习题7-1
1. 选择题
(1) 设总体X的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而X1,X2,L,Xn为来自X的样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) .
(A) X和S. (B) X和(C) μ和σ. (D) X和
22
11
(X∑n
i=1n
i
n
i
?μ)2. ?X)2.
∑(X
n
i=1
解 选(D).
(2) 设X??U[0,θ], 其中θ>0为未知参数, 又X1,X2,L,Xn为来自总体X的样本, 则θ的矩估计量是( ) .
(A) X. (B) 2X. (C) max{Xi}. (D) min{Xi}.
1≤i≤n
1≤i≤n
解 选(B).
2. 设总体X的分布律为
X P -2
1 5
3θ 1?4θ θ
其中0＜θ＜0.25为未知参数, X1, X2, …, Xn为来自总体X的样本, 试求θ的矩估计量.
解 因为E(X)=(-2)×3θ+1×(1-4θ)+5×θ=1-5θ, 令1?5θ=X得到θ的矩估
?=1?X. 计量为θ5
3. 设总体X的概率密度为
?(θ+1)xθ,0 f(x;θ)=? ?0, 其它. 其中θ>-1是未知参数, X1,X2,…,Xn 是来自X的容量为n的简单随机样本, 求: (1) θ的矩估计量； (2) θ的极大似然估计量. 解 总体 X 的数学期望为 E(X)=∫ +∞ ?∞ θ+1 xf(x)dx=∫(θ+1)xdx=. 0 θ+2 1 θ+1 θ+1? 令E(X)=X, 即=X, 得参数θ的矩估计量为θ= θn??n? ?(θ+1)?∏xi?,0 ? 其它.?0, . 1?Xθ+2 设x1, x2,…, x n是相应于样本X1, X 2,… , X n的一组观测值, 则似然函数为 2X?1 当0 ∑lnx i=1 n i , dlnLdθ= n θ+1 +∑lnxi=0, 得 i=1 n ?=?1?θ的极大似然估计值为 θn ∑lnx i=1 n , i ?=?1?而θ的极大似然估计量为 θn ∑lnX i=1 n . i 4. 设总体X服从参数为λ的指数分布, 即X的概率密度为 ?λe?λx,x>0, f(x,λ)=? 0,x0,≤? 其中λ>0为未知参数, X1, X2, …, Xn为来自总体X的样本, 试求未知参数λ的 矩估计量与极大似然估计量. 1?=1. 设x1, x2,…, x n是相解 因为E(X)= =X, 所以λ的矩估计量为λλX应于样本X1, X 2,… ,X n的一组观测值, 则似然函数 L=λn ∏e i=1 n ?λxi =λe n i n ?λ∑x i=1 n i , 取对数 lnL=nlnλ?( ∑x)λ. i=1 dlnLnn ?=1,λ的极大似=?∑xi=0, 得λ的极大似然估计值为λ令 dλλi=1x?=然估计量为λ1X. 习题7-2 1. 选择题: 设总体X的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而 X1,X2,L,Xn为X的样本, 则无论总体X服从什么分布, ( )是μ和σ2的 无偏估计量. (A) (C) 1 ∑Xn i=1 n i 和 1 ∑(Xn i=1 n i ?X). (B) n 2 2 ∑Xn?1 i=1n 1 n i 和 ∑(Xn?1 i=1 1 n i ?X)2. X∑n?1 i=1 1 n i 和 (X∑n?1 i=1 1 i ?μ). (D) 1 X∑n i=1 和i 1 (X∑n i=1 n i ?μ)2. 解 选(D). 2. 若X1,X2,X3为来自总体X??N(μ,σ2)的样本, 且 Y= 11 X1+X2+kX3为μ的无偏估计量, 问k等于多少? 34 11115 . 解 要求E(X1+X2+kX3)=μ+μ+kμ=μ, 解之, k=123434 3. 设总体X的均值为0, 方差σ2存在但未知, 又X1,X2为来自总体X的 样本, 试证： 12 (X1?X2)2为σ2的无偏估计. 1 2 证 因为E[(X1?X2)]= 12 1 2 E[(X12?2X1X2+X22)] 2 2 =[E(X1)?2E(X1X2)+E(X2)]==σ2, 22 所以 2σ2 12 (X1?X2)2为σ2的无偏估计. 习题7-3 1. 选择题 (1) 总体未知参数θ的置信水平为0.95的置信区间的意义是指( ). (A) 区间平均含总体95%的值. (B) 区间平均含样本95%的值. (C) 未知参数θ有95%的可靠程度落入此区间. (D) 区间有95%的可靠程度含参数θ的真值. 解 选(D). (2) 对于置信水平1-α(0<α<1), 关于置信区间的可靠程度与精确程度, 下列说法不正确的是( ). (A) 若可靠程度越高, 则置信区间包含未知参数真值的可能性越大. (B) 如果α越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (C) 如果1-α越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (D) 若精确程度越高, 则可靠程度越低, 而1-α越小. 解 选（C） 习题7-4 1. 为调查某地旅游者的平均消费水平, 随机访问了40名旅游者, 算得平均消费额为x=105元, 样本标准差s=28元. 设消费额服从正态分布. 取置信水平为0.95, 求该地旅游者的平均消费额的置信区间. 解 计算可得x=105, s2 =282.对于α = 0.05, 查表可得 tα(n?1)=t0.025(39)=2.0227. 2 所求μ的置信区间为 ss2828×2.0227,105+×2.0227) (x?tα(n?1),x+tα(n?1))=(105?n2n24040 =(96.045, 113.955). 2. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布. 现随机抽取此种香烟8支为一组样本, 测得其尼古丁平均含量为18.6毫克, 样本标准差s=2.4毫克. 试求此种香烟尼古丁含量的总体方差的置信水平为0.99的置信区间． 解 已知n=8, s2 =2.42, α = 0.01, 查表可得χα(n?1)=χ0.005(7)=20.278, 2 2 2 22 χ2α(n?1)=χ0.995(7)=0.989, 所以方差σ 的置信区间为 1?2 (8?1)×2.42(8?1)×2.42 ,)=(1.988, 40.768). )=((2,2 20.2780.989χα(n?1)χα(n?1)(n?1)S2 2 (n?1)S2 1?2 3. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取样本:X1,X2,…,X12及Y1,Y2,…,Y17, 算出x=10.6g,y=9.5g,s1=2.4,s2=4.7. 假设这两条流水线上装的番茄酱的重量都服从正态分布, 且相互独立, 其均值分别为μ1,μ2. 又设两总体方差σ1=σ2. 求μ1?μ2置信水平为0.95的置信区间, 并说明该置信区间的实际意义. 解 由题设x=10.6,y=9.5,s1=2.4,s2=4.7,n1=12,n2=17, 2 2 2 (n1?1)s12+(n2?1)s2 22 22 s= 2w n1+n2?2 = (12?1)×2.4+(17?1)×4.7 12+17?2 =1.942 tα(n1+n2?2)=t0.025(27)=2.05181,所求置信区间为 2 ((x?y)±tα(n1+n2?2)sw2 1n1+1n2)=((10.6?9.5)±2.05181×1.94×112+1 )17结论“μ1 =(-0.40,2.60). ?μ2的置信水平为0.95 的置信区间是(-0.40,2.60)”的实际意义 是：在两总体方差相等时, 第一个正态总体的均值μ1比第二个正态总体均值 μ2大-0.40～2.60，此结论的可靠性达到95%. 4. 某商场为了了解居民对某种商品的需求, 调查了100户, 得出每户月平均需求量为10公斤, 方差为9 . 如果这种商品供应10000户, 取置信水平为0.99. (1) 取置信度为0.99,试对居民对此种商品的平均月需求量进行区间估计; (2) 问最少要准备多少这种商品才能以99%的概率满足需要？ 解 (1) 每户居民的需求量的置信区间为 ssss(x?tα(n?1),x+tα(n?1))≈(x?zα,x+zα) n2n2n2n2 99=(10?×2.575,10+×2.575)=(9.2275,10.7725). 10010010000户居民对此种商品月需求量的置信度为0.99的置信区间为(92275,107725)； （2）最少要准备92275公斤商品才能以99%的概率满足需要. 总习题七 1. 设总体X的概率密度为 ?θ,? f(x,θ)=?1?θ, ?0,? 0 是未知参数. X1, X2, …, Xn为来自总体的简单随机样本, 记其中θ（0<θ<1） N为样本值x1,x2,L,xn中小于1的个数. 求: (1) θ的矩估计量; (2) θ的极大似然估计量. 1 2 解 (1) X=E(X)=xθdx+x(1?θ)dx= 0 1 ∫∫ 32 ?θ, 所以θ矩= 32 ?X. (2) 见本章第三节三(9). 2. 设总体X的概率密度为 ?1?2θ,??1 ,f(x,θ)=? ?2(1?θ)?0,?? 0 θ≤x<1, 其它. 其中参数θ(0<θ<1)未知, X1, X2, …, Xn是来自总体X的简单随机样本, X是样本均值. ?; (1) 求参数θ的矩估计量θ(2) 判断4X2是否为θ2的无偏估计量, 并说明理由. 解 见本章第三节三(1).
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