【2020高考数学】 三角形中的最值问题专项复习

【2020高考数学】 三角形中的最值问题专项复习

【基础知识】 1.与解三角形相关的结论 (1)在△ABC中,A>B? .

(2)在锐角三角形ABC中,A+B>,sin A> .,cos A< .

(3)在钝角三角形ABC中,设C为钝角,则A+B<,sin A< .,cos A> . (4)在△ABC中,=||||cos C=abcos C=ab·.

2.基本不等式与余弦定理的联系性：a?b?(a?b)?2ab

22a?ba?b2?() a2+b2≥2ab与ab≤，

22222【基本策略】 1.边的角度：三边变两边，借助基本不等式求最值；

2.角的方向：正弦定理边化角，三角化一角然后借助三角函数有界性求范围； 3.函数观点：引入变量，明确变量的范围，建立函数关系式，利用求导等方法求范围； 4.结构转化：化简结构，把多元减少为二元或者一元，然后借助对应方法求解.

【基本技能】 解决与三角形相关的范围问题的方法

方法 解 读 典例指引 利用基 本不等式 利用函 余弦定理与重要不等式a2+b2≥2ab,三角形两个边的和与基本不等式a+b≥2,三角典例导引 形面积公式与ab≤,通过这些结合点,求解范围问题,注意等号成立的条件 通过建立参数与已知角或边的关系,把角或边作为自变量,参数作为函数值,转化典例导引 为函数关系,将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制,2 以及三角形自身范围限制 解题时尽量把角的范围缩小到最小限度.如△ABC为锐角三角形,则要求三个角均为锐角 1 数的值域 温馨提醒 例(1) ABC的内角A， B， C的对边分别为a， b， c，且满足a?2， acosB??2c?b?cosA． （1）求角A的大小；

（2）求△ABC周长的最大值．

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2.在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足?2a?b?cosC?ccosB?0． （1）求角C的大小；

（2）求sinAcosB的取值范围．

【针对训练】 一、单选题

1．（2020·黑龙江高三（理））设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，在VABC中，

BC?6,?BAC?60?,则三棱锥D?ABC体积的最大值为（ ）

A．123 B．183 C．243 D．543 2．（2020·山西高三（理））在锐角?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，?ABC的面积为S，若

sin(A?C)?A．2

12StanC?，则的最小值为（ ） 222tan(B?C)b?cB．2

C．1

D．22 2c，3．（2018·河南高考模拟（理））已知锐角?ABC中，角A，若b?a?a?c?，C所对的边分别为a，b，B，

sin2A则的取值范围是（ ） sin?B?A??2?0,A．??2?? ???13?B．??2,2??

???12?C．??2,2??

???3?0,D．??2?? ??4．（2019·安徽高三月考（理））阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值?(??0,??1)的动点的轨迹.已知在?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA?2sinB，acosB?bcosA?2，

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则?ABC面积的最大值为（ ） A．2

B．3 C．

4 3D．

5 35．（2019·长沙市明德中学高三开学考试（理））已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+c2﹣bc，a＝3，则△ABC 的周长的最大值为（ ） A．23 B．6

C．3 D．9

uuuruuuruuuruuuruuur26．（2019·山西太原五中高三月考）在?ABC中，若3(CA?AB?CB?AB)?2|AB|，则tanA?最小值为（ ） A．5 B．25 C．6

D．

1的tanB6 27．（2019·河南高三月考（理））在锐角?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，?ABC的面积为S，若

sin(A?C)?A．(0,,)

648．（2019·吉林高三月考（理））?ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，若b?23，且?ABC的面

积为S??A．1

?) 42S，则C的取值范围为（ ）

b2?c2????B．(,) C．(,)

6362D．(??322a?c?b2，则a?c的最大值为（ ） 4??B．2 C．3 D．4

9．（2019·黑龙江鹤岗一中高三月考（理））锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则

asinA的取值范围是（ ） b?33?,?? 62??B．??A．???33?,?? 42??C．???1?2,3?? 2??D．???31?,?? 62??10．（2019·重庆南开中学高三月考（理））在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

c?a?2acosB，则

A．2

3a?c的最小值为（ ） bB．3 C．22 D．3

11．（2019·安徽高考模拟（文））已知锐角VABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c?1，三角形ABC的面积S△ABC?1，则a2?b2的取值范围为( )

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A．??17?,??? ?2?B．?9,???

C．??17?,9? ?2?D．??17?,9? ?2?12．（2019·四川高三月考（文））已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

?a?b??sinA?csinC?bsinB,若c?2A．43 C．63 3，则△ABC的周长的最大值为（ ）

B．3?43 D．3?63

13．（2019·河南鹤壁高中高考模拟（文））在?ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a,b,c，若ac?4，

sinB?2sinCcosA?0，则?ABC面积的最大值为（ ）

A．1 二、填空题

14．（2019·河北高三月考（文））已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，且2a?B．3 C．2

D．4

?a??bcosB??b2?c2，则b+c的取值范围为_____． ?2?A3?sinA，若a?23，则?ABC周长的2315．（2019·安徽高三期末（理））在?ABC中，已知2cos2取值范围为__________．

16．（2019·重庆高三月考（理））在?ABC中，BC?4，sinC?2sinB，则当?ABC的面积取得最大值时，BC边上的高为______.

17．（2019·江西高三月考（理））设?ABC的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列，

cos?A?C??cosB?1，延长BC至D，若BD?2，则?ACD面积的最大值为__________. 218．（2019·广东高考模拟（文））在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，?ABC?120?，?ABC的平分线交AC于点D，且BD?1，则4a?c的最小值为________． 19．（2019·辽宁沈阳二中高三月考（理））已知?ABC为锐角三角形，满足

uuuruuuruuursinBsinC??sinB?sinC?sinA?tanA，?ABC外接圆的圆心为O，半径为1，则OA?AB?AC222??的取值范围是______.

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【2020高考数学】 三角形中的最值问题专项复习

例(1)

ABC的内角A， B， C的对边分别为a， b， c，且满足a?2， acosB??2c?b?cosA．

（1）求角A的大小；

（2）求△ABC周长的最大值．

【答案】解：（1）由已知，得acosB?bcosA?2ccosA． acosB?bcosA?2ccosA

由正弦定理，得sinAcosB?sinBcosA?2sinCcosA

sinAcosB?sinBcosA?2sinCcosA，

即sin?A?B??2sinCcosA sin?A?B??2sinCcosA．

因为sin?A?B??sin???C??sinC， sin?A?B??sin?π?C??sinC 所以sinC?2sinCcosA． sinC?2sinCcosA 因为sinC?0 sinC?0，所以cosA?12． 因为0?A??，所以π3 A??3．

（2）由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA， a2?b2?c2?2bccosA 2得bc?4?b2?c2，即?b?c?2?3bc?4．因为bc???b?c??2??，

所以?b?c?2?34?b?c?2?4． 即b?c?4（当且仅当b?c?2

b?c?2 时等号成立）

． 所以a?b?c?6．故△ABC周长 a?b?c的最大值为6．

2.在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足?2a?b?cosC?ccosB?0． （1）求角C的大小；

（2）求sinAcosB的取值范围．

【答案】解：（1）因为?2a?b?cosC?ccosB?0，所以2acosC???bcosC?ccosB?， 由正弦定理得2sinAcosC???sinBcosC?sinCcosB???sin?B?C???sinA， 因为在?ABC中sinA?0，所以cosC??12?2，所以C?3．

（2）由（1）知A?B??3，所以B??3?A???0＜A＜??3??， 所以sinAcosB?sinAcos?????1?3?A???sinA??cosA?3sinA??22?? ?

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