课时跟踪检测（三十二） 数列求和
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S5＝25，则S7＝________. 解析：设Sn＝An＋Bn，
??S3＝9A＋3B＝9，
由题知，?
??S5＝25A＋5B＝25，
2
解得A＝1，B＝0，
∴S7＝49. 答案：49 2．数列{1＋2
n－1
}的前n项和为________．
n－1
解析：由题意得an＝1＋2
n，
1－2n所以Sn＝n＋＝n＋2－1.
1－2答案：n＋2－1
3．(2016·江西新余三校联考)数列{an}的通项公式是an＝(－1)(2n－1)，则该数列的前100项之和为________．
解析：根据题意有S100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50＝100. 答案：100
4．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋________．
解析：an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＋a1＝1??11???1－1 ?＋1＝2－1. ＝? 1－ ?＋? － ?＋…＋? ?2??23?n??n－1n?
1
答案：an＝2－
11＋＋…＋1×22×3
1n－
nnn1n＋
(n∈N)，则数列{an}的通项公式为
*
n＋1
n5．(2015·苏北四市调研)已知正项数列{an}满足an＋1－6an＝an＋1an.若a1＝2，则数列{an}的前n项和为________．
解析：∵an＋1－6an＝an＋1an， ∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0， ∵an>0，∴an＋1＝3an，
又a1＝2，∴{an}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴Sn＝
n2
2
22
－3
1－3
n＝3－1.
n答案：3－1
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，并满足：an＋2＝2an＋1－an，a5＝4－a3，则S7＝________. 解析：由an＋2＝2an＋1－an知数列{an}为等差数列， 由a5＝4－a3得a5＋a3＝4＝a1＋a7， 所以S7＝答案：14
?1?2．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列? ?的
?
a1＋a7
2
＝14.
an?
前5项和为________．
解析：设{an}的公比为q，显然q≠1，由题意得
－q1－q3
1－q3＝，所以1＋q＝9，得1－q6
? 1?51－??
?1?131?2?
q＝2，所以? ?是首项为1，公比为的等比数列，前5项和为＝. 2116?an?
1－2
31答案： 16
?1?n3．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3? ?，则其前20项和为________．
?5?
解析：令数列{an}的前n项和为Sn，则S20＝a1＋a2＋…＋a20＝2(1＋2＋…＋20)－1??11
3?＋2＋…＋20?＝2×
5??55
1?3?
答案：420－?1－20?
4?5?
4．已知数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－an－1(n≥2)且b1
＝a2，则|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|bn|＝________.
解析：由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4， ∴bn＝(－3)×(－4)∴|bn|＝3×4
n－1
n－1
＋2
1?1? 1－20 ??5?5?1?3?－3×＝420－?1－20?.
14?5?1－5
，
，
即{|bn|}是以3为首项，4为公比的等比数列． ∴|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝答案：4－1 5.
1111＋2＋2＋…＋2－13－14－1n＋
2
2
－4
1－4
n＝4－1.
nn的值为________． －1
解析：∵
1
n＋
11＝＝22
－1n＋2nnn＋
＝
1?1?1－??， 2?nn＋2?∴
1111＋2＋2＋…＋2－13－14－1n＋
2
2
－1
11?1?11111
＝?1－＋－＋－＋…＋－
32435nn＋2?2??11?1?3
－＝?－?
2?2n＋1n＋2?1?31?1＋＝－??.
42?n＋1n＋2?1?31?1＋答案：－??
42?n＋1n＋2?
112
6．已知数列{an}满足an＋1＝＋an－an，且a1＝，则该数列{an}的前2 017项的和为
22________．
1112
解析：因为a1＝，又an＋1＝＋an－an，所以a2＝1，a3＝，a4＝1，…，即得an＝
2221??，n＝2k－k∈N*，
?2??1，n＝2kk∈N*3 025
. 2
3 025答案：
2
7．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
解析：∵an＋1－an＝2，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2
n－1
nn
?1?1
故数列{an}的前2 017项的和为S2 017＝1 008×?1＋?＋＝
?2?2
＋2
n－2
2－2nn＋…＋2＋2＋2＝＋2＝2－2＋2＝2.
1－2
2
n2－2n＋1
∴Sn＝＝2－2.
1－2答案：2
n＋1
n＋1
－2
n8．(2016·苏州名校联考)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＋(－1)an＝cos(n＋1)π，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 015＝________.
解析：∵an＋1＋(－1)an＝cos(n＋1)π＝(－1)
nn＋1
，
∴当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝－1，k∈N，
∴S2 015＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2 014＋a2 015)＝1＋(－1)×1 007＝－1 006. 答案：－1 006
9．已知数列{an} 的前n 项和Sn＝(1)求数列{an} 的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)an ，求数列{bn} 的前2n 项和． 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝
n*
n2＋n2
，n∈N .
*
n2＋n2
－n－
2
＋2
n－
＝n.
故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)知，an＝n，故bn＝2＋(－1)n. 记数列{bn}的前2n项和为T2n，
则T2n＝(2＋2＋…＋2)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 记A＝2＋2＋…＋2，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则
1
2
2n1
2
2nnnA＝
－21－2
2n＝2
2n＋1
－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
2n＋1
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝2＋n－2.
10．已知数列{an}与{bn}，若a1＝3且对任意正整数n满足an＋1－an＝2，数列{bn}的前
n项和Sn＝n2＋an.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列?
?
?的前n项和Tn. ?bnbn＋1?
1?
解：(1)因为对任意正整数n满足an＋1－an＝2， 所以{an}是公差为2的等差数列． 又因为a1＝3，所以an＝2n＋1. 当n＝1时，b1＝S1＝4； 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1
＝(n＋2n＋1)－[(n－1)＋2(n－1)＋1]＝2n＋1， 对b1＝4不成立．
所以数列{bn}的通项公式为
2
2
bn＝?
?4，n＝1，?
??2n＋1，n≥2.
1
＝. b1b2201
(2)由(1)知当n＝1时，T1＝
当n≥2时，
1
bnbn＋1
＝1
n＋n＋
1?1?1－＝??，
2?2n＋12n＋3?
11??11??11??1
所以Tn＝＋??－?＋?－?＋…＋?
202??57??79??2n＋1
－
1??
?? 2n＋3??
1?11?1
＝＋?－? 202?52n＋3?1n－1＝＋. 2010n＋15当n＝1时仍成立， 1n－1
所以Tn＝＋. 2010n＋15
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1．(2016·南京师大附中检测)已知数列{an}中，a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，则{an}的前100项和为________．
解析：由a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an， 得a2n＋a2n＋1＝n＋1，
∴a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a98＋a99) ＝2＋2＋3＋…＋50＝1 276， ∵a100＝1＋a50＝1＋(1＋a25) ＝2＋(12－a12)＝14－(1＋a6) ＝13－(1＋a3)＝12－(1－a1)＝13， ∴a1＋a2＋…＋a100＝1 276＋13＝1 289. 答案：1 289
1121231239
2．已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，那么数列{bn}
23344410101010＝?
??
1
anan＋1?
?的前n项和Sn为________．
?
解析：由已知条件可得：
1＋2＋3＋…＋nn数列{an}的通项为an＝＝.
n＋12所以bn＝
1
anan＋1n＝
4
n＋
1??1 ?. ＝4×? －?nn＋1?
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