第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C

一、填空题（每小题 10 份，共 80 分）

1. 计算：

3.2-2.952?0.3+=_____ 120.25?2+2.3-145

【答案】1

【考点】计算：分数小数综合运输 【解析】

原式?0.250.6?0.750.9 12??33?1

2. 在右边的算式中，每个汉字代表 0 至 9 这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字，则“ 数学竞赛 ”所代表的四位数是________．

【答案】1962

【考点】组合：数字谜 【解析】

遇到减法数字谜通常变成加法会更利于分析：

?竞赛数学竞赛 2024 赛?赛个位为4，所以赛为2或7，若赛为7则会进位，和的十位只能是奇数，所以赛?2；

竞?竞个位为2，若竞?2，原式为12?2012?2014，有重复数字；所以竞?6，数学竞赛?1962．

3. 如下图，在直角三角形 ABC 中，点 F 在 AB 上且 AF ??2 FB ，四边形 EBCD 是平行四边形，那么 FD : EF为________．

【答案】2:1

【考点】几何：沙漏模型 【解析】

∵AC∥BE

由沙漏模型可知

FD:EF?AF:FB?2:1

//

4. 下图是由若干块长 12 厘米、宽 4 厘米、高 2 厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点．一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面．如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒 2 厘米，向下爬行的速度为每秒 3 厘米，水平爬行的速度为每秒4 厘米，则蚂蚁至少爬行了多少秒？

【答案】40秒

【考点】组合：最值问题 【解析】

要想时间最少，则需要按如图中的粗线爬行；蚂蚁向上、向下爬行的最短路程是12?2?6?2?36厘米，水平爬行的路程是12?3?2?2?40厘米，所以至少用时36?2?36?3?40?4?40秒

5. 设 a ，b， c，d ，e均是自然数，并且 a ??b?? c??? d??? e??， a ???b??c??4d??5e??300 ， 则 a ? b的最大值为________．

【答案】35

【考点】组合：最值问题 【解析】

a和b是五个数中最小的两个，要想a?b最大，则希望这五个数尽量接近，先估算再

局

部

调

整

；

300??1?2?3?4?5??20，则先让c?20．而

300，调整得：，大于

17?2?18?3?19?4?20?5?21?295，离300差5，则最后让5e?5?22即可．所以a?b的最大值17?18?35．

也可通过计算证明a?b最大只能取到35：

18?2?19?3?20?4?21?5?22?310//

300?a?2b?3c?4d?5e?a?2b?3(b?1)?4(b?2)?5(b?3)?a?14b?26?a?6(a?1)?7b?b?26?7(a?b)?b?32? 15(a?b)?322可得a?b?3511 15

6. 现有甲、乙、丙三个容量相同的水池．一台 A 型水泵单独向甲水池注水，一台 B 型水泵单独向乙水池注水，一台 A 型和一台 B 型水泵一期向丙水池注水．已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多 4 个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多 5 个小时，则注满丙水池的三分之二需要________个小时．

【答案】4

【考点】应用题：工程问题 【解析】

设注满丙池用x小时，则注满乙池用时?x?4?小时，注满甲池用时?x?9?小时；利用丙池工效应该等于甲乙两池工效之和可得：

111??x?4x?9xx?9?x?41??x?4??x?9?x2x?131

?x?13x?36x2x2?13x?x2?13x?362x2?36x?6所以注满丙池的三分之二需要6?2?4小时 3注:通常工程问题都设工效为未知数，但此题如果设工效，则方程非常难解，需要用到初中知识因式分解中的十字交叉法，对于小学生来说是无法做的．而本题解法比较巧妙，设丙池的时间，最终只需要解x2?36即可，所以有时候还是需要有突破性的思维，学会打破常规，寻求出路．

7. 用八块棱长为 1cm 的小正方体堆成一个立体图形，其俯视图如下图所示，则共有 ________种不同的堆法．（经过旋转能重合的算一种堆法）

【答案】10

【考点】计数：分类枚举 【解析】

法一：（先每列放几块讨论） 可以直接分类枚举，也可以先再每个位置放一块，这样只需要分析剩下4块的方法即可

4?4?0?0?0，1种；

40 00//

3113304?3?1?0?0，3种， ，（这两个不一样，此题的易错点），

0000012220 ，

0002200221 ，，

11111011． 114?2?2?0?0，2种，

4?2?1?1?0，3种，

4?1?1?1?1，1种，

共：1?3?2?3?1?10种 法二：（按每层放几块讨论）

底层已用了四块小方体，考虑第二层分别有一、二、三、四块的情况．见下图，第二层有一块，只有1种堆法；第二层有两块，有5种堆法；第二层有三块，有3种堆法；第二层有四块，只有1种堆法．

总计有10种堆法．

8. 如图， 在三角形 ABC 中，AF ??2 BF ，CE ??3 AE ，CD ??4 BD ， 连接 CF 交 DE 于

P 点，则

EP?_____ DP

//

【答案】

15 8【考点】几何：风筝模型 【解析】

AEFBPC

D连接DF和EF． 因

为

AF?2BF，所以

1S△BCF?S△ABC3,又因为CD?4BD，

4414S△DCF?S△BCF??S△ABC?S△ABC；

55315同理可得S△EFC?EPS△EFC1?S△ABC；所以

DPS△DCF21S△ABC152??．

4S△ABC815 注：填空题所以直接使用了风筝模型的结论，如果是解答题同学们最好自己证明一次．

二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）

9. 有三个农村在一条公路边， 分别在下图所示的 A ，B 和C 处．A 处农场年产小麦 50

吨，B 处农场年产小麦 10 吨，C处农场年产小麦 60 吨．要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦，假设运费从 A 到 C 方向是每吨每千米 1.5 元，从 C 到 A 方向每吨每千米 1元．问仓库应该建在何处才能使运费最低？

【答案】A处

【考点】应用题：分类讨论 【解析】

讨论变化趋势，比较A、B两点设仓库可知A→B运费越来越高，而B→A则运费越来越低，同理可知C→B运费越来越低，而B→C则运费越来越高． 具体比较三点：

（500?1200）?1?10?500?1?107000元 若建在A处，运费为：60?若建在B处，运费为：60?1200?1?50?500?1.5?109500元

（500?1200）?1.5?10?1200?1.5?14550元 若建在C处，运费为：50?//