线面垂直、面面垂直的判定定理练习题
1.如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.
[分析] 只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可，已知AE⊥PC，再证AE⊥BC，则可证AE垂直于平面PBC.
2．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝23，BC＝6.
求证：BD⊥平面PAC.
3．(09·广东文)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．证明：直线BD⊥平面PEG.
?C4. 如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SA?SBS，点D为斜边AC的中点．
1.求证：SD?平面ABC；
2.若AB?BC，求证：BD?面SAC．
S
C A D
B
5．在如下图所示的四面体ABCD中，AB，BC，CD两两互相垂直，且BC＝CD.
求证：1. CD⊥平面ABC 2.平面ACD⊥平面ABC；
6. 如图所示，ABCD为正方形，SA?平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G． 求证：
S BC?平面SAB ， AE⊥平面SBC
F
A G D E C B
详细答案:
1[证明] ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC. 而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC. 又∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE.
又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.
[点评] 利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是：①在这个平面内找两条直线，使它和已知直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交直线；③根据判定定理得出结论．
2[证明] ∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴BD⊥PA.
∵∠BAD和∠ABC都是Rt∠，
∴tan∠ABD＝AD3BC
AB＝3，tan∠BAC＝AB＝3， ∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°. ∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC， 又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.
3[解析] (1)该安全标识墩的体积为：V＝V1P－EFGH＋VABCD－EFGH＝3×402
×60＋402
×20＝32 000＋32 000
＝64 000(cm3)
(2)如图，连接EG、HF及BD，EG与HF相交于O，连接PO.由正四棱锥的性质可知，PO⊥平面EFGH，
∴PO⊥HF，
又EG⊥HF，且BD∥HF∴BD⊥GE 又PO∩EG＝0，
∴BD⊥PO，∴BD⊥平面PEG.
4. 答案：证明：（１）∵SA?SC，D为AC的中点，∴SD?AC． 连结BD．
在Rt△ABC中，则AD?DC?BD． ∴△ADS≌△BDS，∴SD?BD． 又ACBD?D，∴SD?面ABC． （２）∵BA?BC，D为AC的中点， ∴BD?AC．
又由（１）知SD?面ABC， ∴SD?BD． 于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线． ∴BD?面SAC．
5.[解析] (1)证明：∵CD⊥AB，CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
又∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC. (2)∵AB⊥BC，AB⊥CD，且BC∩CD＝C， ∴AB⊥平面BCD.∴AB⊥BD.
∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角． ∵在Rt△BCD中，BC＝CD，∴∠CBD＝45°. ∴二面角C－AB－D的大小为45°.
6.
答案：证明：∵SA?平面ABCD，∴SA?BC．
又AB?BC，∴BC?平面SAB． ∵AE?平面SAB，∴BC?AE，
∵SC?平面AEFG，∴SC?AE，AE?平面SBC，∴AE?SB． 同理AG?SD．
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