甘肃省兰州市2018届高考实战考试二模数学（理）试题-有答案

试卷答案

一、选择题

1-5: ADBDD 6-10: BCCAA 11、B 12：C

二、填空题

13. 3.1 14. 14 15. 15 16.

1 2n?1三、解答题

17.解：（1）由已知f?x??sinxcosx?3cosx?23133?sin2x?(1?cos2x)? 2222?13?sin2x?cos2x?sin(2x?)， 223对称轴的方程为2x??3?k???23，即x?k?5??,k?Z. 212（2）因为x?[0,?2]，则2x???[??2?3,?3,1]， ]，所以sin(2x?)?[?323 所以f?x?max?1,f?x?min??3. 218.（1）证明：连接BD，交AC于M，由菱形性质，有AC?BD， 又EB?平面ABCD,AC?平面ABCD，所以AC?EB； 所以AC?平面BDFE，而EF?平面BDFE，所以AC?EF.

（2）以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M且垂直于平面ABCD，方向向上的直线为z轴， 建立空间直角坐标系，

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则A(3aa3aaa3a,,0),B(0,a,0),C(?,0,0),E(0,,3a),F(0,?,)， 222222AB?(?3aa3aa3a,,0),AF?(?,?,)，则n?(x,y,z)， 22222?????n?AB?0?则????n?AF?0?????31ax?ay?022，令x?1的平面ABF的一个法向量n?(1,3,2)， 313ax?ay?az?0222设直线CE与平面ABF所成的角为?， 因为CE?(n?CE363aa?,,3a)，所以sin??cosn,CE?.

228n?CE19.解：（1）由题意，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为设“甲乙两人所付费用之和等于丙所付费用”为事件A, 则P(A)?111,,， 4323211117； ??????43243224（2）随机变量?所有可能取值有2,2.5,3,3.5,4， 则P(??2)?32113111215???,P(??2.5)???????， 43244324322432111173111215， P(??3)???????,P(??3.5)???????43243224432432241111 P(??4)????43224所以甲乙丙三人所付费用之和的分别为

所以E??2?1575167 ?2.5??3??3.5??4??42424242424x2y2?2?1， 20.解：（1）因为PF1?PF2?4，所以2a?4?a?2，椭圆的方程为

4bx2y232?2?1； 将P(1,)代入可得b?3，所以椭圆的方程为

4b2（2）若AC的斜率为零或不存在，易知

11117????, ACBD3412存在满足条件的??117,?,，使成等差数列； ACBD246

若AC的斜率为k(k?0)，设AC的方程为y?k(x?1)，代入方程化简得(3?4k)x?8kx?4k?12?0，

2222xy?2?1， 4b228k24k2?12,x1x2?设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有x1?x2??， 23?4k3?4k212(1?k2)于是AC?1?kx1?x2?(1?k)[(x1?x2)?4x1x2?， 23?4k22212(1?k2)1同理，由于直线BD的斜率为?，BD?， 24?3kk12(1?k2)1同理，由于直线BD的斜率为?，BD?， 24?3kk113?4k24?3k27所以， ????22ACBD12(1?k)12(1?k)12总之，存在满足条件??117,?,，使得成等差数列. ACBD12(1,??),f??x??m(lnx?1)，

(lnx)221.解：（1）因为lnx?0,x?0，所以x?(0,1) 所以f?e2???2(lnx?1)m12x，此时f??x??， ??m?2，所以f?x??(lnx)242lnx由f??x??0得0?x?1或1?x?e，

所以函数f?x?的单调递减区间为?0,1?和?1,e?； （2）g?x??aelnx?12a?e1x?lnx?f?x??aelnx?x2?(a?e)x， 22212x?(a?e)x成立，只需x?[e,??)时，g?x?min?a， 2若存在x?[e,??)，使函数g?a?x??aelnx?aex2?(a?e)x?ae(x?a)(x?e)?x?(a?e)??因为g??x??， xxx若a?e，则g??x??0在x?[e,??)时恒成立，所以g?x?在[e,??)上单调递增，

g?x?min12e2e2?g?e??ae?e?e(a?e)??，所以a??，

222又a?e，则g?x?在[e,a)上单调递减，在(a,??)上单调递增， 所以g?x?在[e,??)上的最小值为g?x?min?g?a?，

e2又g?a??g?e???，而a?e，所以一定满足条件，

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综上，实数a的取值范围是[?e,??). 2222.解：（1）由题意可知，直线l的直角坐标方程是y?3x， 曲线C的普通方程是x?(y?2)?4， 其圆心到直线l的距离是d?222?1，所求的弦长是222?1?23. 3?1（2）从极点作曲线C的弦，弦的中点的轨迹C?的参数方程为?且??[0,?x?cos?(?为参数）

?y?1?sin?3?3?)(,2?)，其普通方程为x2?(y?1)2?1(y?0)， 222极坐标方程??2?sin??0，化简得??2sin?(??0). 23.解：（1）当a?1时

???3x,x??1?1?f?x??2x?1?x?1???x?2,?1?x?，

2?1?3x,x???2133y?f?x?的图象与直线y?3围成区域的面积为[1?(?1)](3?)?；

222

（2）当?a?11，即a??时， 221??3x?a?1,x??2?1113? f?x???x?a?1,?x??a?f?x?min?f()??a?1?1，所以a??，

2222??3x?a?1,x??a??当?a?11，即a??时， 228

???3x?a?1,x??a?1111?f?x???x?a?1,?a?x??f?x?min?f()?3??a?1?1，所以a?，

2222?1?3x?a?1,x???2所以a??

31或a?. 229