阶段性测试题十二(算法初步、推理与证明、复数)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．
满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1111
1．(文)(2020·辽宁文)i为虚数单位，＋3＋5＋7＝( )
iiiiA．0 C．－2i [答案] A
[解析] 本题考查了复数的定义及其运算，等比数列前n项和公式的应用，并考查了多种方法灵活处理问题的能力．
法1：∵i＝1，∴i＝－i，i＝i，i＝－i， 1111
∴原式＝＋＋＋＝0.
i－ii－i
11
1－8ii11
法2：把原式看成是以为首项，以2为公比的等比数列的前4项和即原式＝＝
ii1
1－2
i0.
(理)(2020·辽宁理)a为正实数，i为虚数单位，|A．2 C.2 [答案] B
[解析] 本小题考查内容为复数的运算与复数的模的求法．
2
3
5
7
B．2i D．4i
a＋i
i
|＝2，则a＝( )
B.3 D．1
?a＋i?＝|1－ai|＝1＋－a?i???
2
＝2，∴a＝3.
－－
2．(2020·大纲全国卷理)复数z＝1＋i，z为z的共轭复数，则zz－z－1＝( ) A．－2i C．i [答案] B
[解析] 本小题考查的内容是复数的概念与运算． －
B．－i D．2i
z＝1－i，∴z·z－z－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.
－
3．(2020·新课标理)执行下面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是( ) A．120 C．1440
B．720 D．5040
[答案] B
[解析] 当输入的N是6时，由于k＝1，p＝1，因此p＝p·k＝1.此时k＝1，满足k<6，故k＝k＋1＝2；
当k＝2时，p＝1×2，此时满足k<6，故k＝k＋1＝3； 当k＝3时，p＝1×2×3，此时满足k<6，故k＝k＋1＝4； 当k＝4时，p＝1×2×3×4，此时满足k<6，故k＝k＋1＝5； 当k＝5时，p＝1×2×3×4×5，此时满足k<6，故k＝k＋1＝6.
当k＝6时，p＝1×2×3×4×5×6＝720，此时k<6不再成立，因此输出p＝720. 4．(2020·九江一模)下面的程序框图给出了计算数列{an}的前8项和S的算法，算法执行完毕后，输出的S为( )
A．8 C．92 [答案] C
[解析] 程序框图是计算S＝1＋2＋4＋7＋11＋16＋22＋29＝92，∴输出的S为92，故选C.
5．(2020·三亚调研)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为( )
A．4,6,1,7 C．6,4,1,7 [答案] C
B．7,6,1,4 D．1,6,4,7 B．63 D．129
??2b＋c＝9
[解析] 因加密规则可得?2c＋3d＝23
??4d＝28
故明文为6,4,1,7.
a＋2b＝14
??b＝4
??c＝1??d＝7
a＝6
.
6．(2020·西宁调研)观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
[答案] A
[解析] 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形．
7．(文)要表示直线与圆的位置关系最好用下列哪种框图来表示( ) A．流程图 C．结构图 [答案] C
[解析] 直线与圆有三种位置关系：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离，它们三者是并列关系，都从属与直线与圆的位置关系，故宜用结构图表示．
(理)(2020·临沂一模)如图所示的程序框图输出的结果是( )
B．程序框图 D．统筹图
A.34 B.45 C.56 D.67
[答案] C
[解析] i＝1≤4满足，执行第一次循环后，A＝2
3
，i＝2；
i＝2≤4满足，执行第二次循环后，A＝34
，i＝3； i＝3≤4满足，执行第三次循环后，A＝45
，i＝4； i＝4≤4满足，执行第四次循环后，A＝56，i＝5； i＝5≤4不满足，跳出循环，输出A＝56.
8．(2020·山东理)复数z＝2－i
2＋i
(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
[答案] D
) [解析] 本题主要考查复数的运算及复数的几何意义． 2－i2－i∵z＝＝
2＋i5
2
＝4－4i－134
＝－i. 555
34
∴z在复平面由对应的点为 (，－)，故选D.
55
9．(2020·福建理)对于函数f(x)＝asinx＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是( ) ．．．．．
A．4和6 C．2和4 [答案] D
[解析] ∵f(1)＝asin1＋b＋c，f(－1)＝－asin1－b＋c，且c是整数，∴f(1)＋f(－1)＝2c是偶数．
在选项中只有D中两数和为奇数，不可能是D.
[点评] 本题考查求函数值和逻辑推理，题目是在以往高考题的基础上改编的，较新颖，题目难度较大．
11xy10．(文)(2020·鹰潭一模)已知x＞0，y＞0，lg2＋lg8＝lg2，则＋的最小值是( )
x3yA．2 C．4 [答案] C
[解析] 因为x＞0，y＞0，且lg2＋lg8＝lg2， 所以x＋3y＝1.
11113yx于是，有＋＝(x＋3y)(＋)＝2＋(＋)≥4，故选C.
x3yx3yx3y(理)(2020·江西上饶一模)用数学归纳法证明“n＋(n＋1)＋(n＋2)，(n∈N)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )
A．(k＋3) C．(k＋1) [答案] A
[解析] 假设当n＝k时，原式能被9整除，即k＋(k＋1)＋(k＋2)能被9整除． 当n＝k＋1时，(k＋1)＋(k＋2)＋(k＋3)为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)展开，让其出现k即可．
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)
3
3
3
3
3
3
3
3
33
3
3
3
*
B．3和1 D．1和2
B．22 D．23
xyB．(k＋2)
D．(k＋1)＋(k＋2)
3
3
3
2i
11．在复平面内，复数对应的点的坐标为________．
1－i[答案] (－1,1) [解析]
2i＝1－i
2i1＋i
＝i(1＋i)＝－1＋i.
1－i1＋i
故对应点坐标为(－1,1)．
12．(文)(2020·福建理)运行如图所示的程序，输出的结果是________．
a＝1
b＝2
a＝a＋b PRINT aEND[答案] 3
[解析] 本题主要考查算法知识，由于a＝1，b＝2，a＝a＋b＝1＋2＝3.
(理)(2020·江西理)下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．
[答案] 10
[解析] 本题主要考查程序框图知识．
n＝1，s＝0＋(－1)1＋1＝0，
n＝2时，s＝0＋(－1)2＋2＝3，n＝3时，s＝3＋(－1)3＋3＝5，n＝4时，s＝5＋(－1)4
＋4＝10>9，故运行输出结果为10.
13．(2020·安徽理)如下图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是________．
[答案] 15
[解析] 由T＝T＋k可知T是一个累加变量，原题实质为求1＋2＋3＋…＋k的和，其和为
kk＋1
2
，令
kk＋1
2
≤105，得k≤14，
故当k＝15时，T＝1＋2＋3＋…＋15＝120>105. 此时输出k＝15.
14．(2020·咸阳调研)已知点An(n，an)为函数y＝x＋1的图像上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图像上的点，其中n∈N，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．
[答案] cn>cn＋1
[解析] 解法1：∵an＝n＋1，bn＝n，
2*
2
cn＝n2＋1－n＝
解法2：cn＋1＝
1
n2＋1＋nn＋1
2
2
，随n的增大而减小，为减函数，∴cn＋1 2 ＋1－(n＋1)，cn＝n＋1－n， cn∴＝cn＋1 ＝ n2＋1－nn＋1 ＋1－ n＋1 n＋12＋1＋n＋1 >1， 2 n＋1＋n∴cn>cn＋1. 15．(文)(2020·唐山模拟)方程f(x)＝x的根称为f(x)的不动点，若函数f(x)＝ x1 有唯一不动点，且x1＝1007，xn＋1＝(n∈N＋)，则x2020＝________. ax＋21??f?? ?xn? [答案] 2020 [解析] 由 x2 ＝x，得ax＋(2a－1)x＝0， ax＋2 ∵f(x)有唯一不动点， 1 ∴2a－1＝0，即a＝， 2∴f(x)＝ 2x12xn＋11，∴xn＋1＝＝＝xn＋. x＋222?1? f?? ?xn? 1 ∴x2020＝x1＋×2020＝1007＋1006＝2020. 2(理)自然数按下表的规律排列 则上起第15行，左起第16列的数为________． [答案] 240 [解析] 经观察可得这个自然数表的排列特点： ①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n； ②第一行第n个数为(n－1)＋1； ③第n行从第1个数至第n个数依次递减1； ④第n列从第1个数至第n个数依次递增1. 则上起第15行，左起第16列的数应为第16列的第15个数，即为[(16－1)＋1]＋14＝15＋1＋14＝15×16＝240. 三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(2020·上海理)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数 2 2 2 2 单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2. [解析] (z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i 设z2＝a＋2i，a∈R，则z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i， ∵z1z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i. 17．(本小题满分12分)(2020·合肥模拟)给出以下10个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，要求把大于40的数找出来并输出，试画出该问题的程序框图． [分析] 题目给出了10个数字，将大于40的数找出来．解答本题先确定使用循环结构，再确定循环体． [解析] 程序框图如图所示： [点评] 设计程序框图，首先由题意选择合适的结构，再确定本结构需要的条件． 18．(本小题满分12分)设复数z＝lg(m－2m－2)＋(m＋3m＋2)i，当实数m取何值时． (1)z是纯虚数． (2)z是实数． (3)z对应的点位于复平面的第二象限． ??lgm－2m－2 [解析] (1)由题意知?2 ?m＋3m＋2≠0.? 2 2 2 ＝0， 解得m＝3. 所以当m＝3时，z是纯虚数． (2)由m＋3m＋2＝0， 得m＝－1或m＝－2， 又m＝－1或m＝－2时，m－2m－2>0， 所以当m＝－1或m＝－2时，z是实数． ??lgm－2m－2(3)由?2 ??m＋3m＋2>0. 2 2 2 <0， m－2m－2>0??2 即?m－2m－3<0??m2＋3m＋2>0 2 解得：－1 所以当－1 19．(本小题满分12分)求证关于x的方程ax＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是 2 a≤1. [分析] 需证明充分性和必要性．证充分性时，可分a＝0，a<0和0 [证明] 充分性：当a＝0时，方程为2x＋1＝0， 1 其根为x＝－，方程有一个负根，符合题意． 2 12 当a<0时，Δ＝4－4a>0，方程ax＋2x＋1＝0有两个不相等的实根，且<0，方程有一正 a一负根，符合题意．当0 方程ax＋2x＋1＝0有实根， 2－<0??a且?1??a>0 2 ，故方程有两个负根，符合题意． 综上知：当a≤1时，方程ax＋2x＋1＝0至少有一个负根． 必要性：若方程ax＋2x＋1＝0至少有一个负根． 当a＝0时，方程为2x＋1＝0符合题意． 当a≠0时，方程ax＋2x＋1＝0应有一正一负或两个负根． 22 2 ?2?－<01 则<0或?aa1??a>0Δ＝4－4a≥0 .解得a<0或0 综上知：若方程ax＋2x＋1＝0至少有一负根则a≤1. 故关于x的方程ax＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1. [点评] 在证必要性时，易忽视a＝0的情况而导致得不到结果，出现这种现象的原因是忽视了一元二次方程对二次项系数的要求． 20．(本小题满分13分)(1)设x是正实数，求证： (x＋1)(x＋1)(x＋1)≥8x； (2)若x∈R，不等式(x＋1)(x＋1)(x＋1)≥8x是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值． [解析] (1)x是正实数，由基本不等式知 2 3 3 2 3 3 2 2 x＋1≥2x，x2＋1≥2x，x3＋1≥2x3， 故(x＋1)(x＋1)(x＋1)≥2x·2x·2x＝8x(当且仅当x＝1时等号成立)． (2)若x∈R，不等式(x＋1)(x＋1)(x＋1)≥8x仍然成立． 由(1)知，当x>0时，不等式成立； 当x≤0时，8x≤0， 而(x＋1)(x＋1)(x＋1) ＝(x＋1)(x＋1)(x－x＋1) 12322 ＝(x＋1)(x＋1)[(x－)＋]≥0. 24此时不等式仍然成立． 21．(本小题满分14分)(2020·贵阳一模)已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn＋1 2 2 2 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 ＝4an＋2(n＝1,2，…)，a1＝1. (1)设bn＝an＋1－2an(n＝1,2，…)，求证：数列{bn}是等比数列； (2)设cn＝n(n＝1,2，…)，求证：数列{cn}是等差数列； 2(3)(理)求数列{an}的通项公式及前n项和公式． [解析] (1)证明：∵Sn＋1＝4an＋2，∴Sn＋2＝4an＋1＋2， 两式相减，得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an(n＝1,2，…)， 即an＋2＝4an＋1－4an， 变形得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)． ∵bn＝an＋1－2an(n＝1,2，…)，∴bn＋1＝2bn. 由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列． (2)证明：由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，a1＝1， ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3， an由(1)知bn＝3·2 n－1 ，又cn＝n. 2 2 n＋1 an∴cn＋1－cn＝n＋1－n＝22将bn＝3·2 n－1 an＋1anan＋1－2an＝bn2 n＋1 . 3 代入得cn＋1－cn＝(n＝1,2，…)． 4 3 由此可知，数列{cn}是公差d＝的等差数列． 4 a1131 (3)解：由(2)得：c1＝＝，故cn＝n－. 2244 311 ∵cn＝n－＝(3n－1)， 444∴an＝2·cn＝(3n－1)·2 nn－2 (n＝1,2，…)． n－1 当n≥2时，Sn＝4an－1＋2＝(3n－4)·2由于S1＝a1＝1也适合于此公式， ＋2. 所以{an}的前n项和公式为Sn＝(3n－4)·2 n－1 ＋2.
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