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1.2 椭圆的简单性质(二)
学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识． 知识点一 点与椭圆的位置关系
思考1 判断点P(1,2)与椭圆＋y＝1的位置关系．
4
x2
2
x2y2
思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆2＋2＝1(a>b>0)的位
ab置关系的判定吗？
知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系？
x2y2
思考2 如何判断y＝kx＋m与椭圆2＋2＝1(a>b>0)的位置关系？
ab知识点三 直线与椭圆的相交弦
思考 若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？ 梳理 弦长公式：(1)|AB|＝
1＋k2
x1－x2
2
＋y1－y2
2
＝1＋k|x1－x2|＝
2
[x1＋x2
2
－4x1x2]；
1＋
1
2
(2)|AB|＝
1
1＋2|y1－y2|＝
kk[y1＋y2
2
－4y1y2].
注：直线与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率．
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到． 类型一 直线与椭圆的位置关系 命题角度1 直线与椭圆位置关系的判断
例1 直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
23A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判断方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程： (1)Δ>0?直线与椭圆相交?有两个公共点． (2)Δ＝0?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点． (3)Δ<0?直线与椭圆相离?无公共点．
跟踪训练1 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围．
x2y2
x2
2
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命题角度2 距离的最值问题
例2 在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最
47短距离．
反思与感悟 此类问题可用数形结合思想寻找解题思路，简化运算过程，也可以设出所求点的坐标，利用点到直线的距离公式求出最小距离．
跟踪训练2 已知椭圆x＋8y＝8，在椭圆上求一点P，使点P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离． 类型二 弦长及中点弦问题
例3 已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．
3691
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
2(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
反思与感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通用方法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．
跟踪训练3 已知椭圆ax＋by＝1(a>0，b>0且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，
2
2
2
2
x2y2
x2y2
C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜率为类型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例4 已知椭圆4x＋y＝1及直线y＝x＋m.
2
2
2
，求椭圆的方程． 2
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 引申探究
在例4中，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程．
反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．
x2y21
跟踪训练4 椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆
ab2
上一动点，△F1PF2面积的最大值为3. (1)求椭圆的方程；
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(2)已知直线l与椭圆交于A，B两点，且直线l的方程为y＝kx＋3(k>0)，若O为坐标原点，求△OAB的面积的最大值．
1．经过椭圆＋＝1的中心的直线与椭圆的两个交点间距离的最大值为( )
163A．6 B．8 C．10 D．16
2．经过椭圆＋＝1的焦点与椭圆长轴垂直的直线与椭圆的相交弦的长度为( )
96A．1 B．2 C．3 D．4
x2y2
x2y2
x2y2
3．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
m3
A．m>1 C．m>3
B．m>1且m≠3 D．m>0且m≠3
4．过点P(－1,1)的直线交椭圆＋＝1于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，则AB42所在的直线方程为________________．
5．直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y＝1交于M，N两点，
242
且|MN|＝，求直线l的方程．
3
解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为 (1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)； (2)联立直线与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求；
(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．
x2y2
x2
2
答案精析
问题导学 知识点一
3332
思考1 当x＝1时，得y＝，故y＝±，而2>，故点在椭圆外．
422
x2y200
思考2 当P在椭圆外时，2＋2>1；
abx2y200
当P在椭圆上时，2＋2＝1；
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x2y200
当P在椭圆内时，2＋2<1.
ab知识点二
思考1 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离．
y＝kx＋m，??22
思考2 联立?xy2＋2＝1，??ab
消去y得关于x的一元二次方程.
位置关系 相交 相切 相离 知识点三
解的个数 两解 一解 无解 Δ的取值 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 思考 有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得，另一种方法是利用弦长公式可求得． 题型探究
例1 A [直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．]
跟踪训练1 解 由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋2， 代入椭圆方程得＋(kx＋2)＝1. 2
x2
2
?12?2
整理得?＋k?x＋22kx＋1＝0.
?2?
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
2??Δ＝8k2－4?＋k?＝4k2－2＞0，
1
?2
?
解得k＜－
22或k＞. 22
即k的取值范围为
2??2??
?－∞，－?∪?，＋∞?.
2??2??
3xy例2 解 设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，代入＋＝1，
247并整理得4x＋3mx＋m－7＝0，
2
2
2
2
Δ＝9m2－16(m2－7)＝0?m2＝16?m＝±4，
33
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，
22
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