的频率为0.015×20 ＝0.3， 需求量为[160,180)的频率为0.012 5×20 ＝0. 25， 需求量为[180,200]的频率为0.007 5×20＝0.15.
则平均数x＝ 110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153.
(2)因为每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元，
所以当100≤x≤160时，y＝50x－30×(160－x)＝80x－4 800，
当160＜x≤200时，y＝160×50＝8 000，
所以y＝???
80x－4 800，100≤x≤160
?8 000，160＜x≤200x∈N)．
?
( (3)因为利润不少于4 800元，所以80x－4 800≥4 800，
解得x≥120.
所以由(1)知利润不少于4 800元的概率P＝1－0.1＝0.9.
交汇点二 古典概型与独立性检验的交汇
)某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影
响”，部分统计数据如下表：
使用智能不使用智能手合计 手机人数 机人数 学习成绩优秀人数 4 8 12 学习成绩不优秀人数 16 2 18 - 8 - / 11
[(2017·长沙模拟合计 参考数据： 20 10 30 P(K2≥k0) k0 参考公式：K＝
2
0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 b＋d
0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 a＋b
nad－bc2c＋da＋c
，其中n＝a＋b＋c＋d
(1)试根据以上数据运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用智能手机对学习有影响？
(2)研究小组将该样本中使用智能手机且成绩优秀的4位同学记为A组，不使用智能手机且成绩优秀的8位同学记为B组，计划从A组推选的2人和B组推选的3人中，随机挑选2人在学校升旗仪式上作“国旗下讲话”分享学习经验．求挑选的2人恰好分别来自A，B两组的概率． 解析：(1)由题易求得K＝10，因为7.879 (2)记A组推选的2名同学为a1，a2，B组推选的3名同学为b1，b2，b3， 则从中随机选出2名同学包含如下10个基本事件： (a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)． 记挑选的2人恰好分别来自A，B两组为事件Z， 则事件Z包含如下6个基本事件： 63 (a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)．故P(Z)＝＝， 1053 即挑选的2人恰好分别来自A，B两组的概率是. 5[类题通法] 古典概型与独立性检验的交汇问题的解题策略 (1)古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助表格，树状图列举；同时注意判断是古典概型还是几何 概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都有等可能性． (2)独立性检验是用来考察两个分类变量是否有关系，计算随机变量的观测值K，K越大，说明 两个分类变量有关系的可能性越大． [演练冲关] 2．(2017·洛阳模拟)雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格指标考核．某省环保部门为加强环境执法监管，认真进行责任 2 2 2 2 - 9 - / 11 追究，派遣四个不同的专家组对A，B，C三座城市进行治霾落实情况检查． (1)若每个专家组随机选取一个城市进行检查，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同， 且每一个城市必须有专家组选取，求A城市恰有两个专家组选取的概率； (2)在检查的过程中专家组从A城市的居民中随机抽取出400人进行是否户外作业人员与是否患 有呼吸道疾病进行了统计，统计结果如下： 分类 户外作业人员 非户外作业人员 合计 患呼吸道疾病 40 60 100 未患呼吸道疾病 60 240 300 合计 100 300 400 根据上面的统计结果，我们是否有超过99%的把握认为“户外作业”与“患呼吸道疾病”有关？ 附：K＝ 2 a＋b nad－bc2c＋da＋c b＋d0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 P(K2≥k0) k0 P(K2≥k0) k0 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 解析：(1)若每个专家组随机选取一个城市进行检查，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，且每一个城市必须有专家组选取，共有36种不同方法，若设四个专家组分别为1,2,3,4，则各种选取方法如下表所示： A 1,2 1,2 1,3 1,3 B 3 4 2 4 C 4 3 4 2 A 3 4 2 4 B 1,2 1,2 1,3 1,3 …… C 4 3 4 2 A 3 4 2 4 B 4 3 4 2 C 1,2 1,2 1,3 1,3 3,4 3,4 1 2 2 1 1 2 3,4 3,4 2 1 1 2 2 1 3,4 3,4 其中，A城市恰有两个专家组选取的有12种不同方法，如表中前三列所示． 121 故A城市恰有两个专家组选取的概率P＝＝. 363 400×40×240－60×6022 (2)K的观测值k＝＝16，16＞6.635， 100×300×100×300所以有超过99%的把握认为“户外作业”与“患呼吸道病”有关． - 10 - / 11 - 11 - / 11
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