课时作业31 数列的概念与简单表示法
一、选择题
2468
1.数列,-,,-,…的第10项是( )
357916
A.- 1720C.- 21
18B.- 1922D.- 23
解析:所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通项公式时,我们可以把每一部分进行分解:符号、分母、分子.很容易归纳出数列{an}的通项公式an=(-1)20=-.
21
答案:C
2.若数列{an}的通项公式是an=(-1)(3n-2),则a1+a2+…+a10等于( ) A.15 C.-12
B.12 D.-15
10
n+1
·
2n,故a10
2n+1
n解析:由题意知,a1+a2+…+a10=-1+4-7+10-…+(-1)×(3×10-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)×(3×9-2)+(-1)×(3×10-2)]=3×5=15.
答案:A
3.若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=5A. 6C.1 30
1
,则等于( ) n+1a5
6
B. 5D.30
9
10
n解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=答案:D
n-1-=n+1nnn1
n+
1
,所以=5×6=30.
a5
4.已知数列{an}的通项公式为an=n-2λn(n∈N),则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
2*
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:若数列{an}为递增数列,则有an+1-an>0,即2n+1>2λ对任意的n∈N都成立,333
于是有3>2λ,λ<.由λ<1可推得λ<,但反过来,由λ<不能得到λ<1,因此“λ<1”
222是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件,故选A.
答案:A
1
5.(2017·衡水中学一调)已知前n项和为Sn的正项数列{an}满足lgan+1=(lgan+lgan2
+2
*
),且a3=4,S2=3,则( ) A.2Sn=an+1 C.2Sn=an-1
2
B.Sn=2an+1 D.Sn=2an-1
解析:依题意,an+1=anan+2,故数列{an}为等比数列.由a3=4,S2=3,解得a1=1,q=2,故an=2
答案:D
6.(2017·郑州一中一联)在数列{an}中,若对任意的n∈N均有an+an+1+an+2为定值,且a7=2,a9=3,a98=4,则数列{an}的前100项的和S100=( )
A.132 C.68
*
*
n-1
1-2n.Sn==2-1=2an-1,故选D.
1-2
nB.299 D.99
解析:因为在数列{an}中,若对任意的n∈N均有an+an+1+an+2为定值,所以对任意的
n∈N*均有an+an+1+an+2=an+1+an+2+an+3,即an+3=an,所以数列{an}是以3为周期的周期
数列.又因为a7=2,a9=3,a98=4,所以a1+a2+a3=2+3+4=9,所以S100=33×(a1+a2+a3)+a100=33×9+2=299.
答案:B 二、填空题
7.数列{an}中,已知a1=1,a2=2,an+1=an+an+2(n∈N),则a7=________. 解析:由已知an+1=an+an+2,a1=1,a2=2.能够计算出a3=1,a4=-1,a5=-2,a6
=-1,a7=1.
答案:1
8.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-n,则an=________.
解析:当n=1时,S1=a1=2a1-1,得a1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1
+(n-1),即an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1),∴数列{an+1}是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,∴an+1=2·2
答案:2-1
nn-1
*
=2,∴an=2-1.
nn9.若数列{an}满足a1=-1,n(an+1-an)=2-an+1(n∈N),则数列{an}的通项公式是an=________.
解析:∵n(an+1-an)=2-an+1,∴(n+1)an+1-nan=2,∴数列{nan}是首项为-1,公差3
为2的等差数列,∴nan=2n-3,∴an=2-. *
n3
答案:2-
n三、解答题
10.已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=(1)求a2,a3.
(2)求{an}的通项公式.
4
解:(1)由S2=a2得3(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1=3.
35
由S3=a3得3(a1+a2+a3)=5a3,
33
解得a3=(a1+a2)=6.
2(2)由题设知a1=1. 当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=整理得an=
n+2
an.
3
n+2n+1
an-an-1,
3
3
n+1
an-1.于是a1=1, n-1
a2=a1, a3=a2,
……
42
31
nan-1=an-2,
n-2n+1an=an-1.
n-1
将以上n个等式两端分别相乘, 整理得an=
nn+
2
. 显然,当n=1时也满足上式. 综上可知,{an}的通项公式an=
nn+
2
.
1n+1
11.(2017·安徽合肥质检)在数列{an}中,a1=,an+1=an,n∈N*.
22n?an?
(1)求证:数列??为等比数列;
?n?
(2)求数列{an}的前n项和Sn. 解:(1)证明:由an+1=列.
?an?11an?1?nn(2)由(1)知??是首项为,公比为的等比数列,所以=??,所以an=n.
22n?2?2?n?
?an?n+1an+11an11
an知=·.所以??是以为首项,为公比的等比数2nn+12n22?n?
12n所以Sn=1+2+…+n①
222112n则Sn=2+3+…+n+1,② 2222
11111nn+2n+2①-②,得Sn=+2+3+…+n-n+1=1-n+1,所以Sn=2-n.
22222222
1.(2017·重庆高考适应性测试)在数列{an}中,若a1=2,且对任意正整数m,k,总有
am+k=am+ak,则{an}的前n项和Sn=( )
A.n(3n-1) C.n(n+1)
B.D.
nn+
2
nn+
2
解析:依题意得an+1=an+a1,即有an+1-an=a1=2,所以数列{an}是以2为首项,2为公差的等差数列,an=2+2(n-1)=2n,Sn=
答案:C
2.(2017·江西师大附中、鹰潭一中联考)定义:在数列{an}中,若满足
*
n+2n=n(n+1),选C. 2
an+2an+1
-=d(nan+1an∈N,d为常数),称{an}为“等差比数列”.已知在“等差比数列”{an}中,a1=a2=1,a3=3,则a2 015
=( ) a2 013
2
A.4×2 015-1 C.4×2 013-1 解析:由题知?
2
B.4×2 014-1 D.4×2 013
2
2
?an+1?an+1anan-1
?是首项为1,公差为2的等差数列,则=2n-1,所以an=×anan-1an-2?an?
×=(2n-3)·(2n-5)×…×1.所以
=
--
--
a2a1a2 015
a2 013
=4 027×4 025=(4 026+1)(4 026-1) =4 026-1=4×2 013-1. 答案:C
1+an3.(2017·贵阳监测)已知数列{an}满足a1=2,an+1= 1-an(n∈N),则该数列的前2 015项的乘积a1·a2·a3·…·a2 015=________. 解析:由题意可得,a2=
1+a11+a211+a311+a4
=-3,a3==-,a4==,a5==2=1-a11-a221-a331-a4
*
2
2
a1,∴数列{an}是以4为周期的数列,而2 015=4×503+3,a1a2a3a4=1,
∴前2 015项的乘积为1·a1a2a3=3. 答案:3
503
?1?n*
4.在数列{an}中,a1=1,anan+1=??(n∈N).
?2?
(1)求证:数列{a2n}与{a2n-1}(n∈N)都是等比数列;
(2)若数列{an}的前2n项和为T2n,令bn=(3-T2n)·n·(n+1),求数列{bn}的最大项.
*
an+211?1?n?1?n+1
解:(1)证明:因为anan+1=??,an+1an+2=??,所以=.又a1=1,a2=,所以an22?2??2?
1
数列a1,a3,…,a2n-1,…,是以1为首项,为公比的等比数列;
2
11
数列a2,a4,…,a2n,…,是以为首项,为公比的等比数列.
22
?1?n??1?n1?1-???1-????2?2??2??
(2)由(1)可得T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=+=3-
111-1-22?1?n3??. ?2?
?1?n所以bn=3n(n+1)??,
?2?
bn+1=3(n+1)(n+2)??n+1,
2
?1???
?1?n?n+2-n?
所以bn+1-bn=3(n+1)????
?2??2??1?n+1
=3(n+1)??(2-n),
?2?
所以b1
所以(bn)max=b2=b3=.
2
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