例2：当x?12时,求x?82x?1的最小值及对应的x的值. 练习：
若x?3，求y?x?1x?3的最小值。
例3：设x、y为正数, 则(x?y)(1?4xy)的最小值为( ) A. 6 B.9 C.12 D.15
例4：当x>1时，不等式x?1x?1?a恒成立，则实数a的取值范围是（A．(－∞,2] B．[2,+∞) C．[3,+∞) D．(－∞,3]
例5：函数f(x)?x?4x(x?0)的值域是_____________。
2题型3：ab???a?b??的应用
?2?例1：若0?x?1，求y?x(1?x)的最大值。
练习： 1、若0?x?12，求y?x(1?2x)的最大值为________。
2、若x?0，则y?x?4?x2的最大值为________。
题型4：构造基本不等式解决最值问题
）
x2?2x?1例1：求函数f(x)?（x?0）的值域。
x
练习： 1、f(x)?
x（x?0）的值域是________。
x2?2x?4x2?7x?10(x??1)的最小值为_________。(分离法、换元法) 2、y?x?1
根式判别法
把函数转化成关于x的二次方程F?x,y??0,通过方程有实根,判别式??0,从而求
ax2+bx+c得原函数的值域.对于形如,y=2其定义域为R,且分子分母没有公因式的函
ex+fx+g数常用此法。
x2?x?1例3求函数y?2的值域
x?x?2解：∵定义域为{x?1且x??2}
∴?y?1?x2??y?1?x?2y?1?0在定义域内有解 当y?1?0时：
即y?1时，方程为?1?0，这不成立，故y?0. 当y?1?0时，即y?1时：
???y?1??4?y?1???2y?1??0
2解得y?
5
或y?1 9
∴函数的值域为
5?????,???1,???
9??换元法
1的函数,令f(x)利用代数或三角换元,将所给函数转化为易求值域的函数,形如y=f(x)=t;形如y?ax?b?cx?d,其中a，b，c，d为常数，令cx+d=t;形如y?a2?x2的结构函数,令x?acos?x??0,??或令x=asinθ例5求函数y?x?1?x2
解：令x=acosθ，y?cos??sin??2cos???????4??
∵
0≤θ≤π
∴
ππ4≤θ+4≤5π4 ∴
?1?cos???????24???2 ∴?2?y?1即所求值域为
??2,1?
例2：已知a?0，b?0，若ab?2，则a?b的最小值为_______。 例3：已知x,y?R?，且x?4y?1，则x?y的最大值为_______。 例4：已知a?0，b?0，若a?b?2，则lga?lgb的最大值为_______。例5：求函数y?x2?5x2?4的值域。
????????2,2??
?
练习：
1、已知x?0,y?0，且3x?4y?12。求lgx?lgy的最大值及相应的x,y值。
2、已知a?0，b?0，若ab?2，则a?2b的最小值为_______。
3、已知a?0，b?0，若a?2b?2，则ab的最大值为_______。
ab4、若a,b为实数，且a?b?2，则3?3的最小值是（ ）
（A）18 （B）6
（C）23 （D）243
题型5： “常量代换”（“1的活用”）在基本不等式中的应用
例1：已知正数x、y满足x?2y?1，求
练习：
1、已知a?0，b?0，若a?b?2，则
2、已知a?0，b?0，若a?2b?2，则
例2：已知a?0，b?0，点P(a,b)在直线x?2y?2?0上，则
2：已知x?0,y?0，且
变式： （1）若x,y?R且2x??11?的最小值。 xy11?的最小值为_______。 ab12
?的最小值为_______。 ab
12
?的最小值为_______。 ab
19??1，求x?y的最小值。 xyy?1，求1?1的最小值
xy
?(2)已知a,b,x,y?R且a?b?1，求x?xyy的最小值
练习：
1、设a?0,b?0.若3是3与3的等比中项，则 A . 8 B . 4 C. 1 D.
ab11?的最小值为（ ） ab1 4222、若直线ax?2by?2?0(a?0,b?0)，始终平分圆x?y?4x?2y?8?0的周长，则1?2的最
ab小值为（ ） A．1
例3：已知a?0,b?0，且三点A?1,1?,B?a,0?,C?0,b?共线，则a?b的最小值为 。
题型6：2ab?a?b?2(a?b)的应用
22B．5
C．42 D．3?22
1、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x ＋2y 的最值.
2、求函数y?2x?1?5?2x(1?x?5)的最大值。
22
【拓展提升】
1、已知x，y为正实数，且x 2＋
y 22
＝1，求x1＋y 2 的最大值.
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