历年全国高中数学联赛《平面几何》专题真题汇编

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1、如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．

2、如图：⊿ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N。求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE；（2）OH⊥MN。

【解析】证明：(1)∵A、C、D、F四点共圆 ∴∠BDF＝∠BAC

1 又∠OBC＝2(180°－∠BOC)＝90°－∠BAC

∴OB⊥DF． (2)∵CF⊥MA

∴MC 2－MH 2＝AC 2－AH 2 ① ∵BE⊥NA

∴NB 2－NH 2＝AB 2－AH 2 ② ∵DA⊥BC

∴BD 2－CD 2＝BA 2－AC 2 ③ ∵OB⊥DF

∴BN 2－BD 2＝ON 2－OD 2 ④ ∵OC⊥DE

∴CM 2－CD 2＝OM 2－OD 2 ⑤ ①－②＋③＋④－⑤，得

NH 2－MH 2＝ON 2－OM 2 MO 2－MH 2＝NO 2－NH 2 ∴OH⊥MN

∵kOBkDF??1 ∴OB⊥DF 同理可证OC⊥DE． c在直线BE的方程

y?a(x?b)中令x＝0得H(0，?bca)

bc?a2?bckOH?2aaa2?3bcb?c?ab?ac ∴

2

直线DF的方程为

y?ab?aca2?bcx

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ab?ac?y?x??a2?bc?a2c?bc2abc?ac2?y??a(x?c),2222?c? 由 得N (a?2bc?ca?2bc?c) a2b?b2cabc?ab2,222a?2bc?ba?2bc?b2) 同理可得M (

∴

kMNa(b2?c2)(a2?bc)ab?ac???(c?b)(a2?bc)(a2?3bc)a2?3bc

∵kOH ·kMN ＝－1，∴OH⊥MN．

3、如图，在⊿ABC中，∠A=60°，AB>AC，点O是外心，两条高BE、CF交于H

MH?NHOH点，点M、N分别在线段BH、HF上，且满足BM=CN，求的值。

4、过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间．在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC．求证：∠DBQ=∠PAC．

分析：由∠PBC=∠CDB，若∠DBQ=∠PAC=∠ADQ，则?BDQ∽?DAQ．反之，若?BDQ∽?DAQ．则本题成立．而要证?BDQ∽?DAQ，只要证

BDDQ=即可． ADAQ

5、在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．

6、如图，在△ABC中，设AB>AC，过A作△ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D；交直线l于E、F。证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心。

（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。）

【解析】证明：（1）先证DE过△ABC的内心。

如图，连DE、DC，作∠BAC的平分线分别交DC于G、DE于I，连IC， 则由AD=AC，

得，AG⊥DC，ID=IC. 又D、C、E在⊙A上，

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7、以B0和B1为焦点的椭圆与△AB0B1的边ABi交于Ci（i=0，1）。在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心，B0P0为半径作圆弧P0Q0交C1B0的延长线于Q0；以C1为圆心，C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于P1；以B1为圆心，B1P1为半径作圆弧P1Q1交B1C0的延长线于Q1；以C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧Q1P′0，交AB0的延长线于P′0。试证：

（1）点P′0与点P0重合，且圆弧P0Q0与P0Q1相内切于P0； （2）四点P0、Q0、Q1、P1共圆。

【解析】以B0和B1为焦点的椭圆与△AB0B1的边ABi交于Ci（i=0，1）。在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心，B0P0为半径作圆弧P0Q0交C1B0的延长线于Q0；以C1为圆心，C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于P1；以B1为圆心，B1P1为半径作圆弧P1Q1交B1C0的延长线于Q1；以C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧Q1P′0，交AB0的延长线于P′0。试证：

（1）点P′0与点P0重合，且圆弧P0Q0与P0Q1相内切于P0；

（2）四点P0、Q0、Q1、P1共圆。 证明：（1）显然B0P0=B0Q0，并由圆弧P0Q0和Q0P1，Q0P1和P1Q1，P1Q1和Q1P′0分别相内切于点Q0、P1、Q1，得C1B0+B0Q0=C1P1，B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1以及

C0Q1=C0B0+B0P′0。四式相加，利用B1C1+C1B0=B1C0+C0B0以及P′0在B0P0或其延长线上，有B0P0=B0P′0。

从而可知点P′0与点P0重合。由于圆弧Q1P0的圆心C0、圆弧P0Q0的圆心B0以及P0在同一直线上，所以圆弧Q1P0和P0Q0相内切于点P0。

（2）现在分别过点P0和P1引上述相应相切圆弧的公切线P0T和P1T交于点T。又过点Q1引相应相切圆弧的公切线R1S1，分别交P0T和P1T于点R1和S1。连接P0Q1和P1Q1，得等腰三角形P0Q1R1和P1Q1S1。基于此，我们可由

∠P0Q1P1=π?∠P0Q1R1?∠P1Q1S1=π?(∠P1P0T?∠Q1P0P1)?(∠P0P1T?∠Q1P1P0) 而π?∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0，代入上式后，即得

11?P0Q1P(?P?P0Q0P(?P1???1P0T??P0P1T)1???1P0T??P0P1T)22，同理可得。

所以四点P0、Q0、Q1、P1共圆。

8、如图，在锐角△ABC中，AB

9、如图，给定凸四边形ABCD，?B??D?180，P是平面上的动点，令

f(P)?PA?BC?PD?CA?PC?AB．

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（1）求证：当f(P)达到最小值时，P、A、B、C四点共圆；

AE3BC??3?1?AB2?ABCOECAB（2）设E是外接圆的上一点，满足：，，1?ECB??ECA2，又DA,DC是eO的切线，AC?2，求f(P)的最小值．

解得

cos??13cos???oo23（舍去）2或，故??30，?ACE?60． 由已知

BC?3?1EC=

sin??EAC?300?sin?EACosin(?EAC?30)?(3?1)sin?EAC，即,有

312?31sin?EAC?cos?EAC?(3?1)sin?EACsin?EAC?cos?EAC222，整理得2，

tan?EAC?故

1?2?3oo2?3，可得?EAC?75，从而?E?45，

?DAC??DCA??E?45o，?ADC为等腰直角三角形．因AC?2，则CD?1．又

?ABC也是等腰直角三角形，故BC?2，BD2?1?2?2?1?2cos135o?5，

BD?5．故f(P)min?BD?AC?5?2?10．

方法二：（1）如图2，连接BD交?ABC的外接圆O于P0点（因为D在eO外，故P0在BD上）．

过A,C,D分别作P0A,P0C,P0D的垂线，两两相交得?A1B1C1，易知P0在?ACD内，从而在?A1B1C1内，记?ABC之三内角分别为x，y，z，

（第1题图2）

B1A1?P0C则?AP0C?180??y?z?x，又因B1C1?P0A，，得?B1?y，同理有?A1?x，

?C1?z，

所以?A1B1C1∽?ABC．设B1C1??BC，C1A1??CA，A1B1??AB，则对平面上任意点

M，有

?f(P0)??(P0A?BC?P0D?CA?P0C?AB)?P0A?B1C1?P0D?C1A1?P0C?A1B1?2S?ABC

111 ?MA?B1C1?MD?C1A1?MC?A1B1??(MA?BC?MD?CA?MC?AB)??f(M)，

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从而 f(P0)?f(M)．由M点的任意性，知P0点是使f(P)达最小值的点．由点P0在eO上，故P0、A、B、C四点共圆．

方法：（1）引进复平面，仍用A,B,C等代表A,B,C所对应的复数．由三角形不等式，对于复数z1,z2，有 号． 有

z1?z2?z1?z2，当且仅当z1与z2（复向量）同向时取等

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurPA?BC?PC?AB?PA?BC?PC?AB，

所以

(A?P)(C?B)?(C?P)(B?A)?(A?P)(C?B)?(C?P)(B?A) ①

uuuruuur??P?C?A?B?C?B?P?A?(B?P)(C?A)?PB?AC，

从而

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurPA?BC?PC?AB?PD?CA?PB?AC?PD?AC?(PB?PD)?ACuuuruuur?BD?AC． ②

①式取等号的条件是复数 (A?P)(C?B)与(C?P)(B?A)同向，故存在实数??0，使得

A?PB?AA?PB?A??arg()?arg()(A?P)(C?B)??(C?P)(B?A)， C?PC?B，所以 C?PC?B，

uuuruuuruuuruuur向量PC旋转到PA所成的角等于BC旋转到AB所成的角，从而P、A、B、C四点

共圆．

②式取等号的条件显然为B,P,D共线且P在BD上．故当f(P)达最小值时P点在

?ABC之外接圆上，P、A、B、C四点共圆．

（2）由（1）知f(P)min?BD?AC．同方法一

10、如图，M，N分别为锐角三角形?ABC（?A??B）的外接圆?上弧⌒BC 、⌒AC的中点．过点C作PC∥MN交圆?于P点，I为?ABC的内心，连接PI并延长交圆?于T．

⑴求证：MP?MT?NP?NT；

⑵在弧⌒AB（不含点C）上任取一点Q（Q≠A，T，B），记?AQC，△QCB的内

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