重构误差 M值 重构误差
1.8051 30 7.0638e-014 1.2772 40 6.9980e-014 1.0908 50 7.7848e-014 0.6689 64 5.9400e-014 从表4.2 可以看出当观测值M的大小超过30时，重构误差在e-14数量级，从图4.6 也可以看出重构信号与原始信号非常接近，重构效果较好。而当M值较小时，重构误差较大，从图4.7也可以看出重构效果不理想。这也验证了压缩感知理论要求观测值的长度一般要达到信号重要分量四倍左右才能近乎精确重构这一条件要求。
在实验过程中，并不是每次相同的观测值都会重构出相同误差值的信号，因为我们采用的是高斯随机观测矩阵。而且会出现经过多次以较小的M值（如20）进行运算后也能得到高精度的信号，但经过多次的实验表明，对一维测试信号，当观测值的长度达到信号重要分量即信号稀疏度四倍（M ≈ 4K ）或M?时重构效Klog(N/K)2果较为理想。算法性能较为稳定。这些也充分说明了该算法对维数较低的小尺度信号的重构效果较为理想，重构速度也较快。
图4.6 基于DFT的一维信号OMP重构效果图（M=64） 37
图4.7 基于DFT的一维信号OMP重构效果图（M=25） 4.3 压缩感知理论算法对二维图像重构的实现 4.3.1 基于小波变换的分块压缩感知理论
由前面内容可以得知：压缩感知图像重建是利用图像在某个变换域具有稀疏表示的先验知识来完成的。而大部分图像本身却并不是稀疏的，一般都是通过某种稀疏变换进行稀疏表示的。现在的实际图像则常采用离散余弦变换和小波变换等非冗余的正交变换来进行表示。
由于对图像进行小波变换之后小波系数的稀疏性，本文通过对测试图像进行小波稀疏变换，得到稀疏的小波系数矩阵；然后通过设计合适的观测矩阵对小波变换后的稀疏小波系数进行观测，得到数据量远小于原信号或图像维数N 的M 个观测值；最后通过采用合适的重构算法即求解一个基于严格的数学最优化问题来重构出小波变换域下的稀疏小波矩阵，从而得到重构后的图像。该方法的处理流程如图4.8所示：
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开始输入图像稀疏的小波稀疏矩阵T观测向量高维向低维投影系数矩阵T’重构图像
图4.8 基于小波变换的二维图像cs重构理论流程图 4.3.2 实现步骤
本文分别选取不同特性的两幅标准测试图像：大小为256×256的lena 图像、大小为256×256的rice图像，采用上述压缩感知方法对分别在不同的采样率下对图像进行变化重构。具体实现步骤如下所示：
（1）选取大小为N×N的测试图像X，根据测试图像的大小进行适当的分块，把原始图像数据分成适当大小的不同块，如8×8块，16×16块，32×32等；
（2）对每个子块进行离散余弦变换，以得到它在变换域的变换系数； （3）然后对变换域的系数进行量化处理，构成一个系数矩阵；
（4）对每个数据块单元的稀疏变换系数用Z（Zigzag）行扫描将其变成一维的数列，以有利于后面的熵编码步骤；
（5）对系数矩阵的直流（DC）、交流（AC）系数进行编码。 （6）解码重构图像，计算峰值信噪比psnr
255?255psnr?10?log10()MSE 39
（式4.4）
其中，MSE 代表归一化处理后的均方误差，其计算公式为：
(X?X)??MSE?23N?N（式4.5）
整个编解码流程可以归纳为以下几个步骤：
（1）首先像素大小为X = N×N的图像均匀分成互不覆盖大小为B×B的子块xi，i=1,2,…,n，n?X/B2
（2）对每个块进行二维DCT 变换以得到它在变换域的系数表示形式，然后对变换域的系数进行量化Z行扫描以得到变换域系数稀疏矩阵的一维数列形式。 （3）设计维数为MB?B2的高斯随机观测矩阵?B，对量化扫描后的变换域系数
进行观测采样得到长度为MB的观测值向量yi。对i子块的整个采样过程可表示为：
y1???(T(x))BB1（式4.6）
式中?B代表量化算子，Τ(?)是指二维离散余弦变换算子，yi则是序列长度为
2Ms?Rs?B的观测采样向量。
（4）定义S为一个子块的采样算子，则整幅图像的等价采样矩?(T(?))B??BB阵可写成一个基于采样算子SB的对角矩阵Φ
（5）重构算法可以通过求解一个基于范数的最小优化问题解决： 目标函数：min:s'1 且满足等式约束：y1??Bs （式4.8） 其中s??B(，s′是s的近似估计。 T(x))1根据以上步骤，我们将程序分为五个模块（图4.9）：
输入模块CS压缩感知模块OMP重构解压模块误差计算模块?SB?????????SBOSB??????SB??（式4.7）
输出模块
（1）输入模块。本模块完成图像的输入和参数的设定；
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图4.9 二维图像CS重构算法框架
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