高中数学平面向量知识点总结

高中数学必修4之平面向量

知识点归纳

一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

??②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行

③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量

????????????????????????2、向量加法：设AB?a,BC?b，则a+b=AB?BC=AC （1）0?a?a?0?a；（2）向量加法满足交换律与结合律；

?????????????????????????????． AB?BC?CD???PQ?QR?AR，但这时必须“首尾相连”

??3、向量的减法： ① 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量 ????????②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，③作图法：a?b可以表示为从b的终点指向a的终点

??的向量（a、b有共同起点） 4、实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）?a???a； （Ⅱ）当??0时，λa的方向与a的方向相同；当??0时，λa的方向与a的方向

??????????相反；当??0时，?a?0，方向是任意的

????5、两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线?有且只有一个实数?，使得b=?a 6、平面向量的基本定理：如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1,?2使：a??1e1??2e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 ????????二.平面向量的坐标表示

?????1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a可表示成a?xi?yj，记作a=(x,y)。

2平面向量的坐标运算：

????(1) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2? ????(2) 若A?x1,y1?,B?x2,y2?，则AB??x2?x1,y2?y1?

(3) 若a=(x,y)，则?a=(?x, ?y)

??????(4) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a//b?x1y2?x2y1?0 ????(5) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b?x1?x2?y1?y2

??若a?b，则x1?x2?y1?y2?0

三．平面向量的数量积

1两个向量的数量积：

??????已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，则a·b=︱a︱·︱b︱cos? ????叫做a与b的数量积（或内积） 规定0?a?0 ?????a?b2向量的投影：︱b︱cos?=?∈R，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影 |a|?????3数量积的几何意义： a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：a?a?a2?|a|2 ????5乘法公式成立：

???????????a?b??a?2a?b?b22?????2?2?2?2a?b?a?b?a?b?a?b；

2?2???2?a?2a?b?b

6平面向量数量积的运算律：

????①交换律成立：a?b?b?a

??????②对实数的结合律成立：??a??b??a?b?a??b???R?

????????????③分配律成立：?a?b??c?a?c?b?c?c??a?b?

??????特别注意：（1）结合律不成立：a??b?c???a?b??c；

????（2）消去律不成立a?b?a?c不能??（3）a?b=0不能

????b?c?

????a=0或b=0 7两个向量的数量积的坐标运算：

????已知两个向量a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则a·b=x1x2?y1y2 ??????????????008向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则∠AOB=? （0???180）叫做向量a与b的

夹角 ???x1x2?y1y2?a?bcos?=cos?a,b????= 2222a?bx1?y1?x2?y2?????00

当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=0，当且仅当a与b反方向时θ=180，同时0与其它任何非零向量

之间不谈夹角这一问题

??????0

9垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a⊥b 10两个非零向量垂直的充要条件： ????a⊥b?a·b＝O?x1x2?y1y2?0平面向量数量积的性质